高等教育出版社《离散数学》屈婉玲 耿素云 张立昂版最全答案
第一章命题逻辑基本概念
课后练习题答案
1.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∧q,其中,p:2是素数,q:5是素数,真值为1;
(2)p∧q,其中,p:是无理数,q:自然对数的底e是无理数,真值为1;
(3)p∧┐q,其中,p:2是最小的素数,q:2是最小的自然数,真值为1;
(4)p∧q,其中,p:3是素数,q:3是偶数,真值为0;
(5)┐p∧┐q,其中,p:4是素数,q:4是偶数,真值为0.
2.将下列命题符号化,并指出真值:
(1)p∨q,其中,p:2是偶数,q:3是偶数,真值为1;
(2)p∨q,其中,p:2是偶数,q:4是偶数,真值为1;
(3)p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;
(4)p∨q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为1;
(5)┐p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;
3.(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨;
(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语;.
4.因为p与q不能同时为真.
5.设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三:
(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);
(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);
(3)p q,真值为1;
(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.
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第二章命题逻辑等值演算
本章自测答案
5.(1):∨∨,成真赋值为00、10、11;
(2):0,矛盾式,无成真赋值;
(3):∨∨∨∨∨∨∨,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;
7.(1):∨∨∨∨?∧∧;
(2):∨∨∨?∧∧∧;
8.(1):1?∨∨∨,重言式;
(2):∨?∨∨∨∨∨∨;
(3):∧∧∧∧∧∧∧?0,矛盾式.
11.(1):∨∨?∧∧∧∧;
(2):∨∨∨∨∨∨∨?1;
(3):0?∧∧∧.
12.A?∧∧∧∧?∨∨.
第三章命题逻辑的推理理论
本章自测答案
6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系
(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以(1)、(2)为例,证明(1)推理正确,(2)推理不正确
(1)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*1)
在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取A为p,B为q时,*1为假言推理定律,即
(p→q)∧p→q ? q
(2)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为
(p→q)∧p→q(记作*2)
可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等
(p→q)∧q→p
?(┐p∨q) ∧q →p
?q →p
?┐p∨┐q
??∨∨
从而可知,*2不是重言式,故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.
9.设p:a是奇数,q:a能被2整除,r:a:是偶数
推理的形式结构为
(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)
可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:
(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)
?(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)
?(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r
?(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)
?┐p∨(q∨┐q)∧┐r
?1
10.设p:a,b两数之积为负数,q:a,b两数种恰有一个负数,r:a,b都是负数.
推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)
?(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)
?┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)
?p∨(┐q∧┐r)
?∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个W极小项,故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明
① p→(q→r)前提引入
② P前提引入
③ q→r①②假言推理
④ q前提引入
⑤ r③④假言推理
⑥ r∨s前提引入
(2)证明:
① ┐(p∧r)前提引入
② ┐q∨┐r①置换
③ r前提引入
④ ┐q ②③析取三段论
⑤ p→q前提引入
⑥ ┐p④⑤拒取式
(3)证明:
① p→q前提引入
② ┐q∨q①置换
③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换
④ ┐p∨(q∧p③置换
⑤ p→(p∨q) ④置换
15.(1)证明:
① S结论否定引入
② S→P前提引入
③ P①②假言推理
④ P→(q→r)前提引入
⑤ q→r③④假言推论
⑥ q前提引入
⑦ r⑤⑥假言推理
(2)证明:
① p附加前提引入
② p∨q①附加
③ (p∨q)→(r∧s)前提引入
④ r∧s②③假言推理
⑤ s④化简
⑥ s∨t⑤附加
⑦ (s∨t)→u前提引入
⑧ u⑥⑦拒取式
16.(1)证明:
① p结论否定引入
② p→ ┐q前提引入
③ ┐q ①②假言推理
④ ┐r∨q前提引入
⑤ ┐r③④析取三段论
⑥ r∧┐s前提引入
⑦ r⑥化简
⑧ ┐r∧r⑤⑦合取
(2)证明:
① ┐(r∨s)结论否定引入
② ┐r∨┐s①置换
③ ┐r②化简
④ ┐s②化简
⑤ p→r前提引入
⑥ ┐p③⑤拒取式
⑦ q→s前提引入
⑧ ┐q④⑦拒取式
⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取
⑩ ┐(p∨q)⑨置换
口p∨q前提引入
⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取
17.设p:A到过受害者房间,q: A在11点以前离开,r:A犯谋杀罪,s:看门人看见过A。
前提:(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s
结论:r
证明:
① q→s 前提引入
② ┐s 前提引入
③ ┐q ①②拒取式
④ p 前提引入
⑤ p∧┐q ③④合取
⑥(p∧┐q)→r 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
18.(1)设 p:今天是星期六,q:我们要到颐和园玩,s:颐和园游人太多。
前提:p→(p∨r) , s→┐q , p , s
结论:r
证明:
① s→┐q前提引入
② s前提引入
③ ┐q①②假言推理
④ p前提引入
⑤ p→(q∨r)前提引入
⑥ q∨r④⑤假言推理
⑦r③⑥析取三段论
(2)设p:小王是理科学生,q:小王数学成绩好,r:小王是文科学生。
前提:p→q ,┐r→p ,┐q
结论:r
证明:
① p→q前提引入
② ┐q前提引入
③ ┐p①②拒取式
④ ┐r→p前提引入
⑤ r③④拒取式
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第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念
本章自测答案
4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))?x( F (x) →G (x) ),其中,F(x):x是有理数,G(x) :x能表示成分数;
(2)┐x( F (x) →G (x) ) ?x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x):x在北京卖菜,G (x) :x是外地人;
(3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x):x是乌鸦,G (x) :x是黑色的;
(4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x):x是人,G (x) :x天天锻炼身体。
因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。
5.(1)x y (F(x) ∧ G( y) → H(x,y)),其中,F(x):x是火车,G(y) :y是轮船,H(x,y):x比y 快;
(2)x y (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x):x是火车,G(y) :y是汽车,
H(x,y):x比y快;
(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))?x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x):x 是汽车,G (y) :y是火车,H(x,y):x比y快;
(4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))?x y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x):x是汽车,G(y) :y是火车,H(x,y):x比y慢。
6.各命题符号化形式如下:
(1)x y (x .y = 0);
(2)x y (x .y = 0);
(3)x y (y =x+1)
(4)x y(x .y = y.x)
(5)x y(x .y =x+ y)
(6)x y (x + y <0 )
9.(1)对任意数的实数x和y,若x <y,则x ≠ y;
(2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x<y;
(3)对任意数的实数x和y,若x<y,则x–y≠0;
(4)对任意数的实数x和y,若x–y <0,则x=y.
其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.
11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。
这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。
(3)取解释I 为:个体域为自然数集合N,F(x,y):x ≤ y,在下,x y F(x,y)为真,而x y F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释为:个体域仍为自然数集合N,而F(x,y):x = y。此时,x yF(x,y)为真(取y为x即可),可是x yF(x,y)为假,于是(3)中公式在下为假,这说明(3)中公式为可满足式。
(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则
x yF(x,y)→y xF(x,y)为真,若前件x yF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,
使yF(x0,y)为真,并且对于任意y∈,F(x0,y)为真,由于有x0∈,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)
为真,又其中y是任意个体变项,所以y xF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。
(5)取解释为:个体域为自然数集合,F(x,y):x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y):x < y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。
13.(1)取解释为:个体域为自然数集合N,F(x):x为奇数,G(x):x为偶数,在下, x (F(x)∨G(x))为真命题。
取解释为:个体域为整数集合Z,F(x):x为正整数,G(x):x为为负整数,在下, x (F(x)∨G(x))为假命题。
(2)与(3)可类似解答。
14.提示:对每个公式分别找个成真的解释,一个成假的解释。
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第五章谓词逻辑等值演算与推理
本章自测答案
2.(1) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∧ (G (a )∨G (b)∨G (c))
(2) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∨ (G (a)∧G (b)∧G (c))
(3) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) → (G (a)∧G (b)∧G (c))
(4) (F(a ,y) ∨ F(b,y)∨ F (c,y)) → (G (a)∨G (b)∨G (c))
5.提示:先消去量词,后求真值,注意,本题3个小题消去量词时,量词的辖域均不能缩小,经过演算真值分别为:1,0,1 .
