第一讲 坐标系

第一讲 坐标系
第一讲 坐标系

班级: 组别: 组号:___________ 姓名:

一:平面直角坐标系(1)导学案

【学习目标】

1. 理解平面直角坐标系的意义,掌握在平面直角坐标系中刻画点的方法;.

2. 掌握用坐标法解决几何问题的基本步骤;

3. 体会坐标系的应用.

【自主学习】(认真自学课本P 2-P3,回答下列问题)

任务:师生共同合作探究教材P2 思考(掌握合理建系的简便)

方法点拨:一般情况下,以图形的对称中心为坐标原点,对称的直线为坐标轴,并且尽量使尽可能多的点的坐标为已知。 【合作探究】

例1.(教材P4例1)

方法点拨:坐标法处理垂直、共线、共点等问题: ①002121=+?=??⊥y y x x CD AB CD AB ②A 、B 、C 共线)(//≠=??λ ③证明三线a 、b 、c 共点,求a 、b 交点A ,再说明A'在c 上即可.

【目标检测】

1.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹.

2. 已知点A 为定点,线段BC 在定直线l 上滑动,已知|BC |=4,点A 到直线l 的距离为3,求△ABC 的外心的轨迹方程.

3(选作)求函数84122+-++=x x x y 的最小值。.

【作业布置】 任课教师自定

班级: 组别: 组号:___________ 姓名:

一:平面直角坐标系(2)导学案

【学习目标】

1. 理解平面直角坐标系中的伸缩变换;

2. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;

3. 会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。

【自主学习】(认真自学课本P 4-P8,回答下列问题) 1:回忆以前所学知识,思考下列问题

(1). 怎样由正弦曲线y =sin x 得到曲线y =sin2x ?

(2). 怎样由正弦曲线y =sin x 得到曲线y =3sin x ?

(3). 怎样由正弦曲线y =sin x 得到曲线y =3sin2x ?

2. 平面直角坐标系中的伸缩变换定义

设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换???>?='>?=')

0( ,),

0( ,:μμλλ?y y x x 的作用

下,点P (x ,y )对应到点P'(x',y'),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

【合作探究】

例1(教材P7例2)

【目标检测】

1. 将曲线C 按伸缩变换公式?????='='y

y x x 32变换得到曲线方程为,12

2='+'y x 则曲线C 的方程

为 ( )

1

9

141. D 3694. C 14

9. B 194. A 222

22222=+=+=+=+y x y x y x y x 2. 将曲线12

2

=+y x 伸缩变换为19

42

2='+'y x 的伸缩变换公式为 ( ) 2131. D 3121. C 23. B 32. A ??

???

='='?????='='???='='???='='y y x x y y x x y y x x y y x x

3. 求y =sin x 经过伸缩变换?????='='y

y x

x 23后的方程.

4. 在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换: (1)直线x -2y =2变成直线2x'-y'=4;

(2)曲线x 2-y 2-2x =0变成曲线x'2-16y'2 -4x'=0.

【作业布置】 任课教师自定

班级: 组别: 组号:___________ 姓名:

二: 极坐标系导学案

【学习目标】

1.了解极坐标的有关概念,及合理建立极坐标系,学会用极坐标表示平面上的点;

2. 理解点与极坐标的关系.理解极坐标系与平面直角坐标系的联系与区别;

3. 会把极坐标化为平面直角坐标系,及把平面直角坐标化为极坐标。 【自主学习】(认真自学课本P 8-P11,回答下列问题)

1. 极坐标系的概念

在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox ,

叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)

及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立一个极坐标系.

一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.

2. 极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k ∈Z)表示同一个点.特别地,极点O 的坐标为(0,θ)(θ ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定ρ>0,θ <θ≤2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标表示的点(ρ,θ)也是惟一确定的.

