第2讲 不等式的证明

第2讲不等式的证明1.设不等式|2x-1|<1的解集为M.

(1)求集合M;

(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.

解(1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,

解得0

(2)由(1)和a,b∈M可知0

所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.

故ab+1>a+b.

2.已知a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,求证:a+b+c<1 a+

1 b+1 c.

证明法一∵a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,

∴a+b+c=1

bc+

1

ca+

1

ab<

1

b+

1

c

2+

1

c+

1

a

2+

1

a+

1

b

2=

1

a+

1

b+

1

c.

∴a+b+c<1

a+

1

b+

1

c.

法二∵1

a+

1

b≥2

1

ab=2c;

1 b+1

c≥2

1

bc=2a;

1

c+

1

a≥2

1

ac=2b.

∴以上三式相加,得1

a+

1

b+

1

c≥a+b+c.

又∵a,b,c互不相等,∴1

a+

1

b+

1

c>a+b+c.

法三∵a,b,c是不等正数,且abc=1,

∴1

a+

1

b+

1

c=bc+ca+ab=

bc+ca

2+

ca+ab

2+

ab+bc

2>abc

2+a2bc+ab2c=

a+b+c.

∴a+b+c<1

a+

1

b+

1

c.

3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|.

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