(1) 的演算如下:
x yF(x,y)
?x (F(x,3)∨F(x,4))
?(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4 ,4))
?1∧1?1
6.乙说得对,甲错了。本题中,全称量词的指导变元为x ,辖域为(F (x)→G(x,y)),其中F(x )与G(x,y)中的x都是约束变元,因而不能将量词的辖域缩小。
7.演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“ ┐”。演算的第二步,在原错的基础上又用错了等值式,即
(F(x)∧(G(y)→ H(x,y))) ≠(F(x) ∧G(y)→H (x,y))
12.公式的前束范式不唯一,下面每题各给出一个答案。
(1) x y (F(x)→ G(z,y));
(2) x t (x,y) → G(x,t,z));
(3) x4 ((F(,y) →G(,y))∧(G(,y) →F(x4,y)));
(4) ((F()→G(,)) → (H () → L(,)));
(5) (F(,)→(F() → ┐G (,))).
13.(1)x y(F(x) ∧G(y) ∧H(x ,y)),其中,F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y 跑的快;
(2)x y(F(x) ∧G(y)→H(x ,y)),其中,F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y
跑的快;
(3)x y(F(x) ∧G(y) ∧┐H(x ,y)),其中,F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑的快;
(4)x y(F(x) ∧G(y) → ┐H(x ,y)),其中,F(x):x是飞机,G(y):y是汽车,H(x,y):x
比y慢;
14.(1)对F(x) → xG(x)不能使用EI规则,它不是前束范式,首先化成前束范式。
F(x) → xG(x) <=> x(F(y)→G(x))
因为量词辖域(F(y)→G(x))中,除x外还有自由出现的y,所以不能使用EI规则。
(2)对x F(x) → y G(y)也应先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为x y(F(x) →G(y)),要消去量词,既要使用UI规则,又要使用EI规则。
(3)在自然推理系统F中EG规则为
A(c)/∴x(x)
其中c为特定的个体常项,这里A(y) = F(y) →G(y)不满足要求。
(4)这里,使F(a)为真的a不一定使G(a)为真,同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真,如,F(x):x为奇数,G(x):x为偶数,显然F(3)∧G(4)为真,但不存在使F(x)∧G(x)为真的个体。
(5)这里c为个体常项,不能对F(c)→G(c)引入全称量词。
15.(1)证明:①xF(x) 前提引入
②xF(x)→ y((F(y)∨G(y)) →R(y)) 前提引入
③y((F(y)∨G(y)) →R(y) ①②假言推理
④F(c) ①EI
⑤(F(c)∨G(c))→R(c) ③UI
⑥F(c)∨G(c)④附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧xR(x) ⑦EG
(2)证明①xF(x) 前提引入
②x((F(x)→G(a)∧R(x)))前提引入
③F(c)①EI
④F(c)→G(a)∧R(a)②UI
⑤G(a)∧R(c)③④假言推理
⑥R(c)⑤化简
⑦F(c)∧R(c)③⑥合取
⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG
(3)证明:①┐xF(x) 前提引入
②x┐F(x)①置换
③┐F(c)②UI
④x(F(x)∨G(x))前提引入
⑤F(c)∨G(c)④UI
⑥F(c)③⑤析取三段论
⑦xF(x) ⑥EG
(4)证明①x(F(x)∨G(x))前提引入
②F(y)∨G(y)①UI
③x(┐G(x)∨┐R(x))前提引入
④┐G(y)┐R(y)③UI
⑤x R(x) 前提引入
⑥R(y)⑤UI
⑦┐G(y)④⑥析取三段论
⑧F(y)②⑦析取三段论
⑨xF(x) ⑧UG
17.本题不能用附加前提证明法.