3. 极坐标与直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y )极坐标是(ρ,θ). 从下图可以得出它们之间的关系:.sin ,cos θρθρ==y x ① 由①又可得到下面的关系式:

)0(tan ,222≠=

+=x x

y

y x θρ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

【合作探究】 1. .)3

2,5(化成直角坐标的极坐标将点π

M

2. .)13(化成极坐标,的直角坐标将点--M

【目标检测】

1. 写出图中A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 各点的极坐标 ( ρ>0,0≤θ <2π ).

.)3

2,1(),3,3(.2两点间的距离,,求点在极坐标系中,已知两B A B A π

π-

3. 已知点的极坐标分别为)4

,3(π

,)32,

2(π,)2

,4(π

,求它们的直角坐标.

4. 已知点的直角坐标分别为)3,3(,)35,0(-

,)0,2

7

(,求它们的极坐标.

【作业布置】 任课教师自定

2

ππ

班级: 组别: 组号:___________ 姓名:

三:简单曲线的极坐标系导学案

【学习目标】

1. 通过建立不同的极坐标系来描述圆的极坐标方程

2. 理解直线的各种极坐标方程并注意极坐标与直角坐标之间的互化关系,会由直角坐标化为极坐标.

【自主学习】(认真自学课本P 12-P14,回答下列问题)

1. 圆的极坐标方程

圆经过极点O .设圆和极轴的另一个交点是A ,那么|OA|=a . 设M (ρ,θ)为圆上除点O ,A 以外的任意一点,则OM ⊥AM. 在Rt △AMO 中,|OM|=|OA|cos ∠MOA ,即ρ=2a cos θ ①

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f (ρ,θ)=0的点都在曲线C 上,那么方程f (ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程.

①就是圆心在C (a ,0)(a >0),半径为a 的极坐标方程.

思考:已知圆O 的半径为r ,建立怎样的极坐标系,可以使

圆的极坐标方程更简单?

2. 直线的极坐标方程

如图,直线l 经过极点,从极轴到直线l 的角是

4

π

,求直线l 的极坐标方程. 射线OM 的极坐标方程是)0(4

≥=

ρπ

θ

射线OM'的极坐标方程是)0(45≥=

ρπ

θ 因此,直线l 的方程可以用)(4

54

R ∈=

=

ρπ

θπ

θ和来表示. 若ρ<0,则-ρ>0,我们规定M (ρ,θ)与点P (-ρ,θ)关于极点对称.

【合作探究】

例1.(教材P14例2)求过点A (a ,0)(a >0),且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程.

【目标检测】

1.说明下列极坐标方程表示什么曲线,并画图.

.sin 2 )3( );(6

5

)2( ;5 )1(θρρπθρ=∈=

=R

2.在坐标系中,求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程.

.)2

3,( )2(

;)3

(2, )1(的圆,半径为圆心在线,并且和极轴垂直的直过点a a π

π

3. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并判断图形的形状.

.5sin 3cos 2 )4( ;4 )3();cos (sin 9 )2( );0(cos 2 )1(=-=+=>=θρθρρθθρθρa a

4.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.

.16 )2( ;02 )1(22=-=+y x y

5 .把下列极坐标方程化为直角坐标方程.

.sin 4cos 2 )2( ;04)sin 5(2cos )1(θθρθθρ-==-+

【作业布置】 任课教师自定

班级: 组别: 组号:___________ 姓名:

四 柱坐标系与球坐标系简介导学案

【学习目标】

了解柱坐标系及其与极坐标系之间的关系,会把直角坐标系化为柱坐标系.

【自主学习】(认真自学课本P16-18,了解下列问题)

1. 柱坐标系

一般地,建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标,这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.

这样,我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标,记作P (ρ,θ,z ),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z <+∞.

柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为

???

??===z

z y x θρθρsin cos

2. 在航空领域,人们怎样确定航天器的准确位置呢?

如何建立坐标系,才能方便地的得出r ,?,θ的值,并由有序实数组(r ,?,θ)找到航天器的具体位置呢?

