古典概型的应用

古典概型在现实生活中的应用

摘要：概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它的理论和方法几乎渗透到自然科学的各个领域。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它的内容比较简单，应用却很广泛。本文深入理解古典概型中的一些基本概念和基本问题，概括了它的解析方法，最后列举了几种它在现实生活中的应用。掌握古典概型中的基本规律，有助于发展思维的灵活性和创造性，提高分析问题和解决问题的能力。

关键词：古典概型；概率；应用；生活

Abstract: The probability theory is a branch of mathematics which studies the law of random phenomenon from the aspect of quantity, whose theories and methods almost seep into each realm of natural science. The classical probability models play a very important role in the whole probability theory. Although its contents are not quite sophisticated, they are used extensively. In this paper, we probe the basic concepts and basic problems of classical probability models deeply, and summarize the analytical methods. Finally, we list some application examples in the real life. Mastering the basic laws is helpful to develop the flexibility and creativity of thinking and improve the capability of analyzing.

Key words: classical probability models; probability; apply; life

1 引言

古典概型，也称等可能概型，是概率论发展初期的主要研究对象，这说明了它是概率论的重要组成部分，也体现了它在实际生活中的客观价值。古典概型概括了很多实际问题，有着广泛的应用。在日常生活中，我们会经常碰到一些事情不能决定，有些道理不好解释，这就需要专业知识来帮助我们。所以在平时我们要学会把一些问题归类，建立相关的模型去解决或解释它们，以起到事半功倍的效果。

2 古典概型的概念及特点

2.1 古典概型的概念

古典概型是一种概率模型。在这个模型下，随机实验的所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一枚硬币（质地均匀的硬币）的实验，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型[1]。这些都是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

2.2 古典概型的特点

通过上面的几个古典概型的例子可以看出：实验结果只有有限个，而且每个实验结果出现的概率是一样的。而这正是古典概型具有的两个特点[2]：

2.2.1 有限性：试验的样本空间只包括有限个元素。

掷硬币实验只可能出现正面或者反面这两种情况，样本空间为二；掷骰子实验只可能出现一点到六点这六种情况，样本空间为六。

2.2.2 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同。

掷一次硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是二分之一；掷一次骰子，一点到六点每个点数出现的概率都是六分之一。

注只有同时具备上面这两个特点的概型才是古典概型。

3学习古典概型的意义

现实生活中，我们到处都可以看到古典概型的影子，它一直伴随在我们的身边：平时我们用掷硬币决定比赛的先后顺序；从一个密闭的盒子里抽奖；双色球彩票等等。随着社会的进步，科技的发展，概率论在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得了越来越广泛的应用，也获得了越来越大的发展动力。我们要理解并解释这些现象，就得掌握并认识古典概型。

学习中，古典概型在概率的学习中也占据着重要的地位。在古典概型中，一般都用排列组合公式来解决概率问题，这样给我们的感觉是概率的计算难做、难

懂。再者，概率知识贴近生活，理应更容易学习才是。可是，我们在学习概率时往往出现很多辨析的难点，经常把简单的问题复杂化。所以要学好概率论，就得先学好古典概型。

古典概型作为现实生活中最为常见的一种现象，同时也是概率论中不可或缺的一部分。我们必须准确理解古典概型的多方面知识，由浅入深学习古典概型，培养学习古典概型的兴趣，并且深刻认识到古典概型在现实生活中的应用。

4 古典概型的解析方法

要学好古典概型，首先要全面的认识古典概型。除了前面说到的古典概型的两个特点，还得认识到古典概型的一般性质、两个原理以及两个计算公式[3]。

4.1 古典概型的一般性质：

性质1 非负性：对于每一个事件A ，有0() 1.P A ≤≤

性质2 规范性：对于必然事件S ，有() 1.P S =

性质3 可加性：若 A B ?=?，则()()().PA B PA PB ?=+（可以推广到n 个事件）。

性质4 ()1().P A P A =-

4.2 古典概型的两个原理：

4.2.1 加法原理：完成一件工作有n 类办法，用第1类办法完成有1m 种方法，用第2类办法完成有2m 种方法，

，用第n 类办法完成有n m 种方法。那么，完成这件工作总共有123m m m +++种方法。

4.2.2 乘法原理：完成一件工作共需n 个步骤，完成第1个步骤有1m 种方法，完成第2个步骤有2m 种方法，，完成第n 个步骤有n m 种方法。那么，完成这件工

作共有123m m m ???种方法。

4.3 古典概型的两个计算公式：

公式1 排列计算公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--?-+

!.()!

m n n A n m =-

公式2 组合计算公式：m m

n n

,!A C m = !.!()!

