自然数幂求和公式的存在与规律探讨
本科毕业论文
自然数幂求和公式的存在与规律探讨
SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY
学院（部）：理学院
专业班级：08-2数学与应用数学
学生姓名：张兴刚
指导教师：范自强
2012年6 月1 日
自然数幂求和公式的存在与规律探讨
摘要
自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。
关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间
Sum formula of power of natural number 's existence and regularity
Abstract
Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective.
Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space
目录
一、自然数幂求和公式的存在性 (1)
1自然线性空间 (1)
2基本初等公式 (1)
3自然数幂求和公式的存在性证明 (2)
二、自然数幂求和公式的系数定理 (3)
1系数规律的研究与猜想 (3)
2系数定理的证明 (5)
2.1系数定理的归纳证明 (5)
2．2系数定理的几条重要推论 (6)
3系数定理的运用 (7)
3.1系数定理求和 (7)
3.2常见的自然数幂求和公式 (8)
三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 (9)
1自由线性空间 (9)
2自由向量的性质 (9)
3、自由向量的运用 (11)
3.1求和 (11)
3.2自然数幂求和公式 (12)
四、自然数幂求和公式的VB编码 (13)
参考文献： (17)
一、自然数幂求和公式的存在性
1自然线性空间
定义：由一切形如23123m m w a n a n a n a n =++++……（m ∈N,i *N ∈，i a R ∈）
的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G .
2基本初等公式
首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：
1
111
11
1
1
01
10
1
1
1
011
1
1
1
1(1)
1111n m i n
m i n
m j
j
m i j m n
j
j
m j i m n
j
j
m j i m
n
n
j
j
m m j i i i i C
i C
i
C
i
C
i
i
++=+=++==++==++==++====++=+=+=+=+
+
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
则有：
1
1
1
1
1
1
1
1n m
n
n
m j
j
m m i j i i i
C
i
i
++++=====+
+
∑∑∑∑
化简得，
基本初等公式：1
1
1
(1)
1m
n
m j j m j i n C
i ++==+=+∑∑
3自然数幂求和公式的存在性证明
猜想：1n
m
i i G =∈∑，且为m+1次多项式。
下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。
证明：
1) 已知当k=0时，
01
1
n
n
k
i i i
i n G ====∈∑∑,且为k+1次多项式.
2) 若k ≤m 时，1
n
k i i G =∈∑,且为k+1次多项式，由基本初等公式得：
1
2
12
2
1
1
1
(1)11(2)m n
m
n
n
m j j
j j
m m m j i j i i n C
i
C
i
m i +++++=====+=+=+++∑∑∑∑∑
则 1
221
011(1)12n
m n
m m j j m i j i i
n C i m +++===??=+--??+??
∑∑∑ 显然 10
1
m n
j
j
m j i C i
G +==∈∑∑为m+1次多项式，2(1)1m n G ++-∈为m+2次多项式，
则
1
221
011(1)12n
m n
m m j j m i j i i
n C i G m +++===??=+--∈??+??
∑∑∑,且为m+2次多项式. 3）、 由1），2）可知，1
n
m
i i
G =∈∑，且为m+1次多项式.
存在性定理：
1
n
m i i G =∈∑，且为m+1次多项式。 定义：由存在性定理，我们称m 次自然数幂求和公式中，p n 的系数为m 级p 次系数，
记为,m p f 。
则自然数幂求和表达式为：
11,1,,1,11
n
m
m m m m m m m m m m i i
f n f n f n f n +-+-==++++∑……
二、自然数幂求和公式的系数定理
1系数规律的研究与猜想
由基本初等公式
1
1
1
(1)
1m
n
m j j
m j i n C
i
++==+=+∑∑
自然数幂求和表达式
11,1,,1,11n
k k k k k k k k k k k i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……
将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取p
n 的系数，可得
推论一：
1231
11,11,12,13,11,p m m m m p m m m p m m p m m p m m p m p p
C C f C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=+++++…… 推论二：
()
12311,111,12,13,11,m p m m m p m m p m m m p m m p m m p m p p C f C C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=-++++……
由 推论二 ，令p=m+1,
则 1,11m
m m m C f ++=，
化简得,1
11
m m f m +=+；
令p=m,
则111,11,m m m m m m m m m m C C f C f -+++-=+，
化简得,12
m m
f =；
令p=m-1,
则11211,111,112,1m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f ---++-+--+--=++，
化简得,1
12
m m m f -=；
令p=m-2,则
212311,211,212,213,2
m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f ----++-+--+--+--=+++化简得
,20m m f -=；
令p=m-3,则
3123411,311,312,313,314,3
m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f C f -----++-+--+--+--+--=++++，
3
1(1)(2)720
m m f
m m m -=---；
由以上结果可以看出
,1
1,11*111
m m m m m m f f m m m m +-===+++ ,1,112m m
m m m f f m
--==
,1
1,21*121121
m m m m m m m m f f m m ----===-- ,31,4
03
m m m m m
f f m ---==-
,4
1,5
(1)(2)(1)(2)(3)*72047204
m m m m m m m m m m m m f f m m --------===----
由以上结论，系数猜想,1,1m p
m p m f f p
--=.