选取地球球心O 为极点,以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴,建立平面极坐标系.

一般地,建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点,连接OP ,记|OP |=r .OP 与Oz 正向所夹的角为?.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ,?,θ)表示.这样,空间的点与 有序数组(r ,?,θ)之间建立了一种对应关系.

把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序组(r ,?, θ)叫做点P 的球坐标,记做P (r ,?, θ),其中r ≥0,0≤?≤π,0≤θ<2π.

在测量实践中,球坐标中的角θ 称为被测点P (r ,?, θ)的方位角,90o -?称为高低角. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,?, θ)之间的变换公式为

?????===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x

y

y

【合作探究】

例1. 设点M 的直角坐标为(1, 1, 1),求它的柱坐标系中的坐标.

.)2,1,1( .2,求它的球坐标的直角坐标为设点例M

【目标检测】

)()3 ,3 ,1(.1,则它的柱坐标是的直角坐标为设点--M

)

3 ,3

5 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ

)(

)2 ,1 ,1(.2,则它的球坐标是的直角坐标为设点--M

)4

,43 ,2.(D )4 ,45 ,2.(C )45 ,4 ,2.(B )4 ,4 ,2.(A ππππππππ

__

__________ )4

,43 ,4(..3标为它的柱坐

,,则它的直角坐标为的球坐标为已知点π

πM

【作业布置】 任课教师自定

直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛,是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直,并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴,纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标:对于平面内任意一点C,过点分C别向X轴、Y轴作垂线,垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点C的坐标。坐标平面:坐标系所在平面。 坐标原点:两坐标轴的公共原点。 象限:X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限,右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点不属于任何象限。

极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正。这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P 点的极径,θ称为P点的极角。当限制ρ≥0,0≤θ<2π时,平面上除极点Ο以外,其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零,极角任意。若除去上述限制,平面上每一点都有无数多组极坐标,一般地,如果(ρ,θ)是一个点的极坐标,那么(ρ,θ+2nπ),(-ρ,θ+(2n+1)π),都可作为它的极坐标,这里n 是任意整数。平面上有些曲线,采用极坐标时,方程比较简单。例如以原点为中心,r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外,椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线,可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化: 在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式,可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下:若y为正数θ= 90° (π/2 radians);若y为负,则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果r(?θ) = r(θ),则曲线关于极点

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点的直角坐标为,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标为( ) A . B . C . D . 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1.柱坐标系 柱坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz ,设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为 Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标,这时点P 的位置可用有 之间的)z ,θ,ρ(表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ,θ,ρ(序数组一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z )叫做点 R. ∈z ,2π<θ≥0,0≤ρ,其中)z ,θ,ρ(P 的柱坐标,记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为 ???? ? x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z. 由公式求出ρ,再由tan θ=y x 求θ. 由公式???? ? x =ρcos θ,y =ρsin θ, z =z , 得ρ2=x 2+y 2 , 即ρ2 =12 +(3)2 =4,∴ρ=2. tan θ=y x =3, 又x >0,y >0,点在第一象限.∴θ=π 3 , ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2,π3,5. 已知点的直角坐标,确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4,π3,8, 求 它的直角坐标. 直接利用公式求解.

由变换公式???? ? x =ρcos θ,y =ρsin θ, z =z 得 x =4cos π 3 =2,y =4sin π3 =23,z =8. ∴点P 的直角坐标为(2,23,8). 已知柱坐标,求直角坐标,利用变换公式 ???? ? x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z 即可. 3.点N 的柱坐标为? ?? ??2,π2,3,求它的直角坐标. 解:由变换公式???? ? x =ρcos θ,y =ρsin θ, z =z , 得 x =ρcos θ=2cos π 2 =0,y =ρsin θ=2sin π2 =2, 故点N 的直角坐标为(0,2,3). 4.已知点A 的柱坐标为(1,π,2),B 的柱坐标为? ?? ??2,π2,1,求A ,B 两点间距离. 解:由x =ρcos θ,得x =cos π=-1. 由y =ρsin θ,得y =sin π=0. ∴A 点的直角坐标为(-1,0,2). 同理,B 点的直角坐标为(0,2,1). ∴|AB |= -1- +- + - = 6. 故A ,B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1.设点M 的直角坐标为(1,-3,2),则它的柱坐标是( ) A.? ????2,π3,2 B.? ????2,2π3,2 C.? ????2,4π3,2 D.? ?? ??2,5π3,2

