西安交通大学复变函数习题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当i

i z -+=

11时，50

75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3

)2(π

=

+z arc ，6

5)2(π

=

-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2

123+- 3．复数)2

(tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(

sec θπθπ

θ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπ

θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2

2

z z -与z z 2的关系是（ ）

（A ）z z z z 22

2

≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z

z 22

2≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转

3

π

，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+

（C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2

2

z z =成立的复数z 是（ ）

（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）

（A ）i +-

43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4

3

９．满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=

-+i z 所代表的曲线是（ ）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）

22

1

=+-z z （B ）433=--+z z （C ）

)1(11<=--a az

a

z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0

0)

Im()Im(lim

0z z z z x x --→（ ）

（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1

)(2+-=的最小值为（ ）

（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π

=

-=i z z ，则=z 4．复数2

2

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部

７．方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线

９．对于映射z

i =

ω，圆周1)1(2

2=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 4

2

1z z i

z

三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．

四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22

.

五、设复数i z ±≠，试证

2

1z z

+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .

六、对于映射)1

(21z

z +=

ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.

)0(022

1

≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.

)),,2,1,,,0(02

1

n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0

≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>

. 九、设iy x z +=，试证

y x z y x +≤≤+2

.

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：

1.??

?

??=≠+=0,00,2)(22z z y x xy

z f

2.??

???=≠+=0,00

,)(223z z y x y x z f .

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的 （B ）可导的

（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A ）xyi y x 22

2

-- （B ）xyi x +2

（C ）)2()1(22

2

x x y i y x +-+- （D ）3

3

iy x +

5．函数)Im()(2

z z z f =在

=z 处的导数( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在

6．若函数)(2)(2

2

2

2

x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-

7．如果)(z f '在单位圆1

（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是

（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设2

2

)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )

（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i

i 的主值为( )

（A ）0 （B ）1 （C ）2

πe （D ）2

π-

e

11．z e 在复平面上( )

（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )

（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期

（C ）2

)(iz

iz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的

13．设α为任意实数，则α

1( )

（A ）无定义 （B ）等于1

（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A ）3

)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 2

3π

-

15．设α是复数，则( )

（A ）α

z 在复平面上处处解析 （B ）α

z 的模为α

z

（C ）α

z 一般是多值函数 （D ）α

z 的辐角为z 的辐角的α倍

二、填空题

1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z

z f z 1

)(lim

2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数x

v

i

x u z f ??+??=

')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2

2

3

3

)(y ix y x z f ++=，则=+-

')2

3

23(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部2

2

y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导

7．设z i z z f )1(5

1)(5

+-=

，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i

i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--z

e 的全部解为

三、设

),(),()(y x iv y x u z f +=为

iy

x z +=的解析函数，若记

)2,2()2,2(

),(i

z

z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z w ． 四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=

2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x

x

++-=

五、设023

=+-z

e zw w ，求

22,dz

w

d dz dw .

六、设??

???=≠++=0,00

,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

七、已知2

2

y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s

按逆时针方向旋转

2

π

即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有

s v n u n v s u ??-=????=??,（s ??与n

??

分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.

第三章 复变函数的积分

一、选择题：

1．设c 为从原点沿x y =2

至i +1的弧段，则=+?

c

dz iy x )(2

( )

（A ）

i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6

561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则

dz z z z

c

?+-2

)1)(1(为( ) （A ）

2i π （B ）2

i

π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则

=?+=dz z

z

c c c 212

sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则

=-?dz z z

c 2

)

1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π

5．设c 为正向圆周21

=

z ，则=--?dz z z z c

2

3)1(2

1

cos

( )

（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-

6．设ξξξξ

d z

e z

f ?=-=4

)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )

（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1

7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分

dz z f z f z f z f c

?

+'+'')

()

()(2)( ( )

（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 2

1π

+

的直线段，则积分=?c

z dz ze （ ）

（A ）2

1e

π-

(B) 2

1e

π-

- (C)i e

2

1π+

(D) i e

2

1π-

9．设c 为正向圆周022

2

=-+x y x ，则

=-?

dz z z c

1

)

4sin(

2

π

( ) （A ）

i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π2

2- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则

=-?c

dz i a z

z 2

)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）

e

i

π2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果

)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分

?

=--r

a z dz a

z 1

的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）

2)(22

≤+?c

dz iy x

,其中c 为连接i -到i 的线段

（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<

)(z f 在0=z 处解析

13．设c 为任意实常数，那么由调和函数2

2

y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )

(A)c iz +2

（B ） ic iz +2

（C ）c z +2

（D ）ic z +2

14．下列命题中，正确的是( )

（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则

x

u

??为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数

15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )

（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -

（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）x

v i x u ??-??

二、填空题

1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?

c

dz z 2

2．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 22)4(2

3

3．设?

=-=2)

2sin()(ξξξξπ

d z

z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则

=+?

c

dz z

z

z 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c z

dz i z e 5

)

(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c

dz z f ，那

么)(z f 在B 内

8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为

9．若函数2

3),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a

10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.

?=+-R z dz z z z

)2)(1(62

,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.