2系数定理的证明
2.1系数定理的归纳证明
以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想
证明：
对于任意的,m p f
，定义间距r=m+1-p,11p m ≤≤+, 0r m ≤≤ 1) 当间距r=0时，p=m+1,
,11,1
m m m m m f f m +-=
+,满足,1,1m p m p m
f f p --=.
2) 若当间距满足0r k ≤≤时，即11m k p m +-≤≤+，总有
,
1,1
m p
m p m
f f p
--=， 由推论，令r=k+1,即p=m-k ，有
121
11,11,12,1
1,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f -----++-+--+--+---=++++……则
1,m m m m k
C f +-
()
1231111,12,13,11,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f ------++--+--+--+---=-++++……
123111
2,113,114,112,11231m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m m m m k C C f C f C f C f m k m k m k m k ------++---+---+---+---------??=-++++ ?----??……
()12342
2,13,14,12,11m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m C C f C f C f C f m k
--------------------+??=
-++++??-……
由推论二得:
()
1123421,12,13,14,12,1m m k m m m m k m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C f C C f C f C f C f ------------------------=-++++……
代入得
1
1,1,11=
m m m m m k m m m k m C f C f m k
-+----+- 化简得
1
1m m m k
m k m f
f m k
----=- 即间距r=k+1时，仍然有
11m m p
p m f
f p
--=.
3）、由1），2）综上分析，可知总有1
1m m p
p m f f p
--=，()11p m ≤≤+.
故得出 自然数幂求和系数定理
(),
1,1
,11m p m p m
f f p m p
--=≤
≤
+
2．2系数定理的几条重要推论 由系数定理得
1
122
3
3
1
11
1
,1
(1)(1)
(1)(2)(1)(2)
(1)(2)(2)(1)(2)2
m
p
m p m p m p m p p m m p f m f p
m m f p p m m m f p p p m m m m p f p p p C f p
-------+--+=
-=---=-----+
==
--=………………
即：推论三
1,1,1p m m p
m p C f f p
--+=
对于推论二，令p=1得
推论四
()
112301,1111,112,113,110,1m m m m m m m m m m m m m m C f C C f C f C f C f ---+++-+-+-+=-++++……由自然数幂求和表达式
11
,1,,1,11n
m m m m m m m m m m m i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……
令n=1，则得
推论五
,1,1,,1,21m m m m m m m m f f f f f +-=-----……
推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。
3系数定理的运用
3.1系数定理求和
由01
n
i i n ==∑知，0,1f =1
根据系数定理，推论五 1,20,1111*1222f f ===，1,11,2111122
f f =-=-=
则21
1122n
i i n n ==+∑
2,31,22,21,12,12,32,222112211111
**,**,1133232222326
f f f f f f f =======--=--=
则2321
111
326n
i i n n n ==++∑
3,42,33,32,23,22,13,13,43,33,2331133113311*,*,*,443433222264111
110
424f f f f f f f f f f =
=========---=---=
则34321
111
424n
i i n n n ==++∑
4,53,44,43,34,33,24,2
3,14,14,54,44,34,2441144114411*,*,*,554544223343
441*00,12230
f f f f f f f f f f f f f =============----=-
则45431
111152330n
i i n n n n ==++-∑
3.2常见的自然数幂求和公式 下面是部分自然数幂求和公式
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究
1自由线性空间
定义:由形如()()()121m
n
e n n n n m =---+ 的多项式构成的线性空间称为自由线性空间，其中的元素称为自由向量。
我们规定：当n n e =。 2自由向量的性质 下面我们来研究下自由向量的各种性质： 性质一： 1m m m i i i ie e me +=+ 证明： ()()()()()()()()()()()()()()1*121121*121*121*k i k k i i ie i i i i i k i i i i k i k k i i i i k i k i i i i k k e ke +=---+=---+-+???? =---+-+---+=+ 性质二： ()11 111 m m m i i i e e e m ++-=-+ 证明：由自由向量的定义得 ()()() ()()()()()()()()()()()()(){}()1111211121* 1 1*121*1*121111 m i m m i i e i i i i m i m i i i i i m m i i i i m i m i i i i i m m e e m ++-=+++-+--????=+++-+=+++-+--+++-+=-+ 性质三： 1 1 11n m m i n i e e m +==+∑ 证明：由性质二得()11 111 m m m i i i e e e m ++-= -+ 所以 ()()1 11 11 1 11111111011 01 11 111111 11 n m i i n m m i i i n n m m i i i i n n m m i j i j m m n m n e e e m e e m e e m e e m e m =++-=++-==-++==+++= -+??=-?? +????=-??+??