三坐标测量中建立零件坐标系的方法

文章名称:三坐标测量中建立零件坐标系的方法要在零件上建立三轴垂直的一个坐标系,测量仪软件首先利用面元素确定第一轴,因为面元素的方向矢量始终是垂直于该平面的,当我们利用投影到该平面上的一条线来建立第二轴时,第一轴和第二轴就保证绝对是垂直的,至于第三轴就不用你再建了,由软件自动生成垂直于前两轴的第三轴。这样测量机软件就建立了互相垂直的、符合直角坐标系原理的零件坐标系。 那么在软件内部是如何进行操作的呢? 软件内部已经准备好了各种建立零件坐标系的数据结构,它们的初始值是与“机器坐标系”一致的。当我们要利用3-2-1方法建立零件坐标系时,首先测量面元素(假如是X、Y平面),这时面的法向矢量(我们要作Z轴)与机器坐标系有两个空间夹角(零件肯定不会与机器坐标系完全一致),即与X轴有a角,与Y轴有b角。 2.当我们指定该面元素建立零件坐标系第一轴后(建立Z轴),软件就会让1号坐标系的数据结构首先绕X轴旋转b角度,然后再绕Y 轴旋转a角度,使两者重合。1号坐标系Z零点坐标平移到该平面特征点的Z值。; 3.当我们采用线元素,确定第二轴时,1号坐标系绕Z轴旋转,使指定轴(假如是X轴)与该线重合。1号坐标系的Y零点平移到这条线特征点的Y值。 .这时只有X轴的零点没有着落,最后一点就是为X轴而设的。 5.零件坐标系的零点如果没有特殊指定,就是按照以上设置的,

往往我们还要根据图纸要求,将零件坐标系的零点平移到指定点元素上。 要说明的是,建立零件坐标系第一轴可以是任意轴,确定了平面就指定了轴,如:-X、+Y、-Z等。! 建立第一轴的元素不一定非是平面,也可以是圆柱轴线、圆锥轴线或构造线(软件不同可能有差别)。只要你指定了第一轴,实际就指定了相应的工作平面。指定了X轴,实际也就确定了与其垂直的YZ平面。 指定轴或工作平面的原则,一般是根据零件图纸要求,或使零件坐标系与机器坐标系接近,避免误会。 建立坐标系不一定必须是3-2-1。比如徊转体零件,只要用平面找正第一轴,再确定中心点为零点,就完全可以了。" 建立零件坐标系的各轴的顺序是不能颠倒的,第一轴一定是图纸上的第一基准,第二轴是第二基准,千万不能颠倒。 至于怎样建立坐标系准确,与测量机测量元素的要求是一致的,关键是了解图纸的基准要求,再选择准确的建立坐标系的方法。

选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求: 1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换:设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

方法1:求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例::在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2:待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时,先设出变换,再代入原方程或变换后的方程,求出其中系数即可。 例:在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标 1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化: 如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ,y ),(ρ,θ). (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x (x ≠0).