20.(1)与(2)均可用附加前提证明法。
22.(1)设F(x):x为偶数,G(x):x能被2整除。
前提:x(F(x)→G(x)),F(6)
结论:G(6)
(2)设F(x):x是大学生,G(x):x是勤奋的,a:王晓山。
前提:x(F(x)→G(x)),┐G(a)
结论:┐F(a)
23.(1)设F(x):x是有理数,G(x):x是实数,H(x):x是整数。
前提:x( F(x)→G(x)),x(F(x)∧H(x))
结论:x(G(x)∧H(x))
证明提示:先消存在量词。
(2)设F(x):x是有理数,G(x):x是无理数,H(x):x是实数,I(x):x是虚数。
前提:x((F(x)∨G(x)) →H(x)),x( I(x)→┐H(x))
结论:x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
证明①x(I(x)→(┐H(x))前提引入
②I(y)→H(y)①UI
③x((F(x)∨G(x))→H(x))前提引入
④(F(y)∨G(y))→H(y)③UI
⑤┐H(y)→(┐F(y)∧┐G(y))④置换
⑥I(y)→(┐F(y)∧┐G(y))②⑤假言三段论
⑦x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x))⑧UG
24.设F(x):x喜欢步行,G(x):x喜欢骑自行车,H(x):x喜欢乘汽车。
前提:x(┐F(x)→┐G(x)),x(G(x)∨H(x)),x┐H(x)
结论:x┐F(x)
证明①x┐H(x)前提引入
②┐H(c)①UI
③x(G(x)∨H(x))前提引入
④G(c)∨H(c)③UI
⑤G(c)②④析取三段论
⑥x(F(x) →G(x))前提引入
⑦F(c)→┐G(c)⑥UI
⑧┐F(c)⑤⑦拒取式
⑨x┐F(x)⑧UG
25.设F(x):x是科学工作者,G(x):x是刻苦钻研的,H(x):x是聪明的,I(x):x在事业中获得成功。
前提:x(F(x)→G(x)),x(G(x)∧H(x)→I(x)),a:王大海,F(a),H(a)
结论:I(a)
证明①F(a)前提引入
②x(F(x)→G(x))前提引入
③F(a)→G(a)②UI
④G(a)①③假言推理
⑤H(a)前提引入
⑥x(G(x)∧H(x)→I(x))前提引入
⑦G(a)∧H(a)→I(a)⑥UI
⑧G(a)∧H(a)④⑤合取
⑨I(a)⑦⑧假言推理
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第六章集合代数
本章自测答案
4.(1) ③ (2) ④ (3) ⑤ (4) ⑦ (5) ⑧
6.只有(2)为真,其余为假。
9.(1) {4};(2) {1,3,5,6};(3) {2,3,4,5,6};(4) {, { 1 }};(5) {{ 4 },{1,4}}.
11.(1); (2) {1,4,5}.
22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真,其余为假。
24.(1)为真,其余为假,因为
(P-Q) = P ? (P-Q)∩Q = P∩Q ?= P∩Q
(2)(3)(4)的反例:P ={1} ,Q ={2}
26.(A–B)∪(B–A) = (A∩B)∪(B∩A)
=(A∪B)∩(B∪B)∩(A∪A)∩(B∪A)
=(A∪B)∩E∩(A∩B)=(A∪B)-(A∩B)
27.(1)(A-B)-C = A∩B∩ C =A∩(B∪C) = A-(B∪C)
(2)(A-C)-(B-C)A∩C∩(B∩C)
=A∩C∩(B∪C) = (A∩C∩B)∪(A∩C∩C)
=A∩∩C=(A–B)- C
(3)(A–B-C=A∩B∩ C =A∩C∩B=(A–C)–B
28.(1)A∩(B∪A) = (A∩B)∪(A∩A) =(A∩B)∪
=A∩B=B∩A
(2)((A∪B)∩A) = (A∪B)∪ A
=(A∩B)∪A = A
29.由第26题有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B),故(A-B)∪(B-A)A∪B。假若x∈A∩B,那么
x∈A∪B,因此x(A∪B)-(A∩B),与(A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B) = A∪B矛盾.
30.A B?x(x∈A→x∈B)?x(x B→x A)
?x(x∈B→x∈A)?B A
A B ?A∪A A∪B ? E A∪B
而A∪B E,因此A B ?A∪B=E反之,
A∪B = E ? A∩(A∪B)= A ? A∩B = A ? A B
综合上述,A B?A∪B = E
A B ? A-B =? A-B B
反之A-B B ? (A-B)∪B B ? A∪B B ? A∪B = B ? A B
综合上述A B?A-B B
31.任取x ,x∈A ? {x} A=>{x}∈P(A)=>{x}∈P(B)=>{x}B ? x∈B
32.先证C A∧C B ? C A∩B,任取x,x∈C ? x∈C∧x∈C ? x∈A∧x∈B ? x∈A∪B,从而得到C A∪B.再证C A∩B ? C A∧C B,这可以由C A∩B A,C A∩B B得到。
33.P Q ? P-Q=? P-Q P,反之,P-Q P ?P∩(P-Q)P∩P ? P-Q=? P Q
34.令X=,则有∪Y =,即Y = .
35.A B ? A∪A B∪ A ? E B∪A因为E为全集,B∪A E综合上述B∪A=E.