= -+=+∑∑ ∑∑∑∑ 3、自由向量的运用 3.1求和 下面我们利用自由向量求解自然数幂求和 ()()1 121 1 11 1122 n n i i n i i i e i e e n n ===∴===+∑∑ 、 ()()()()()()()21212 212132 1111 2113211 121321 1216i i i n n n n i i i i n n i i i i i ie e e i e e e e e e n n n n n n n n ======-∴=-=-=-=++-+=++∑∑∑∑ 、 ()()()()()()()()()()()()32132213213 3 213214321 1 1 1 1 22323111333*432 11 12312142114i i i i i i i i i n n n n n i i i i i i n n n i i i i i i i e e e e e e e e e i e e e e e e e e e n n n n n n n n n n n ======-=---=-+∴=-+=-+= -+=+++-++++=+∑∑∑∑∑ 、 ()()()()()()()()()()()()()()()432143322143214 4 32143215432 111111 4333263111163636*3*54321112346*1231254i i i i i i i i i i i i i n n n n n n i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i e e e e e e e e e e e e e i e e e e e e e e e e e e n n n n n n n n n n n n =======-+=---+-=-+-∴=-+-=-+-=-+-=++++-++++++∑∑∑∑∑∑ 、 ()()()()21 12112133130 n n n n n n n -+=+++- ()()()()()() ()543215443322154321 5 5 432154321 1 1 1 1 1 1 1 654563463321021710217102171111*21*61054i i i i i i i i i i i i i i i i i n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i i n n n i i e e e e e e e e e e e e e e e e e i e e e e e e e e e e e e e ========-+-=---+---=-+-+∴=-+-+=-+-+= -+-∑∑∑∑∑∑∑ 、 ()()()()()()()()()()()()()()()()()32 222117*321112345123465021711231214321122112n n e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++-++++-+++-++++=++- 3.2自然数幂求和公式 = = = = = = = = = = 四、自然数幂求和公式的VB编码 代码如下： Private Sub Command1_Click() Dim m As Integer, k As Integer Dim a, b, c, d As Double m = Val(Text1.Text) For k = m + 1 To 1 Step -1 a = f(m, k) / he(f(m, k), jc(m + 1)) b = jc(m + 1) / he(f(m, k), jc(m + 1)) Text3 = "+" If k > m And a / b = 1 Then Text2.Text = "n^" & k ElseIf k > m And a / b <> 1 Then Text2.Text = "1/" & m + 1 & "n^" & k ElseIf a * b = 0 Then Text2.Text = Text2.Text ElseIf a * b < 0 Then Text4 = -Abs(a) & "/" & Abs(b) & "n^" Text2.Text = Text2.Text & Text4 & k ElseIf b = 1 Then Text2.Text = Text2.Text & Text3 & "n^" & k Else Text4 = a & "/" & b & "n^" & k Text2.Text = Text2.Text & Text3 & Text4 End If Next k End Sub Function jc(n As Integer) As Double If n = 0 Then jc = 1 Else jc = n * jc(n - 1) End If End Function Function zhs(m As Integer, n As Integer) As Double zhs = jc(m) / (jc(n) * jc(m - n)) End Function Function g(n As Integer) As Double Dim k As Integer Dim s As Double If n = 0 Then g = 1 Else For k = o To n - 1 Step 1 s = s + jc(n) / jc(k + 1) * zhs(n + 1, k) * g(k) Next k g = jc(n + 1) - s End If End Function Function f(m As Integer, n As Integer) As Double f = jc(m) / jc(m - n + 2) * zhs(m + 1, n) * g(m - n + 1) End Function Function hef(m, n As Double) As Double Dim r, t As Double If m < n Then t = a: a = b: b = t End If r = m Mod n Do While r <> 0 m = n n = r r = m Mod n Loop hef = n End Function Function he(a, b As Double) As Double If hef(a, b) = 0 Then he = 1 Else he = hef(a, b) End If End Function Private Sub Command2_Click() Text1.Text = "" Text2.Text = "" End Sub 即ｉ薹Ｉ、蠢≤妻鍪主委 羹萋矍鍪萋羲鬃戋 姜孽耋爱薹；霎蓁囊爹至雩１２毛』三：ｆ毒耋辜耋！姜萼鬟鬻鹱｜；曼彗 囊摹ｌ！，∑叁Ｌ：： ２垂≤＝引●ｒ毛 翼蓁蘩鏊蓁篓鋈篓鋈襄錾鋈鬟黍冀羹 翻Ｎ肇 ；萋藿薹摹ｊ霎耋誊薹摹蠹繁型篱篓薹菱垂羹零ｉ ｉ萋莹荔差薹；００ｉ＿；蓦毒到｝：Ⅱ：而；羹ｉ霎霎萋囊！ｉ雾霎蚕～；；ｉ７１专００三；｝ｉ—ｌｌ蓄；一妻ｉ 薹｛重髻硫终；密萋霉童霉羹。囊至■摹吾｜｜争霪 耋嘉霪藿薹。一薹～。霉篓薹薹●，萋一芝＿＿＿一一誊摹一 藉鏊鼋，尊甾藿姜耋■囊≤｜｜甲琴嘉囊髦鋈薹妻囊囊冀 霎＝ｉ薹■｜｜ｊ妻瞻ｉ兰霎薹罨。蓦薹耋ｊ．；蔓ｉ三 雪差薹薹。墨雾萋毫妻季耋蘑二雾薹姜一琴囊冀狐囊竖 萋罄蠹郛萎篓囊霆姿鬣萋，匿鬻ｉ囊磊些羹蘑鍪雾静蒸 蕊蓑鬟霎；雾妻薹羹蠢捞鬓秀鍪彳萄辇雾薹篓篓髫雾刍 譬誊囊善墓量！≤竖羹囊霪鏊雾管基蓥蠢鉴鏊澍ｍ嗜： 奏鸯耋羹暨奎妻錾蕊捆掌囊４－疟～。晡鏊翼蠹藩题÷囊 旨篓霎萋萎萋萋薹蓦。胤耋：～篓雾鋈菱薹薹璺羹荔警 例谈一类幂级数和函数的求法 作者：杜炜 作者单位：濮阳广播电视大学,河南,濮阳,457000 刊名： 濮阳教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF PUYANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)：2002，15(1) 被引用次数：0次 参考文献(1条) 1.