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A 版选修4-4 夯基达标 1.点P 的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为( A.(2,) B.(2,) C.(2,) D.(2,) 解析:因为点P (-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B 2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π) 解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A 3.方程ρ2cos2θ=c 2 (c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:方程ρ2cos2θ=c 2ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2x 2-y 2=c 2 答案:C 4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2 θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:将方程a ρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以 ρ,a ρ2cos 2θ+b ρcos θ-ρsin θ=0ax 2+bx -y =0y =ax 2 +bx ,是抛物线 答案:D 5.点P 1(2,),P 2(-3,-),则|P 1P 2|的值为( A. B.5 C. D. 解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|= )-θ(θρρ-+ρρ12212 221cos 2(ρ1、ρ 2 其中P 2(3,),代入可得

人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型: 复习课 课时数: 1 讲学时间: 2010年1月18号 班级: 学号: 姓名: 一、【学习目标】: 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程,能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】: 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容: (1)设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下,如何找到点P 的对应点),(y x P '''?试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . (2)极坐标系是如何建立的?试类比平面直角坐标系的建立过程画一个,并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,写出极坐标和直角坐标的互化公式 . (3)在平面直角坐标系中,曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示,在极坐标系中,我们用什么方程来 表示这段曲线呢?例如圆222r y x =+,直线x y =,你是如何用极坐标方程表示它们的? 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -,了解以下内容: (1)直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程,那如果变数t 都是点坐标x ,y 的函 数,我们如何建立这条曲线的参数方程呢? (2)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型,我们是如何做到的?在互化的过程中, 必须注意什么问题?试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44

四 柱坐标系与球坐标系简介 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、柱坐标系 定义:如图1-4-1,建立空间直角坐标系O-xyz ,设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R )表示.这样,就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。

直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标 求助编辑百科名片 直角坐标系在数学中应用广泛,是数学大厦最重要的根基之一。 目录 定义 相关参量 编辑本段定义 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直,并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴,纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。 编辑本段相关参量 直角坐标中的点

直角坐标中的点 坐标:对于平面内任意一点C,过点分C别向X轴、Y轴作垂线,垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点C的坐标。坐标平面:坐标系所在平面。 坐标原点:两坐标轴的公共原点。 象限:X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限,右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点不属于任何象限。 极坐标 极坐标系 目录 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化: 极坐标的方程 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化: 极坐标的方程 展开 编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正。这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P 点的极径,θ称为P点的极角。当限制ρ≥0,0≤θ<2π时,平面上除极点Ο以外,其他

每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零,极角任意。若除去上述限制,平面上每一点都有无数多组极坐标,一般地,如果(ρ,θ)是一个点的极坐标,那么(ρ,θ+2nπ),(-ρ,θ+(2n+1)π),都可作为它的极坐标,这里n 是任意整数。平面上有些曲线,采用极坐标时,方程比较简单。例如以原点为中心,r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外,椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线,可以用一个统一的极坐标方程表示。 编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化: 在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式,可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下:若y为正数θ= 90° (π/2 radians);若y为负,则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果r(?θ) = r(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果r(π?θ) = r(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果r(θ-α) = r(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。 圆 方程为r(θ) = 1的圆。 在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法,以符合不同的特定情况,比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度,若m为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直,其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)