?=++22

42

2z z z dz

． 四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证

１．在B 内处处有0)(≠z f ；

２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有

0)

()

(=''?

c

dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r

a z <<==-，

则),2,1()

(!)()

( =≤

n r

r M n a f

n

n . 六、求积分?=1

z z

dz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e .

七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限

?=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()

(lim

并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.

八、设)(z f 在)1(>

?+?+

?+?.

十、若)(2

2

y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.

第四章 级 数

一、选择题：

1．设),2,1(4

)1( =++-=

n n ni

a n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

（A ）∑∞

=+1

)231(n n

i （B ）∑∞

=+1!)43(n n n i

（C ） ∑∞

=1n n

n

i （D ）∑∞

=++-11)1(n n n i

3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

（A ） ∑∞

=+1)1(1n n i

n

（B ）∑∞

=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞

=2

ln n n

n i （D ）∑∞

=-12)1(n n

n n i 4．若幂级数

∑∞

=0

n n n

z c

在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )

（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛

（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数

∑∑∞

=-∞=0

1

,n n n n n

n z

nc z c 和

∑∞

=++01

1

n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )

（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<

∑∞

=0

2

n n n z q 的收敛半径=R ( )

（A ）q （B ）

q

1

（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数

∑

∞

=1

)2

(2sin

n n z n n π

的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+

8．幂级数∑∞

=++-01

1

)1(n n n z n 在1

（D ）z +11ln

(D) z

-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0

n n

n z c 的收敛半径=R ( )

（A ）∞+ （B ）1 （C ）

2

π

（D ）π 10．级数

+++++2

2

111z z z z

的收敛域是( ) （A ）1

11．函数

21

z

在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）

)11()

1()

1(1

1

<++-∑∞

=-z z n n n n

（B ）)11()1()1(11

1<++-∑∞

=--z z n n n n

（C ）)11()

1(1

1

<++-

∑∞

=-z z n n n （D ）)11()1(1

1

<++∑∞

=-z z n n n

12．函数z sin ，在2

π

=

z 处的泰勒展开式为( )

（A ）)2

()2()!12()1(012+∞<-

-+-∑∞

=+π

π

z z n n n n

（B ）)2

()2()!

2()1(02+∞<-

--∑∞

=π

πz z n n n n

（C ）)2

()2()!

12()1(0121+∞<-

-+-∑∞

=++π

πz z n n n n

（D ）)2

()2()!

2()1(021+∞<-

--∑∞

=+π

πz z n n n n

13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为

∑∞

-∞

=-n n n

z z c

)(0，c 为H 内

绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么

=-?c dz z z z f 20)()

(( )

(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π

14．若?

??--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c n

n n n ，则双边幂级数∑∞

-∞=n n

n z c 的收敛域为( ) （A ）

31

41<

+∞<

1

15．设函数)

4)(1(1

)(++=

z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么

=m ( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题

1．若幂级数

∑∞

=+0

)(n n n

i z c

在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性

为 ． 2．设幂级数

∑∞

=0

n n

n

z c

与∑∞

=0

)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关

系是 ． 3．幂级数

∑∞

=+0

12)

2(n n n

z i 的收敛半径=R

4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞

=-=

0)()(n n n

z z c

z f 成立，其中=n c ．

5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数

∑∞

=0n n

n

z c

的收敛半径为R ，那么幂级数

∑∞

=-0

)12

(n n n n

z c 的收敛半径

为 ．

7．双边幂级数∑∑∞

=∞

=--+--11

2

)21()1()2(1)1(n n n n

n

z z 的收敛域为 ． 8．函数z

z

e e 1

+在+∞<

-∞

=n n n

z c

，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数

)

(1

i z z -在+∞<-

三、若函数2

11z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞

=0

n n

n z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．

四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z e

z e

e z

z

z

2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z

e e z e z

五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑

==

n

k k

k n z k f S 0

)(!

)0(试证 1．)()

(21

)(1

11R r z d z z f i

z S n r

n n n <<--=

+=++?ξξξξξπξ

.

2．)()()

(2)((1

1

R r z d z f i

z z S z f r n n n <<-=

-?=++ξξξ

ξπξ）。

六、设幂级数∑∞

=12

n n

z n 的和函数，并计算∑∞

=12

2

n n n 之值.

七、设)()(),()(20

10

R z z b z g R z z a

z f n n n n n

n

<=<=

∑∑∞

=∞

=，则对任意的)0(1R r r <<，在

2rR z <内?

∑=∞

==

r

n n n n d z g f i

z b a ξξ

ξ

ξξπ)

()(21

。 八、设在R z <内解析的函数)(z f 有泰勒展开式 +++++=n

n z a z a z a a z f 2210)(

试证当R r <≤0时

∑?

∞

==0

22

20

2

)(21

n n n i r a d re f π

θ

θπ

.

九、将函数

)

1()

2ln(--z z z 在110<-

十、试证在+∞<

∑∞

=++

+=1

01)1

(n n

n n z

z z z c c e

其中),2,1,0(cos 10

cos 2 ==?

n d n e c n

π

θθ

θπ.