朱有清.贺才兴高等数学复习十五讲 1986 相似文献(10条) 1.期刊论文解烈军求幂级数和函数的微分方程方法-高等数学研究2009,12(3) 按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解. 2.期刊论文徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li幂级数和函数的解法综述-山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1) 本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或"先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数. 3.期刊论文张锦来.ZHANG Jin-lai幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用-延边大学学报（自然科学版）2008,34(2) 根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值. 4.期刊论文张玉灵由通项公式求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式. 5.期刊论文桂曙光.GUI Shu-guang利用差分法求一类幂级数的和函数-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4) 利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数. 6.期刊论文周宏安.ZHOU Hong-an幂级数和函数分析性质的一种证明-陕西工学院学报2000,16(2) 作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性. 7.期刊论文朱双荣例谈求幂级数和函数的一题多解-高等函授学报（自然科学版）2010,23(2) 借助于已知级数的和函数,通过观察或逐项求导、逐项积分等方法得到需要求出和函数的级数所满足的式子,从而求出级数的和函数. 8.期刊论文李高明利用拆项法求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论. 9.期刊论文金少华.宛艳萍求幂级数的和函数时应注意的几个问题-高等数学研究2007,10(3) 讨论求幂级数的和函数时应注意的几个问题. 10.期刊论文刘永莉.李曼生.LIU Yong-li.LI Man-sheng两类幂级数的和函数求法-甘肃联合大学学报（自然科学版）2005,19(2) 利用差分算子与微分方程导出了两类系数含有高阶等差数列的幂级数的求和公式,并举例介绍了公式的应用. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/0018218610.html,/Periodical_pyjyxyxb200201036.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1b3522eb-5036-489c-8ded-9dcf00c128de 下载时间：2010年8月11日 求连续自然数平方和的公式 前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222， 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。 既然A n ＝n n ++++++++ 3213212222，而它的通项公式是3 1 2+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212222＝3 1 2+n 。 因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ， 所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。 由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。 即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。 用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) 求幂级数的和函数()S x 1．1 (1) (1) n n n x n n ∞ =-+∑ 解：易知收敛域为[]1,1-。当()()1,00,1x ∈-?时，1 1 1 (1) ()(1) n n n S x x x n n ∞ +=-= +∑。 令1 11 (1) ()(1) n n n S x x n n ∞ +=-= +∑，则 11 (1)()n n n S x x n ∞ =-'= ∑ ，() 1 1 11 11()(1)1n n n n n S x x x x ∞∞ --==''= -=--=- +∑ ∑。 两边取积分，则 111()()(0)S x S x S '''=-=10 ()ln(1)1x x dt S t dt x t ''=-=-++? ? 。 再取一次积分，则 11110 ()()(0)()ln(1)(1)ln(1)x x S x S x S S t dt t dt x x x '=-= =-+=-++? ?， 从而当()()1,00,1x ∈-?时有 1()1l n (1)x S x x x +=- +。 （*） 当1x =-时，()1 11 1 111(1) 1n n S n n n n ∞ ∞ ==??-= = -= ?++? ?∑∑。 当0x =时，(0)0S =。 当1x =时， ()() ()()() () 1 1 1 1 1 11111112ln 2(1) 11 n n n n n n n n n S n n n n n n +∞ ∞ ∞ ∞ ====?? -----== -=+ =-??+++??? ? ∑ ∑ ∑ ∑ 。 注意：上面第三个等式成立是因为等式右边的两个级数都收敛； 最后一个等式利用了下列麦克劳林展开式： () 1 1 ln(1)1n n n x x n ∞ -=+=-∑ （11x -<≤）。 将1x =代入，即得 () () () 1 1 1 1 1 111ln 211 n n n n n n n n n -+∞ ∞ ∞ ===---= =-=-+∑ ∑ ∑ 。也可以利用幂 级数和函数的分析运算性质（1）（见P262）直接得出(1)S 也满足（*）的结论。 连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非 常简单的方法推导过这个公式。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连 续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和： 右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的 宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。 “列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 显然，所有乘积的和等于 这5块依次是： 1 2 自然数幂次方和的另一组公式 3 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任 4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给 5 出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数 6 至今仍是递推公式表达。 