工件坐标系的确定

工件坐标系的确定 1. 机床坐标系 为了保证数控机床的运动、操作及程序编制的一致性,数控标准统一规定了机床坐标系和运动方向,编程时采用统一的标准坐标系。 (1) 坐标系建立的基本原则 1) 坐标系采用笛卡儿直角坐标系,右手法则。如图11-2所示,基本坐标轴为X 、Y 、Z 直角坐标,相应于各坐标轴的旋转坐标分别记为A 、B 、C 。 2) 采用假设工件固定不 动,刀具相对工件移动的原则。 由于机床的结构不同,有的是 刀具运动,工件固定不动;有 的是工件运动,刀具固定不动。 为编程方便,一律规定工件固 定,刀具运动。 3) 采用使刀具与工件之间距离增大的方向为该坐标轴的正方向,反之则为负方向。即取刀具远离工件的方向为正方向。旋转坐标轴A 、B 、C 的正方向确定如图11-2所示,按右手螺旋法则确定。 (2) 各坐标轴的确定 确定机床坐标轴时,一般先确定Z 轴,然后确定X 轴和Y 轴。 Z 轴:一般以传递切削力的主轴定为Z 坐标轴,如果机床有一系列主轴,则选尽可能垂直于工件装夹面的主要轴为Z 轴。Z 轴的正方向为从工件到刀具夹持的方向。 X 轴:为水平的、平行于工件装夹平面的轴。对于刀具旋转的机床,若Z 轴为水平时,由刀具主轴的后端向工件看,X 轴正方向指向右方;若Z 轴为垂直时,由主轴向立柱看,X 轴正方向指向右方。对无主轴的机床(如刨床),X 轴正方向平行于切削方向。 Y 轴:垂直于X 及Z 轴,按右手法则确定其正方向。 (3) 机床坐标系的原点 机床坐标系的原点也称机械原点、参考点或零点,这个原点是机床上固有的点,机床一经设计和制造出来,机械原点就已经被确定下来。机床启动时,通常要进行机动或手动回零,就是回到机械原点。数控机床的机械原点一般在直线坐标或旋转坐标回到正向的极限位置。 2. 工件坐标系(编程坐标系)

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业

选修4-4 极坐标系课时作业 一、选择题 1.在极坐标系中,点M (-2,π6 )的位置,可按如下规则确定( ) A .作射线OP ,使∠xOP =π6 ,再在射线OP 上取点M ,使|OM |=2 B .作射线OP ,使∠xOP =7π6 OP 上取点M ,使|OM |=2 C .作射线OP ,使∠xOP = 7π6,再在射线OP 的反向延长线上取点M ,使|OM |=2 D .作射线OP ,使∠xOP =-π6 ,再在射线OP 上取点M ,使|OM |=2 解析:当ρ<0时,点M (ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP ,使∠xOP =θ,在OP 的反向延长线上取|OM |=|ρ|,则点M 就是坐标(ρ,θ)的点. 答案:B 2.在极坐标平面内,点M (π3,200π),N (-π3,201π),G (-π3,-200π),H (2π+π3 ,200π)中互相重合的两个点是( ) A .M 和N B .M 和G C .M 和H D .N 和H 解析:由极坐标定义可知,M 、N 表示同一个点. 答案:A 3.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M 1(ρ1,θ1)与点M 2(ρ2,θ2)的位置关系是( ) A .关于极轴所在直线对称 B .关于极点对称 C .关于过极点垂直于极轴的直线对称 D .两点重合 解析:因为点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点为(-ρ,π-θ).由此可知点(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,是关于极轴所在直线对称. 答案:A 4.已知极坐标平面内的点P (2,- 5π3 ),则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( ) A .(2,π3),(1,3) B .(2,-π3),(1,-3)

建立坐标系

零件坐标系 在精确的测量中,正确地建坐标系,与具有精确的测量机,校验好的测头一样重要。由于我们的工件图纸都是有设计基准的,所有尺寸都是与设计基准相关的,要得到一个正确的检测报告,就必须建立零件坐标系,同时,在批量工件的检测过程中,只需建立好零件坐标系即可运行程序,从而更快捷有效。 机器坐标系MCS与零件坐标系PCS: 在未建立零件坐标系前,所采集的每一个特征元素的坐标值都是在机器坐标系下。通过一系列计算,将机器坐标系下的数值转化为相对于工件检测基准的过程称为建立零件坐标系。 PCDMIS建立零件坐标系提供了两种方法:“3-2-1”法、迭代法。 一、坐标系的分类: 1、第一种分类:机器坐标系:表示符号STARTIUP(启动) 零件坐标系:表示符号A0、A1… 2、第二种分类:直角坐标系:应用坐标符号X、Y、Z 极坐标系:应用坐标符号A(极角) R(极径) H(深度值即Z值) 二、建立坐标系的原则: 1、遵循原则:右手螺旋法则 右手螺旋法则:拇指指向绕着的轴的正方向,顺着四指旋转的方向角度为正,反之为负。 2、采集特征元素时,要注意保证最大范围包容所测元素并均匀分布; 三、建立坐标系的方法: (一)、常规建立坐标系(3-2-1法) 应用场合:主要应用于PCS的原点在工件本身、机器的行程范围内能找到的工件,是一种通用方法。又称之为“面、线、点”法。 建立坐标系有三步: 1、找正,确定第一轴向,使用平面的法相矢量方向

