山西省四校2019届高三上学期第二次联考数学理试题

2019届高三年级第二次四校联考

数学试题（理）

命题： 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中

（满分150分，考试时间120分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号)

1．设全集U ＝R ，集合{|24},{3,4},()U A x x B A C B =<≤=?则＝ A. (2,3)

B. (2,4]

C. (2,3)∪(3,4)

D. (2,3) ∪(3,4]

2．复数2

(1)1i i

+-＝

A. 1i +

B. 1i -

C. 1i --

D. 1i -+

3．已知等差数列{}n a 各项都不相等，214832a a a a d =+==且，则

A. 0

B.

12

C. 2

D. 0或12

4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝

A ．14

B ．20

C ．30

D ．55

5．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的

三位数，其中奇数的个数为

A ．6

B ．12

C ．18

D ．24

6．设12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P ，

满足2122||||,PF F F F =且到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线离心率为 A.

4

5

B.

54

C.

35

D.

53

7．已知向量,||1,||7a b a a b =+=满足，3

π

=

，则b ｜｜＝

A. 2

B. 3

C.

D. 4

8．若椭圆22

22+1x y a b

=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的

方程为

A.

22

+142

x y = B. 22+13x y = C. 22

+124x y = D. 2

2

+13

y x = 9．将函数sin()()6

y x x R π

=+

∈的图象上所有的点向左平移

4

π

个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为

A.5sin(2)()12y x x R π=+∈

B.5sin()()212x y x R π

=+∈ C.sin()()212x y x R π=-∈ D.5sin()()224x y x R π

=+

∈ 10．函数x

x y |

|log 2=的图象大致是

A. B. C. D.

11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O (0, 0), A (1,-2), B (1,1), C (2,-1)，动点M (x ,y ) 满足条件

?????-2≤?→OM ·?→OA ≤21≤?→OM ·?→OB ≤2

，则?→OM ·?→

OC 的最大值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 12．已知定义域为R 上的函数

)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，如果

)()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值

A ．可能为0

B ．恒大于0

C ．恒小于0

D ．可正可负

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知 则实数k 的取值范围为 ． 62)21(x x -的展开式中，x 5的系数为 ．

14．在

15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c ) cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______

__．

16．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有

1212

()()

0f x f x x x -<-，

且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）

已知函数R x x x x f ∈--=

,2

1

cos 2sin 23)(2． (Ⅰ)求函数)(x f 的对称轴方程和最小正周期； (Ⅱ)求函数??

?

???-4,4ππ上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*(1)

()2

n n n a a S n N +=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设121

,...2n n n n

b T b b b S ==+++，求n T ．

19．（本小题满分12分）

高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；

（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知函数1

()ln(1)f x a x x

=

++． （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若()f x 在[2，4]上为增函数，求实数a 的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 上的任意一点到它的两个焦点)0,(1c F -，)0,(2c F )

0(>c 的距离之和为22，且其焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知直线0=+-m y x 与椭圆C 交于不同的两点Ａ，Ｂ．问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆

过椭圆的右焦点2F ．若存在，求出m 的值；不存在,说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数

()ln()x f x e a =+（a 为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数

x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若2

()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数m ex x x f x

x h -+-=

2)

(ln )(2的零点的个数．

???

??4,412019届高三年级第二次四校联考

数学参考答案（理）

一、1—5 CDBCD 6—10 DAABA 11—12 CC

二、13.［1，3］ 14. -160

15.

16 . 三、

17. 解 ：(Ⅰ)1)6

2sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=

π

x x x x f （3分） 则)(x f 的对称轴是，k ∈Z,最小正周期是是ππ

==

2

2T . （5分）

(Ⅱ）??

?

???-

∈4,4ππx ??????-∈-∴3,3262πππx （8分）

?

?