36.由A∩C B∩C,A-C B-C,利用A∪C B∪D有:
(A∩C)∪(A-C) (B∩C)∪(B-C)
? (A∩C)∪(A∩C)(B∩C)∪(B∩C)
? (A∩(C∪C)(B∩(C∪C) ? A∩E B∩E ? A B
37.恒等变形法
B=B∩(B∪A)=B∩(AB)=B∩(AC)
=(B∩A)∪(B∩C)=(A∩C)∪(B∩C)
=(A∪B)∩C=(A∪C)∩C=C
39.任取x,有x∈P(A) ? x A ? x B ? x∈P(B),因此P(A)P(B).
40.(1)任取x有
x∈P(A)∩P(B)?x∈P(A)∧x∈P(B)?x A∧x B
?x A∩B?x∈P(A∩B)
(2)任取x有
x∈P(A)∪P(B)?x∈P(A)∨x∈P(B)?x A∧x B
? x A∪B?x∈P(A∪B)
注意与(1)的推理不同,上面的推理中有一步是“ ?”符号,而不是“?”符号。
(3)反例如下:A = {1},B = {2},则
P(A)∪P(B)= {,{1},{2}}
P(A∪B)={,{1},{2},{1,2}}
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第七章二元关系
本章自测答案
3.(1) 任取< x,y >,有
?x ∈A∧x ∈ B∧y ∈C∧y ∈ D
?(x ∈A∧y ∈C )∧(x∈B∧y∈D)
?
?
(2)都为假,反例如下:
A ={1},
B ={1,2},
C ={2},
D ={3}
4.(1)为假,反例如下:A ={1}, B =,C = {2};
(2)为真,证明如下:任取
?(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)
?
(3)为真,令A = 即可;
(4)为假,反例如下: A =
7.={<2,2>,<3,3 >,<4,4>}
={<2 . 3>,<2,4>,<3,2>,<3,4>,<4,2>,<4,3>} ∪
LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
DA={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}
9.(1){<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4> <2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>, <4,6> <6,1>, <6,2>,<6,4> <6,6>}
(2){<1,2>,<2,1>};
(3){<1,1>,<2,1>,<4,1>,<6,1>,<2,2>,<4,2>,<4,4>,<6,6>}
(4){<1,2>,<2,2>,<4,2>,<6,2>}
12.(略)
13.A∩B = {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}, A ∩ B ={<2,4>}
domA = {1,2,3},domB = {1,2,4},dom(A ∪ B) = {1,2,3,4}
ranA = {2,3,4},ranB = {2,3,4},ran(A ∪ B) = {4},fld(A - B) = {1,2,3}
14.R R = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}
R= {<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}
R{0,1} = {<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}
R[{1,2}] = {2,3}
18.(1)F(G∪H) = F G∪F H
任取
?t(
?t((
?t(
?
(2)和(4)类似可证
19.(2)任取y,有
y∈R[T∪W]?x(x∈T∪W∧
?x((x∈T∨x∈W)∧
?x((x∈A∧
?x(x∈T∧
?y∈R[T]∨y∈R[W]?y∈R[T]∩R[W]
(3)任取
?x∈A∧x∈B∧
?(x∈A∧
?
?
20.(1)任取
?
?
?
(2)和(1)类似可证.
21.只有对称性,因为1+1≠10,<1,1>R,R不是自反的,又由于<5,5>∈R,因此R不是反自反的,根据xRy?x+y = 10=>yRx ,可知R是对称的,又由于<1,9>,<9,1>都是属于R,因此R不是反对称的,
<1,9>,<9,1>都属于R,如果R是传递的,必有<1,1>属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的.
22.(1)关系图如图7.15所示; (P148)
(2)具有反自反性、反对称性、传递性.
26.(1)R={<3,3>,<3,1>,<3,5>}, = {<3,3>,<3,1>,<3,5>}
(2)r(R)={<1,1>,<1,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6,6>}
s(R)={<1,5>,<5,1>,<2,5>,<5,2>,<3,3>,<3,1>,<1,3>,<4,5>,<5,4>}
T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}
31.(1)R = {<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}∪;(2)R; (3)R.
32.(1)不是等价关系,因为<1,1> R,R不是自反的;
(2)不是等价关系,因为R不是传递的,1R3,3R2但是没有1R2;
(3)不是等价关系,因为<2,2> R,R不是自反的;
(4)不是等价关系,因为R不是传递的。
(5)是等价关系。
33.关系图如图7.17说示 (P151)
[a] = [b] ={a,b},[c] = [d] = {c,d}
38.现取x,有x∈A ?
