贾忠孝高等数值分析复习资料

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李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

第一章 绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解:* 1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q

数值分析报告报告材料期末复习资料

数值分析期末复习 题型:一、填空 二、判断 三、解答(计算) 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、有效数字 1、 定义:若近似值x*的误差限是某一位的半个单位,该位到x*的第一位非零数字共有n 位,就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解: (1) 四舍五入的一定是有效数字 (2) 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1(P6):若x*具有n 位有效数字,则其相对误差限为 4、 考点: (1)计算有效数字位数:一个根据定义理解,一个根据定理1(P7例题3) 二、避免误差危害原则 1、 原则: (1) 避免大数吃小数(方法:从小到大相加;利用韦达定理:x1*x2= c / a ) (2) 避免相近数相减(方法:有理化)eg. 或 (3) 减少运算次数(方法:秦九韶算法)eg.P20习题14 *(1)1 1 102n r a ε--≤ ?; x εx ε x εx ++=-+();1ln ln ln ???? ? ?+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =

三、数值运算的误差估计 1、 公式: (1) 一元函数:|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差(两边同时除以f (x *)) eg.P19习题1、2、5 (2) 多元函数(P8)eg. P8例4,P19习题4 第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义:在区间[a,b]上,给定n+1个点,a ≤x 0<x 1<…<x n ≤b 的函数值 yi=f(xi),求次数不超过n 的多项式P(x),使 2、 定理:满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 n i y x P i i n ,,2,1,0)(Λ==

清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法,Lanczos算法与MINRES算法)

高等数值计算实践题目一 1. 实践目的 本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法,Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上,进一步探讨这3种算法的数值性质,主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。 2. 实践过程 (一)生成矩阵 (1)作5个100阶对角阵i D 如下: 1D 对角元:1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 2D 对角元:1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元:,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ==== 4D 对角元:,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元:,1,...,100j d j j == 记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1i λ和i n λ,则i D 特征值分布有如下特点: 1D 的特征值有较多接近于i n λ,并且1/i i n λλ较小, 2D 的特征值有较多接近于i n λ,并且1/i i n λλ较大, 3D 的特征值有较多接近于1i λ,并且1/i i n λλ较大, 4D 的特征值有较多接近于中间模特征值,并且1/i i n λλ较大, 5D 的特征值均匀分布,并且1/i i n λλ较大 (2)随机生成10个100阶矩阵j M : (100(100))j M fix rand = 并作它们的QR 分解,得j Q 和j R ,这样可得50个对称的矩阵T ij j i j A Q DQ =,其中i D 的对角元就是ij A 的特征值,若它们都大于0,则ij A 正定,j Q 的列就是相应的特征向量。结合(1)可知,ij A 都是对称正定阵。

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习 题型:一、填空 二、判断 三、解答(计算) 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、 有效数字 1、 定义:若近似值x*的误差限是某一位的半个单位,该位到x*的第一位非零数字共有n 位,就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解: (1) 四舍五入的一定是有效数字 (2) 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1(P6):若x*具有n 位有效数字,则其相对误差限为 4、 考点: (1)计算有效数字位数:一个根据定义理解,一个根据定理1(P7例题3) 二、 避免误差危害原则 1、 原则: (1) 避免大数吃小数(方法:从小到大相加;利用韦达定理:x1*x2= c / a ) (2) 避免相近数相减(方法:有理化)eg. 或 (3) 减少运算次数(方法:秦九韶算法)eg.P20习题14 三、 数值运算的误差估计 1、 公式: (1) 一元函数:|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差(两边同时 除以f (x *)) eg.P19习题1、2、5 (2) 多元函数(P8)eg. P8例4,P19习题4 *(1) 11 102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ??? ? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =

第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义:在区间[a,b]上,给定n+1个点,a ≤x 0<x 1<…<x n ≤b 的函数值 yi=f(xi),求次数不超过n 的多项式P(x),使 2、 定理:满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 二、 拉格朗日插值及其余项 1、 n 次插值基函数表达式(P26(2.8)) 2、 插值多项式表达式(P26(2.9)) 3、 插值余项(P26(2.12)):用于误差估计 4、 插值基函数性质(P27(2.17及2.18))eg.P28例1 三、 差商(均差)及牛顿插值多项式 1、 差商性质(P30): (1) 可表示为函数值的线性组合 (2) 差商的对称性:差商与节点的排列次序无关 (3) 均差与导数的关系(P31(3.5)) 2、 均差表计算及牛顿插值多项式 四、埃尔米特插值(书P36) 两种解法: (1) 用定义做:设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ,将已知条件代入求解(4个条件:节点函数值、导数值相 等各2个) (2) 牛顿法(借助差商):重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义 n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==