m n n C m n m =-

4.4 解古典概型步骤

步骤1 判明问题性质，分辨所解的问题是不是古典概型问题。如果问题所涉及的试验具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现的可能性相同。那么，我们就可断定它是一个古典概型问题。 步骤2 掌握古典概型的计算公式。如果样本空间包含的样本点的总数为n ，事件A 包含的基本事件数为k ，那么事件A 的概率是：

().A k n S P A ==包含的基本事件数中基本事件的总数

步骤3 根据公式要求，确定n 和k 的数值。这是解题的关键性一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式。古典概型的解法大体都是围绕n 和k 的计算而展开的。

5 古典概型在现实生活中的应用

概率作为高等数学的一个重要分支，其模型和知识在人们的日常生活和经济生活中无处不在。如一些小商贩和商家在娱乐场所举行的挣钱游戏，以及保险行业谋取暴利等，只要我们认真分析一下，不难看出他们获得暴利的窍门。在概率统计类课程的实践教学过程中，通过向学生们引入这些现实世界中的例子，促进

学生将理论知识紧密联系实际生活，积极思考，不断开拓学习的视野，学会利用概率的基本理论、基本知识来解决生产、生活中的实际问题，从而提高解决实际问题的综合应用能力。

而古典概型作为概率论的重要组成部分，它在现实生活中的应用更是屡见不鲜。接下来围绕古典概型中的几类基本模型，我们给出它们的分析思路，指出它们的典型意义，介绍它们的常见应用。

5.1 摸球模型

摸球模型作为古典概型中的典型问题，它是指从装有n 个球的袋中摸出s 个球的模型。为使模型具有一般性，假设袋中的n 个球是分类区别的，其中第一类型的球有1n 个，第二类型的球有2n 个，，第m 类型的球有n m 个，且12.m n n n n +++=特别地，若袋中的球互不相同，则每类所含元素为1；若袋中的球无区别，则类型数为1。考虑到摸出s 个球的方式可分为有放回的摸球模型和无放回的摸球模型[5]。有放回摸球是指每次摸出一个球，观察其类型后放回袋中，搅匀后再进行下一次摸球。无放回摸球是指每次可摸出一个或多个，摸出的球不再放回袋中，下次摸球从袋中剩余的球中进行，这时要注意古典概型的等可能性。

5.1.1 有放回的摸球模型

例[5] 袋中有1,2,,N 号球各一个，采用有放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。

解：设{}1(1,2,)k A i i k ==第次摸到号球，因为是有放回摸球，每次袋中都有N 个球，共摸k 次。故共有k N 种可能结果，即基本事件总数k n N =。下面求事件

k A 的基本事件数m 。

因前1k -次末摸到1号球，可能的结果为k 1(1)N --，而第k 次首次摸到1号球只有一种结果，故k 11(1)m N -=--，于是所求概率为:

1

k k

(1)().k m N P A n N --== 5.1.2 无放回的摸球模型

例[5] 接“有放回摸球方式”中的例1求无放回方式摸球在第k 次摸球时首次

1号球的概率。

解：设{}1(1,2,)A i i k ==第次摸到号球，因袋中N 个球均已编号，显然为各不相同的球。若把摸出的球以此排成一列，则N 个球的每个排列就是一个基本事件，故基本事件总数为数码1,2,,N 的全排列：!.N n P N ==

事件k A 的基本事件数等于(1)!N -，这是因为在第k 个位置上排列的球一定是编号等于1的球的个数。只有一种排法，在其他1N -个位置上，球的排列种数为(1)!N -，由乘法原理1(1)!(1)!m N N =?-=-，所以:

(1)!1().!k m N P A n N N

-=== 注 如果把题中的“球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”。

5.2 分球入盒模型

从球是可辨的和不可辨的两个方面进行探讨。

5.2.1 球是可辨的情形

所谓球是可辨的，是指球是有区别的，可辨认的。

例[6] 设有m 个可辨的球，每个球都等可能地被分配到()M m M ≤个不同的盒子中的任何一个盒子中去，求下列事件的概率：

(1)某些指定的m 个盒子中各有一个球；

(2)恰有m 个盒子，其中各有一个球；

(3)某指定盒子中恰有()k k m ≤个球。

解：每个球有M 个盒子可供选择，所以m 个球放入M 个盒子的放法共有m M 种，且它们都是等可能的。

(1)m 个球分别分配到M 个预先指定的盒子中，且每个盒子放一个球，故有!m 种方法，于是：

1m!.m P M

= (2)首先在M 个盒子中选取m 个球有m M C 种选取方法，对选定的m 个盒子，按

上述的讨论可知有!m 种分配方式。于是：

m 2!=.!(m)!