2、旋转到轴线,确定第二轴向 3、平移,确定三个轴向的零点。 适用范围: ①没有CAD模型,根据图纸设计基准建立零件坐标系 ②有CAD模型,建立和CAD模型完全相同的坐标系,需点击CAD=PART,使模型和零件实际摆放位置重合 第一步:在零件上建立和CAD模型完全相同的坐标系 第二步:点击CAD=PART,使模型和零件实际摆放位置重合 建立步骤: ●首先应用手动方式测量建立坐标系所需的 元素 ●选择“插入”主菜单---选择“坐标系”--- 进入“新建坐标系”对话框 ●选择特征元素如:平面PLN1用面的法矢方 向作为第一轴的方向如Z正,点击“找平”。 ●选择特征元素如:线LIN1用线的方向作为 坐标系的第二个轴向如X正,点击“旋转”。 ●选择特征元素如: 点PNT6,用点的X坐标分量作为坐标系的 X方向的零点,然后点击原点。 线LIN1,用线的Y坐标分量作为坐标系的Y方向的零点,然后点击原点。 平面PLN1,用面的Z坐标分量作为坐标系的Z方向的零点,然后点击原 点。 上述步骤完成后,如果有CAD模型,需要执行CAD=工件,使模型和零件实际摆放位置重合●最后,按“确定”按钮,即完成零件坐标系的建立。 ●验证坐标系 原点-------将测头移动到PCS的原点处,查看PCDMIS界面右下角“X、Y、Z”(或者打开侧头读出窗口:CTRL+W)三轴坐标值,若三轴坐标值近似为零,则证 明原点正确;

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)

选修4-4 教案 教案1 平面直角坐标系(1 课时) 教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换(1 课时)教案3 极坐标系的的概念(1 课时) 教案4 极坐标与直角坐标的互化(1 课时) 教案5 圆的极坐标方程(2 课时) 教案6 直线的极坐标方程(2 课时) 教案7 球坐标系与柱坐标系(2 课时) 教案8 参数方程的概念(1 课时) 教案9 圆的参数方程及应(2 课时) 教案10 圆锥曲线的参数方程(1 课时) 教案11圆锥曲线参数方程的应用(1 课时)教案12 直线的参数方程(2 课时) 教案13 参数方程与普通方程互化(2 课时)教案14 圆的渐开线与摆线(1 课时)

课题:1、平面直角坐标系教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识教学重点:体会直角坐标系的作用教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型:新授课 1 2 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查 1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空 中的位置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确 的背景图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足:任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 word.

2019-2020学年高中数学选修4-4人教版练习:第一讲二极坐标系Word版含解析

第一讲坐标系 二、极坐标 高效演练知能提升 A级基础巩固 一、选择题 1点P的直角坐标为(1,- 3),则它的极坐标是() A.Q B.(2, C.^T) D.(2'-竽) 解析:p= 2, tan B=—叮3,因为点P(1,- 3)在第四象限’ / n 故取e=- 3,所以点P的极坐标为2,- n 答案:C 2. 将点的极坐标(n , —2n )化为直角坐标为() A. ( n , 0) B. ( n , 2 n ) C. (— n , 0) D. (—2n , 0) 解析:x=兀cos(— 2 兀)=n , y=兀sin(— 2 兀)=0, 所以点的极坐标(n,—2兀)化为直角坐标为(n, 0). 答案:A 3. 设点P对应的复数为一3+ 3i,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为() A. 3 2,条 B. —3 2,右