清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验

高等数值分析第二次实验作业

T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer: (1) 构造特征值均在右半平面的矩阵A : 根据实Schur 分解,构造对角矩阵D 由n 个块形成,每个对角块具有如下形式,对应一对特 征值i i i αβ± i i i i i S αββα-?? = ??? 这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。生成矩阵A=U T AU ,其中U 为 正交阵,则A 矩阵的特征值也均在右半平面。不妨构造A 如下所示: 2211112222 /2/2/2/2N N A n n n n ?-?? ? ? ?- ? = ? ? ? - ? ?? ? 由于选择初值与右端项:x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1); 则生成矩阵A 的过程代码如下所示: N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:N A(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; end U = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U; (2) 观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法 编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数,具体代码见附录。 function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m) 输入:A 为方程组系数矩阵,b 为右端项,x0为初值,tol 为停机准则,m 为人为限制的最大步数。 输出:x 为方程的解,rm 为残差向量,flag 为解是否收敛的标志。 外程序如下所示: e=1e-6; m=700;

数值分析程序

用N-C积分公式计算sin(x)在区间[0,∏]上的积分值。 #include"stdio.h" #include"math.h" void main() { int n,k; double sum=0.0,a=0.0,b=3.2415926; double Cotes[8][9]={{0.5,0.5},{1.0/6,4.0/6,1.0/6},{1.0/8,3.0/8,3.0/8,1.0/8}, {7.0/90,32.0/90,12.0/90,32.0/90,7.0/90},{19.0/288,75.0/288,50.0/288,50.0/288,75.0/288, 19.0/288}, {41.0/840,216.0/840,27.0/840,272.0/840,27.0/840,216.0/840,41.0/840}, {751.0/17280,3577.0/17280,1323.0/17280,2989.0/17280,2989.0/17280,1323.0/17280,35 77.0/17280,751.0/17280}, {989.0/28350,5888.0/28350,-928.0/28350,10496.0/28350,-4540.0/28350,10496.0/28350, -928.0/28350,5888.0/28350,989.0/28350}}; //printf("请输入积分区间a和b:"); //scanf("%lf,%lf",&a,&b); printf("请输入积分节点n(1<=n<=8):"); scanf("%d",&n); printf("\n"); for(k=0;k<=n;k++) sum+=Cotes[n-1][k]*(sin(a+k*(b-a)/n)); sum=sum*(b-a); printf("%lf\n",sum); printf("误差值为:%lf\n",2.0-sum); }

《数值分析简明教程》讲义

第1章 绪论 数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程,其特点如下: 第一,面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的有效算法,即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算,是计算机能直接处理的。 第二,有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性,还要对误差进行分析,这些都建立在相应数学理论基础上。 第三,要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存储量, 这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。 第四,要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值试验 证明是行之有效的。 1.1 误差的基本概念 除了极个别的情况外,数值计算总是近似计算,实际计算结果与理论结果之间存在着误差。 数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。 一、误差的来源 1、模型误差 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型,它是对被描述的实际问题进行抽象,简化而得到的,因而是近似的,数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。这种误差可忽略不计,在数值计算方法中不予讨论。 2、观测误差 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量,如温度,长度,电压等等,测量的结果不可能绝对正确,由此产生的误差称为观测误差。观测误差在数值计算方法中也不予讨论。 3、截断误差(方法误差) 在数学模型不能得到精确解时,通常要用数值方法求它的近似解,其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。 4、舍入误差 在计算过程中,由于计算机的字长有限,采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示,由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差,这些误差称为舍入误差。。 二、绝对误差和相对误差 1、绝对误差秘绝对误差限 设数x (精确值)有一个近似值为* x ,记 *)(x x x e -= 称e(x)为近似值* x 的绝对误差,简称误差。 当e(x)为正时,近似值* x 偏大,叫做强近似值 ;当它为负时,近似值* x 偏小,叫作弱近似值。 准确值x 一般是未知的,因而绝对误差 )(*x e 也是未知的,但往往可以估计出绝对误差的一个上界,即可以找出一个正数η, 使 η ≤*)(x e 称η为* x 的绝对误差限(或误差限)。 显然,误差限η总是正数,且η≤-||* x x ,在应用上常常采用如下写法: η±=*x x 例:用毫米刻度的米尺测量一长度x 时,如果该长度接近某一刻度* x ,则* x 作为x 的 近似值时 21 )(≤ -=**x x x e (毫米)=0.5(毫米)