7 8 9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而 10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出 11 来。 12 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 13 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 111 。。。。。。（1） 14 那么同理可应有： 15 ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 1 11)1(1 1 1 16 那么： 17 ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 1 1 11 1 18 [ ]∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 19 20 ∑== p k k n k p C A n 1 21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中： 23 )1).....(1(k n n n C k n -+-= 24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 25 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有： 26 01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t 27 ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 28 （2) 29 ∑-=-=1 1t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 30 （3） 31 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 34 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。 36 第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 本科毕业论文 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY 学院（部）：理学院 专业班级：08-2数学与应用数学 学生姓名：张兴刚 指导教师：范自强 2012年6 月1 日 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 摘要 自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。 关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间 Sum formula of power of natural number 's existence and regularity Abstract Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective. Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space 下面是常用的一些求和公式： a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项 无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 考研数学之幂级数展开与求和 来源：文都图书 级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，其核心内容为幂级数展开与求和，今天我们就来详细学习一下幂级数的展开与求和步骤。 幂级数展开与求和在考试中常以解答题形式出现。要学好展开与求和，首先，我们需要两大工具：1、常见泰勒级数及收敛域;2、逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。 展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下： (1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。 (2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。 (3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。 (4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分。 (5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导。 幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。 (1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。 (2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。 (3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。 除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程结合在一起考查。总之主要方法还是如上综述的方法。望考生们多 联系，以体会上述方法。此外建议考生找一些类似的题目，强化练习。学会利用其方法和技巧，考研数学会涉及很多题目考察很多知识点，对待这些题目，我们要从运用的基本知识，及其解题方法，从理论到实践系统性的掌握，建议参考一下汤家凤的2017《考研数学复习大全》认真备考吧，预祝考试顺利。 When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you 推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法 通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和 已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导 构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n 那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L 第4课连续自然数求和 在运用VB6.0进行程序设计时，经常会发现某一段代码是需要反复执行的，我们把用以实现此种需求的程序结构称为循环结构。在VB6.0中提供的循环结构有两种，一种是For…Next循环；另一种是Do…Loop循环。本节课中，我们将依托一个“连续自然数求和”小程序来引出For...Next循环，并针对其进行简单讨论。 编写意图 流程控制语句是VB6.0程序设计中极其重要的一环，可以说理解并掌握了VB6.0编程中流程控制语句的使用方法，就相当于打开了一扇通往计算机程序设计世界的大门。