解析:点P 的直角坐标是(一3, 3),极坐标是3 2, 一卜 '4 丿 答案:A 4. 若 p = pH 0, & — 02= n,则点 M ( p ,①)与点 N ( p, 02)的位 置关系是( ) A .关于极轴所在直线对称 B .关于极点对称 C .关于过极点与极轴垂直的直线对称 D .重合 解析:因为p = p M0, 01— 0= n,故点M , N 位于过极点的直 线上,且到极点的距离相等,即关于极点对称. 答案:B 二、填空题 广 3 、 ( \ 5. 在极坐标系中,已知点 A1, 4n J, B2, -4 J,贝“ A 、B 两点 间的距离为 _______ . 解析:由公式 |AB| = pl + p — 2 p i P2COS ( 01 — 02),得 |AB| = 答案:5 6.已知A , B 两点的极坐标为6, n j, 8, fj,则线段AB 中 点的直角坐标为 ________ . C. 3, 5 4n D.r 3 ,4n 3 n

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

课题:坐标系及直角坐标与极坐标间的互化 【学习目标】 1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换. 2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用. 3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化. 【重点难点预测】 重点:极坐标的定义 难点:直角坐标与极坐标间的互化 【学法指导】 小组合作、讨论交流 【导学流程】 一、创设情境 为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换? 二、课前预习导学 问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象. 问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换?:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y) P''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的? 在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个. 对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为. 问题4:直角坐标与极坐标如何互化? 将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为; 将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为. 三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式 1 2 1 2 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 变换后的坐标是( ). A.P'(10,10) B.P'(5,10) C.P'(10,-5) D.P'(5,5) 2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ). A. 1 3 2 x x y y ?' = ? ? ?'= ? B. 1 2 3 x x y y ?' = ? ? ?'= ? C. 3 1 2 x x y y '= ? ? ? '= ?? D. 3 2 x x y y '= ? ?' = ? 3.点P 的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为. 4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 1 2 1 3 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么? 四、展示提升: 图形的伸缩变换 例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换. 极坐标 例二、已知极坐标系中点(2,) 2 A π ,3) 4 B π,O(0,0),则△AOB为( ). A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形 C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)

选修4-4教案 教案1平面直角坐标系(1课时) 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换(1课时)教案3极坐标系的的概念(1课时) 教案4极坐标与直角坐标的互化(1课时) 教案5圆的极坐标方程(2课时) 教案6直线的极坐标方程(2课时) 教案7球坐标系与柱坐标系(2课时) 教案8参数方程的概念(1课时) 教案9圆的参数方程及应(2课时) 教案10圆锥曲线的参数方程(1课时) 教案11圆锥曲线参数方程的应用(1课时) 教案12直线的参数方程(2课时) 教案13参数方程与普通方程互化(2课时) 教案14圆的渐开线与摆线(1课时)

课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:互动五步教学法 教具:多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲: 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境,设置疑问 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 分组讨论 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

极坐标系与极坐标方程

一、坐标系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y )确定。 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z )确定。 二、平面直角坐标系的伸缩变换 定义:设P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下,点P (x ,y )对应到点P ’(x ’,y ’),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。 三.例题讲解 例1 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立: 在平面上取一个定点O ,自点O 引一条射线OX ,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。 (其中O 称为极点,射线OX 称为极轴。) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ,用 ρ 表示线段OM 的长度,用 θ 表示从OX 到 OM 的角度,ρ 叫做点M 的极径, θ叫做点M 的极角,有序数对(ρ,θ)就叫 做M 的极坐标。 特别强调:由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中,极径ρ允许取负值,极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ<0时,点M (ρ,θ)位于极角终边的反向延长线上,且OM=ρ。 M (ρ,θ)也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标 A (4,0) B (2 ) C ( ) D ( ) E ( ) F ( ) G ( ) 规定:极点的极坐标是ρ=0,θ可以取任意角。 变式训练

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