清华大学高等数值计算(李津)实践题目二(SVD计算及图像压缩)(包含matlab代码)

第1部分 方法介绍 奇异值分解(SVD )定理: 设m n A R ?∈,则存在正交矩阵m m V R ?∈和n n U R ?∈,使得 T O A V U O O ∑??=?? ?? 其中12(,, ,)r diag σσσ∑=,而且120r σσσ≥≥≥>,(1,2, ,)i i r σ=称为A 的 奇异值,V 的第i 列称为A 的左奇异向量,U 的第i 列称为A 的右奇异向量。 注:不失一般性,可以假设m n ≥,(对于m n <的情况,可以先对A 转置,然后进行SVD 分解,最后对所得的SVD 分解式进行转置,就可以得到原来的SVD 分解式) 方法1:传统的SVD 算法 主要思想: 设()m n A R m n ?∈≥,先将A 二对角化,即构造正交矩阵1U 和1V 使得 110T B n U AV m n ?? =?? -?? 其中1200n n B δγγδ??? ???=?????? 然后,对三角矩阵T T B B =进行带Wilkinson 位移的对称QR 迭代得到:T B P BQ =。 当某个0i γ=时,B 具有形状12B O B O B ?? =? ??? ,此时可以将B 的奇异值问题分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题;而当某个0i δ=时,可以适当选取'Given s 变换,使得第i 行元素全为零的二对角阵,因此,此时也可以将B 约化为两个低 阶二对角阵的奇异值分解问题。 在实际计算时,当i B δε∞≤或者() 1j j j γεδδ-≤+(这里ε是一个略大于机器精度的正数)时,就将i δ或者i γ视作零,就可以将B 分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。

数值分析讲义

第1章数值分析中的误差 一、重点内容 误差设精确值 x* 的近似值x,差e=x-x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。 误差限近似值 x 的误差限是误差 e 的一个上界,即 |e|=|x-x*|≤ε。 相对误差er是误差e 与精确值x* 的比值,。常用计算。 相对误差限是相对误差的最大限度,,常用计算相对误差限。 绝对误差的运算: ε(x1±x2)=ε(x1)+ε(x2) ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)+|x2|ε(x1) 有效数字如果近似值 x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位,我们就说x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。 关于有效数字: (1) 设精确值 x* 的近似值x, x=±0.a1a2…an×10m a1,a2,…,an是 0~9 之中的自然数,且a1≠0, |x-x*|≤ε=0.5×10m-l,1≤l≤n 则x 有l位有效数字. (2) 设近似值x=±0.a1a2…an×10m有n 位有效数字,则其相对误差 限 (3) 设近似值x=±0.a1a2…an×10m的相对误差限不大 于 则它至少有n 位有效数字。

(4) 要求精确到10-3,取该数的近似值应保留 4 位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的,准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位,例如具有绝对误差e =0.0926 的数x=20.7426 只有三位准确数字 2,0,7。 一般粗略地说,具有一位准确数字,相对于其相对误差为 10% 的量级;有二位准确数字,相对于其相对误差为 1% 的量级;有三位准确数字,相对于其相对误差为 0.1% 的量级。 二、实例 例1 设 x*==3.1415926… 近似值x=3.14=0.314×101,即m=1,它的误差是0.001526…,有 |x-x*|=0.001526…≤0.5×101-3 即l=3,故x=3.14 有 3 位有效数字。x=3.14 准确到小数点后第 2 位。 又近似值x=3.1416,它的误差是0.0000074…,有 |x-x*|=0.0000074…≤0.5×101-5 即m=1,l=5,x=3.1416 有 5 位有效数字。 而近似值x=3.1415,它的误差是0.0000926…,有 |x-x*|=0.0000926…≤0.5×101-4 即m=1,l=4,x=3.1415 有 4 位有效数字。 这就是说某数有 s 位数,若末位数字是四舍五入得到的,那么该数有 s 位有效数字;若末位数字不是四舍五入得到的,那么该数有 s 位或 s-1 位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限: 2.000 4 -0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1=2.000 4=0.200 04×101,它的误差限 0.000 05=0.5×10 1―5,即m=1,l=5,故x1=2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限 。 x2=-0.002 00,误差限 0.000 005,因为 m=-2,l=3,x2=-0.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限r=0.000 005/0.002 00=0.25%。 x3=9 000,绝对误差限为 0.5,因为m=4,l=4,x3=9 000 有 4 位有效数字,相对误差限r=0.5/9 000=0.005 6%。 x4=9 000.00,绝对误差限 0.005,因为m=4,l=6,x4=9 000.00 有 6 位有效数字,相对误差限为r=0.005/9 000.00=0.000 056%。 由x3 与x4 可以看到小数点之后的 0,不是可有可无的,它是有实际意义的。 例3 ln2=0.69314718…,精确到 10-3 的近似值是多少?