流程控制语句的学习其实更是一种逻辑思维模式的学习，是一种较为复杂的因果判定思想的形成过程，这种思想在所有的编程语言中也都是通用的。 初中四年级的学生经过多年的学习生活，已经具备了较好的逻辑思维能力和自学能力，所以，本节课我们设计了制作“连续自然数求和”小程序这样一个学习任务，通过这个任务的完成，引出流程控制语句中的For...Next循环结构，同时学习了列表框控件属性的修改方法。 内容分析 课文中出示的“连续自然数求和”小程序共主要涉及到了：修改控件属性、For...Next 循环结构以及简单循环程序的编写、卸载当前窗体四个知识点，其中隐含当前窗体，本节侧重修改控件属性的方法和循环程序的编写这两个知识点地学习。 教学目标 1.知识与技能 ◆理解For...Next循环结构的作用，掌握其语法形式和使用其进行简单循环程序的编写地方法，进而初步形成程序设计中循环程序的概念； ◆列表框控件的属性设置方法。 2.过程与方法 ◆通过学生自读教材和上机对比操作演练，结合前面学习过的控件属性知识，使其能够自行发现并总结出控件属性的修改方法； ◆通过学生自读教材，使学生在对“连续自然数求和”小程序进行分析的过程中理解并掌握For...Next循环结构及运用For...Next语句进行循环程序设计地方法。 3.情感态度与价值观 ◆使学生因自行探究并总结出了控件属性的修改方法而感受探究成功的快乐的同时，进一步增强其自学能力、树立自信心、克服其对计算机编程的恐惧心理； ◆使学生通过对连续自然数进行传统的累加运算与应用循环程序设计“连续自然数求和”程序的对比中认识到计算机程序设计在生活中的作用和意义。 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 数列的求和问题 知识点一：数列的前项和的相关公式 1.任意数列的第项与前项和之间的关系式： 2.等差数列的前项和公式： （为常数） 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式. 3.等比数列的前项和公式： 当时，，， 当时，或 知识点二：求数列的前项和的几种常用方法 1.公式法： 如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和； 2.分组转化法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和。例如对通项公式为a n=2n+3n的数列求和。 3.倒序相加法： 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例如等差数列前项和公式的推导。对 通项公式为的数列求和。 4.错位相减法： 如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应 项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为 （其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”） 的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和。 一般步骤： ，则 所以有 注意： ①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法。一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公 比q后，再错位相减求出其前项和； ②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法 会不成立. 5.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法. 例如对通项公式为的数列求和。 常见的拆项公式： ①； ②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则； ③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时， 则. ④；. 斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1 小学数学解题方法：连续自然数求和 一、解题方法归纳： １．连续自然数求和的方法：头尾两数相加的和×加数的个数÷2 ２．连续自然数逢单时求和的方法：中间的加数×加数的个数。 二、范例解析 例1 比一比，看谁算得快。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1 4个10加上5等于45。 解法2 5个9等于45。 解法3 得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2 = 45。 说明解法1是利用“凑整”技巧进行简算； 解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算； 解法3是常说的高斯求和法速算。 你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题： “求1＋2＋3＋4＋……＋100的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。 高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，将101乘以100后再除以2，结果等于5050。 我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。 头尾两数相加的和×加数的个数÷2 例2 计算下面两题。 ⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？ ⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 =（4＋13）×10÷2 = 17×10÷2 = 170÷2 = 85 ⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =（21＋28）×8÷2 = 49×8÷2 = 392÷2 = 196 说明只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。 例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法1 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 =（53＋59）×7÷2 = 112×7÷2 = 784÷2 = 392 解法2 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 = 56×7 = 392 说明如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和： 中间的加数×加数的个数。 例4 求和。 ⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ⑵24＋26＋8＋30＋32 解⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 = 9×9 = 81 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法例谈一类幂级数和函数的求法
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