????-∈-23,1)62sin(π

x ，所以最大值为123

-，最小值为-2.（10分） 18. 解：（Ⅰ）∵(1)

2

n n n a a S +=

，∴22n n n S a a =+ ① 2

1112(2)n n n S a a a ---=+≥ ②

由①－②得：22

112n n n n n a a a a a --=-+- (2分) 11()(1)0n n n n a a a a --+--=，∵0n a > ∴11

(2)n n a a n --=≥，又∵1111(1)

2

a a a S +==

，∴11a = ∴1(1)(2)n a a n d n

n =+-=≥ ---------------(5分)

当1n =时，11a =，符合题意. n a n =----------（6分） （Ⅱ）∵(1)(1)22n n n a a n n S ++== ∴111

(1)1

n b n n n n ==-++-----（10分） 则11111111223111

n n T n n n n =-

+-+???+-=-=+++---------(12分) 19．解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选

κπ π + = 3 x 2

出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A 、B 相互独立，

且25262

()3C p A C ==, 242

62()5

C P B C ==. …………………4分

所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为

224

()()()3515

P A B P A P B ?=?=?= …………………………… 6分

（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得

4

(0)

15

P ξ==, 21112

552442222

666622

(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611

(3).45

c p c c ξ===

2

(2)1(0)(1)(3)9

p p p p ξξξξ==-=-=-==

…………… 9分 ξ的分布列为

∴ ξ的数学期望 012311545945

E ξ=?

+?+?+?= ………12分 20. 解：（1）由010()(1,0)(0,)x x f x

≠+>-?+∞且得函数的定义域为，（2分）

又2222

1121(1)(21)

()1(1)(1)

x x x x f x x x x x x x ---+'=-+==+++，由()f x '>0得 ，

所以()f x 的单调增区间为1

(1,)(1,)2--+∞和，单调递减区间为1(0)(01)2

-，

和，.（4分） ()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：

由表知()f x 的极大值为极小值为(1)12ln 2f =+.--（6分）

（Ⅱ）221

()(1)

ax x f x x x --'=+，若()f x 在区间[2，4]上为增函数，则当[2,4]x ∈时，()0f x '≥恒

成立，即221

0(1)

ax x x x --≥+，----------------------------------------（8分）

21．解：（Ⅰ）依题意可知???==2

22

22c a

又∵2

2

2

c a b -=，解得??

?==1

2b a ———————————————（2分）

则椭圆方程为12

22

=+y x ．—————————————————————（4分） （Ⅱ）联立方程??

???=+-=+,0,1222

m y x y x 消去y 整理得：022432

2=-++m mx x （6分）

则0)3(8)22(12162

2

2

>+-=--=?m m m

解得 33<<-m ①————————————————————（7分）

372±-=m 3

7

2±-=

m

解得 ——————————————（11分）

检验都满足①，∴————————————（12分） 22. 解：（Ⅰ）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x

+-=+-恒成立．

∴()() 1.x x e

a e a -++= 即211,x x ae ae a -+++=

∴()0,0.x

x

a e e a a -++=∴=……………4分

（Ⅱ）由（I ）知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+ ∴'

()c o s g x x

λ=+ 又)(x g 在[－1，1]上单调递减，0)(≤'x g 在[－1，1]上恒成立。

∴cos x λ≤-对x ∈[－1，1]恒成立，[-cosx]min =-1,∴1λ≤-……………6分 ∵2

()1g x t t λ≤++ 在[1,1]x ∈-上恒成立,即1)(2max ++≤t t x g λ……………7分

)1()(max -=g x g =1sin --λ

∴2sin11,t t λλ--≤++即2

(1)sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立

令),1(11sin )1()(2

-≤++++=λλλt t h 则???≥+++--≤+,

011sin 10

12

t t t …………8分 ∴21sin10

t t t ≤-??-+≥? ，2s i n 10,t t -+≥而恒成立 1-≤∴t ．………9分 （Ⅲ）由（I ）知,2ln )(,)(2m ex x x

x

x h x x f -+-=∴=函数为

∴讨论函数m ex x x x x h -+-=2ln )(2的零点的个数,即讨论方程m ex x x

x

+-=2ln 2根的个数。 令m ex x x f

x x x f +-==

2)(,ln )(221，2

1ln 1)(x x x f -=' ， 当),0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴>'∈上为增函数； 当),()(,0)(,),(11+∞∴<'+∞∈e x f x f e x 在时上为减函数， ∴

当

e

x =时，

.

1

)()(1max 1e

e f x f == 而

222)()(e m e x x f -+-=，

)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当e e m e e m 1

,122

+>>

-即时，方程无解．函数)(x h 没有零点；---10分 ②当e e m e e m 1,12

2+==-即时，方程有一个根．函数)(x h 有1个零点……11分

③当e

e m e e m 1,12

2+<<-即时，方程有两个根．函数)(x h 有2个零点.…12分