清华大学高等数值分析作业李津1——矩阵基础

20130917题目 求证:在矩阵的LU 分解中,1 11n n T n ij i j j i j L I e e α-==+??=- ??? ∑∑ 证明: 在高斯消去过程中,假设0jj a ≠ ,若a=0,可以通过列变换使得前面的条件成立,这里不考虑这种情况。 对矩阵A 进行LU 分解,()() () ()()1 11 1111L M n M M M n ---=-=??-………… , 其中()1n T n ij i j i j M j I e e α=+??=+ ??? ∑ ,i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。 ()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到, 通过逆向的变换则可以得到单位阵,由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n T n ij i j i j I e e α=+??- ???∑。故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+?? ??=- ? ? ????? ∏∑ 上式中的每一项均是初等变换,从右向左乘,则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次 向下乘法叠加的初等变换。由于最初的矩阵为单位阵,变换从右向左展开,因而每一次变换不改变已经更新的数据,既该变换是从右向左一列一列更新数据,故 11n n T n ij i j j i j L I e e α==+??=- ??? ∑∑。 数学证明:1n T ij i j i j e e α=+?? ???∑具有 ,0 00n j j A -?? ??? 和1,1000n j n j B -+-+?? ?? ? 的形式,且有 +1,-11,10000=000n j j n j n j A B --+-+???? ?????? ? 而1 1n n T ij i j j k i j e e α-==+?? ??? ∑∑具有1,1000n k n k B -+-+?? ???的形式,因此: 1 311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+??????????????=---?? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????=-- ? ? ?????∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T T k n ik i k k k i k e I e e α--===+????=- ?? ?????? ∑∑∑#

数值分析讲义线性方程组的解法

数值分析讲义 第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结

§3.0 引言 重要性:解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类:线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法:对于给定的方程组,在没有舍入误差的假设下,能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法,重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法:基于一定的递推格式,产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提,此外,存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.

§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式:X k +1=BX (k )+f ,其中,B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式? (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式: ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式: ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp

数值分析实验报告资料

机电工程学院 机械工程 陈星星 6720150109 《数值分析》课程设计实验报告 实验一 函数插值方法 一、问题提出 对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。 数据如下: (1 求五次Lagrange 多项式5L ()x ,计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。(提示:结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈) 实验步骤: 第一步:先在matlab 中定义lagran 的M 文件为拉格朗日函数 代码为: function[c,l]=lagran(x,y) w=length(x); n=w-1; l=zeros(w,w); for k=1:n+1 v=1; for j=1:n+1 if(k~=j) v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end l(k,:)=v; end c=y*l; end

第二步:然后在matlab命令窗口输入: >>>> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >>p = lagran(x,y) 回车得到: P = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 由此得出所求拉格朗日多项式为 p(x)=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845 第三步:在编辑窗口输入如下命令: >> x=[0.4 0.55 0.65 0.80,0.95 1.05]; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.0845; >> plot(x,y) 命令执行后得到如下图所示图形,然后 >> x=0.596; >> y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718 *x-15.084 y =0.6257 得到f(0.596)=0.6257 同理得到f(0.99)=1.0542

数值分析第五版复习资料

第一章绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解:* 1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q %1

数值分析整理版试题及复习资料

例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1) 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以,法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ,经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011 6a =

