江苏省新沂市第二中学高三数学(理)专题复习学案22 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

学案22 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质

编制：纪凯 审核：高三数学组 班级： 姓名： 【导学引领】

（一）考点梳理

1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

2

3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1

T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象既是轴对称又是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z )成轴对称图形．

(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．

【自学检测】

1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈(0，π))的图象如图所示，则φ＝________.

2．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)? ?

???A >0，ω>0，|φ|<π2的最小值为－2，其图象上相邻最高点与最

低点的横坐标之差为π

2，且图象过点(0，3)，则其解析式是________．

3．把函数y ＝sin ? ?

???5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短

为原来的1

2，所得的函数解析式为________．

4．设ω＞0，函数y ＝sin ? ?

???ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的

最小值是________．

5如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：

①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin ? ????

x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中

“同簇函数”的是________．

【合作释疑】作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象

【训练1】已知函数y ＝2sin ? ?

???2x ＋π3，

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明y ＝2sin ? ?

???2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．

【训练2】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)? ????ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ? ??

??

π4＝32.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；

(3)若f (x )>2

2，求x 的取值范围．

求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式

【训练1】函数f (x )＝A s in(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π

2的部分图象如图所示．

(1)求f (x )的解析式；

(2)设g (x )＝??????f ? ????x －π122，求函数g (x )在x ∈??????

－π6，π3 上的最大值，并确定此时x 的值．

【训练2】如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一段．

(1)求其解析式；

(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π

6个单位后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用

【训练1】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π

2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ? ????

2π3，－2.

(1)求f (x )的解析式；

(2)当x ∈???

?

??0，π12时，求f (x )的最值．

【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|<π2)的图象过点P ? ????

π12，0，图象上与点P

最近的一个顶点是Q ? ????

π3，5.

(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．

【当堂达标】

1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移________个单位．

2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π

10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________． 3．已知函数f (x )＝3sin ? ?

???ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若

x ∈???

?

??0，π2，则f (x )的取值范围是________． 4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝? ????

3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.

(1)求A ；

(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1

2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．求g (x )在???

?

??0，5π24上的值域．

5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π

2)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；

(2)求函数g (x )＝f ? ????x －π12－f

? ??

??x ＋π12的单调增区间．

【课后作业】

1．函数y ＝cos ????2x －3π

4－22·sin 2x 的最小正周期为________． 2．函数y ＝sin ????2x ＋π6＋cos ?

???2x －π

3的最大值为________．

3．φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON

→

＝0，则A ·ω＝________.

4．要使sin α－3cos α＝4m －64－m

有意义，则m 的范围为________．

5．函数f (x )＝2sin ????x ＋π4＋2sin x cos x 在区间????π4，π

2上的最大值是________． 6．给出下列命题：

①函数y ＝cos ????

23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32

；

③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π

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是函数y ＝sin ????2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ???2x ＋π3的图象关于点????π

12，0成中心对称图形． 其中正确命题的序号为________．

7．函数f (x )＝A sin ? ?

?

??ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离

为π

2.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)设α∈????0，π2，f ????α

2＝2，求α的值．