M m m C M P M M m M =- (3)从m 球中任意选取k 个球有k m C 种选法，其余的()m k -个球可以任意分配

到另(1)M -个盒子中去，有(1)m k M --种方法。故:

3(1)=.k m k

m m

C M P M -- 注 m 个可辨的球放人M 个盒子中的分布，是一种理想化的概率模型，可以用描述许多直观背景很不同的随机试验，诸如：生日问题、性别问题、掷骰子问题、旅客下站问题、印刷错误问题、意外事故问题等都是一些貌异质同的试验。

5.2.2 球是不可分辨的情形

引理[4]

m 个不可辨的球放入M 个不同的盒子中，共有m-1m M C +种不同的方法。

例[6] 5个不可辨的球放入3个不同的盒子，求“无空盒”的概率。

解：首先从5个球中取出3个球，然后每个盒子放一球，以保证“无空盒”，由于球是不可辨的，故上述做法只有一种，再将剩下的2个球放人3个盒子中共

有2232-14=C C +种放法。5个不可辨的球放入3不同的盒子共有5535-17=C C +种放法。

“无空盒”的概率为：

24572=7

C P C = 注 这种情形还可以解决其他不同背景的古典概型问题，如住房分配问题、随机取数问题和英文字母排列问题等。

5.3 古典概型在双色球中的应用

双色球彩票是从1－33号球中选“6+1”，方案是从1－33号红球中摇出6个

基本号码，摇出一个不再放回( 即没有重复)，再从1－16号绿球中摇出1个特别号码，投注者从1－33个数字中选出6个基本号码，再从1－16个数字中选出一个特别号码构成一注（选的号码与摇出的号码不用按顺序）。若所选的6个基本号码和特别号码与摇出的6个基本号码和特别号码完全一致获一等奖; 若6个基本号码相同，特别号码不相同获二等奖; 若6个基本号码中有5个相同，同时特别号码也相同获得三等奖，若获得高级奖就不再获得低级奖。求获得一、二、三等奖的概率各是多少?[3]

在此问题中各个球被摇出的概率是相同的，被摇出的球也是有限的，根据古典概型的特点，此问题属于古典概型的问题[8]。所以，要解决内容抽象的问题，我们要以排列、组合、集合论等知识作为出发点，富于技巧，利用抽象思维把握好问题的内在联系。对于计算的问题可以用实验来验证，它的解题技巧更是多种多样，灵活多变。因此，解决概率问题没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧。

解：在上面的问题中，要获得一等奖，就要基本号码和特别号码全部正确，只有一种情况。把中一等奖记为事件A ，由于基本号码是从1－33号球中抽取6

个，有633C 种，特别号码是从1－16 号球中抽取1个有116C 种，所以，在此试验中

基本事件总数为633C ·116C 个。又因为中一等奖只有一种情况，所以：

613316

1()00000000564.·P A C C ==． 要获得二等奖，6 个基本号码必须全部正确，只有一种情况，特别号码在1

－16号球中除去中一等奖的情况就有115C 种可能，所以有1151C ?种可能，把中二等

奖记为事件B ，则：

115613316

1()0.0000008464.·C P B C C ?== 获得三等奖的情况是在中奖的6个中选5个，再从1－33 个号码中除去中奖

的 6个号码(即33－6 =27)的27个号码中任选一个，所以有51627

·C C 种情况，特别号码必须正确有一种可能，把中三等奖记为事件C ，则：

51627613316

1()0.0000091417.·C C P C C C ??== 注 这是从现实生活中的实际情况出发，让我们了解到一个古典概型就是用排列、组合、加法原理、乘法原理为解决工具[7]。我们可以看出要中一、二、三等奖的概率是非常小的，如果在一次开奖中必须中一等奖，那么就必须把所有的可能都买，这样即使中奖也要亏本。我们也可以利用大数定理、数学期望、中心极限定理等知识来更好的认识到数学在彩票中的应用[9]。

6 总结

古典概型在概率中占有比较重要的地位，一方面，它的许多概念比较直观，容易理解；另一方面，它又概括了许多实际问题，有着很广泛的应用。它和排列、组合等其他数学知识结合在一起，锻炼着人类的思维，绽放着无穷的魅力。

参考文献

[1] 华锐.“古典概型”的魅力[J].调研世界,2012-07-15：64.

[2] 边婷婷.浅谈古典概型[J].基础教育论坛,2012-04-10：22.

[3] 孔凤欢.古典概型在实际中的应用[J].数学学习与研究,2012-07-05：132.

[4] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,1983.

[5] 李勇.古典概率中几种模型的研究与应用[J].理科爱好者,2012,(3):34-35.

[6] 王家正.古典概型中的分球入盒问题[J].中学数学教学，1999(5):7-9.

[7] 吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京:中国人民大学出版社,2O11.

[8] 王志超.摇出的彩票中奖号码随机吗[J].高等数学研究,2004(05):53-55．

[9] 察可文.彩票中的数学[J].山东轻工业学院学报,2003,17(3):70-77．