清华大学杨顶辉数值分析第5次作业答案

2.定义映射22:B R R →,()B x y =,满足y Ax =,其中 0.80.40.10.4A ??=????,2,x y R ∈ 则对任意的2 ,u v R ∈ 1111119 ||()()||||||||()||||||||||||||10B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=- 故映射B 对一范数是压缩的 由范数定义 ||||1 ||||max |||| 1.2 x A Ax ∞∞∞===,知必然存在0 x , 0||||1 x ∞= 使得0|||||||| 1.2 Ax A ∞∞== 设012(,)T x x x = 取 12(,0),(0,)T T u x v x ==-,则 u v x -=,有 00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞ -=-=-===>==- 故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞ -,从而映射B 对无穷范数不是压缩的 4. 证明:对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理,有 ()()'()()() 1e G x G y G x y x y e ξ ξξ-=-=-+ 其中0111b b e e e e ξξ<≤<++ 所以 |()()||()||| 11b b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++ 故G 为[,]a b 上的压缩映射 而 ()ln(1)ln x x G x e e x =+>= 即()G x x =无根

清华大学高等数值分析实验设计及答案

高等数值分析实验一 工物研13 成彬彬2004310559 一.用CG,Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b 作实验中,A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵,S是1043阶的一个稀疏阵 A= sprandsym(S,[],0.01,3); 检验所生成的矩阵A的特征如下: rank(A-A')=0 %即A=A’,A是对称的; rank(A)=1043 %A满秩 cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵 1.CG方法 利用CG方法解上面的线性方程组 [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043); 结果如下: Iter=35,表示在35步时已经收敛到接近真实x relres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差 绘出A的特征值分布图和收敛曲线: S=svd(A); %绘制特征值分布 subplot(211) plot(S); title('Distribution of A''s singular values');; xlabel('n') ylabel('singular values') subplot(212); %绘制收敛曲线 semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o'); title('Convergence curve'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); 得到如下图象:

为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系,需要改变A的特征值: (1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响 在A的构造过程中,通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数),可以达到改变A的特征值分布的目的: 通过改变rc=0.1,0.0001得到如下两幅图 以上三种情况下,由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为:48,14和486,由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。 由以上三图比较可以看出,A的条件数越大,即A的最大最小特征值的差别越大,叠代所需要的步骤就越多,收敛越慢。 (2)研究A的中间特征值的分布对于收敛特性的影响: 为了研究A的中间特征值的分布对收敛速度的影响,进行了如下实验: 固定A的条件数,即给定A的最大最小特征值,改变中间特征值得分布,再来生成A,具体的实现方法是,先将原来的生成A进行特征值分解: [U,S]=svd(A);

数值分析资料报告笔记期末复习

第一章引论 1、数值分析研究对象: 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。 2、数值分析特点: ①面向计算机,要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析,能任 意逼近并达到精度要求,对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存贮量,这也是建立算法要研究的问题。④要有数值试验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值试验证明是行之有效的。 3、数值分析实质: 是以数学问题为研究对象,不像纯数学那样只研究数学本身的理论,而是把理论与计算紧密结合,着重研究数学问题的数值方法及理论。 4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程 实际问题--数学模型(应用数学)--数值计算方法--程序设计--上机计算结果(计算数学)5、误差来源及分类 1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型 2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值(通常根据测量工具的精度,可以知道 这类误差的上限值。) 要用数值计算方法求它的近似解,由此产 生的误差称为(截断误差)或(方法误差) 原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差,这样产生的误差称为舍入误差 6、五个关于误差的概念

5.有效数字 (1)定义:若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位,该位到x*的第一位非零数字一共有n 位,则称近似值x*有n 位有效数字,或说x*精确到该位。注意:近似值后面的零不能随便省去! 2≤?2≤ ?1 2 ≤ ?(3)性质:(1)有效数字越多,则绝对误差越小 (2)有效数字越多,则相对误差越小 有效数字的位数可刻画近似数的精确度! 6、一元函数的误差估计 问题:设y =f (x ),x 的近似值为x *,则y 的近似值 y *的误差如何计算? (*)(*)(*)(*)e y dy f x dx f x e x ''≈=≈ (*)(*)(*)e y f x e x '≈ * (*)(*) (*)(*) r r x e y f x e x f x '≈ 故相应的误差限计算如下 (*)(*)(*)y f x x εε'≈ * (*)(*) (*)(*) r r x y f x x f x εε'≈ 7、二元函数的误差估计 问题:设y=f(x1, x2), x1, x2的近似值为x1*, x2* ,则y 的误差如何计算? ** 121212(*)*(,)(,)(*,*)e y y y f x x f x x df x x =-=-≈ 12121212 (*,*)(*,*) (*)(*)f x x f x x e x e x x x ??= +?? (*)(*)* (*)(*)(*)(*)(*) r r dy f x e x x e y f x e x y f x f x ''≈ ≈=

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