?
任取
?
任取
?
? (
?
42.x,x∈A ?
x,y∈A,
?
x,y,z∈A,
?
?
?
T是传递的。
43.哈斯图如下图所示.
44.(a)偏序集,A={1,2,3,4,5},R={<1,3>,<1,5>,<2,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>}∪
(b)偏序集,A={a,b,c,d,e,f},R={,
(c)偏序集,A={1,2,3,4,5},
R={<1,2>,<1,4>,<1,5>,<1,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}∪
45.(a)A={a,b,c,d,e,f,g}, ={,,,,,,,
,
46.哈斯图如图7.19所示(P153)
(1)极大元e,f;极小元a,f;没有最大与最小元。
(2)极大元a,b,d,e;极小元a,b,c,e;没有最大与最小元。
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第八章函数
本章自测答案
2. = {,,… }
= {<1,a>,<2,a>}, = {<1,a>,<2,b>}, = {<1,a>,<2,c>}
= {<1,b>,<2,a>}, = {<1,b>,<2,b>}, = {<1,b>,<2,c>}
= {<1,c>,<2,a>}, = {<1,c>,<2,b>}, = {<1,c>,<2,c>}
3.(1)双射,反函数=,f({8}=|8|),({4}={4};
(2)双射,反函数:R→ R,(x)= logx, ({1}) = {2}, ({1,2}) ={0,1};
(3)单射,({5}) = {<5,6>}, ({2,3}) = {2};
(4)单射,({2,3}) = {5,7}, ({1,3}) = {0,1};
(5)单射,({-1,2}) = {1,2}, ({1}) = {-1,1};
(6)单射,((0,1)) = (1/4,3/4),([1/4,1/2]) = [0,1/2];
(8)单射,((0,1)) = (1,+∞),({2,3}) = {1/2,1/3}.
4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射,也不满射.
5.(1) 为真,其余都为假.
7.(1) 结果不唯一,={,,
(2) 结果不唯一,={,,
(3) 不能
(4) 存在单射还书的充要条件是m ≤ n ,存在满射函数的充要条件是m ≥ n,
存在双射函数的充要条件是m = n .
9.双射函数与单射函数都是n!个
10.(1)不是单射,不是满射,也不是双射;
(2){<1,1>,<0,2>,<2,0>};
(3){3,5,7}
17.f g(x)=2x +7, b f(x) =2x +4, f f(x) =x +6, g g(x) =4x +3,
h f(x)=x/2 +3, g h(x) = x +1/2, f h(x) =(x +5)/2 g h f(x) =x +7/2
18.f f(n) =n+2, g f(n)=2n+1, f g(n)=2n+2, g h(n) =0
h g(n)=, h g f(n)=.
19.(1)g f(x)=x+8x +14, f g(x)=x+2
(2)都不是单射,也不是满射和双射。
(3)g和h有反函数,g:R→R,g(x) = x–4; h:R→R,h(x)=
20.
(1)f g:N→N, f g(x)
(2)不是单射,不是满射,也不是双射。
21.(1)单射,假设f() = f(),那么<,+1> = <,+1>。根据有序对相等的条件得=,因此f是单射的,但是f不是满射的,因为<0,0>ran
(2)不存在反函数
(3)ran={
24.这些函数都是不唯一的,以下只是一个可能的结果。
(1)f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>}
(2)f(x) = 2x
(3)f(x) = |x| - 1
(4)f(x) = e
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第九章集合的基数
本章自测答案
1.令:P(A)→2,(T) = Xт, 假如,∈P(A),且≠,那么存在x只属于和之中的一个集合,不妨设x∈∧x,因此
于是()≠(),从而证明了是单射的,对于任意g∈2,令B={x|x∈A,g(x) = 1},则B∈P(A),
且(B)= Xв = g.
2.令:[1,2] →[0,1],(x) = x – 1,则为[1,2]到[0,1]的双射函数.
3.令:A→N,(x) = x/2 , 则为双射函数.
6.提示:根据A ≈ C,B ≈ D,存在双射:A→C,g:B→D,构造函数h:A×B→C×D,h() = <(a),g(b)>容易证明h的双射性。
7.A = {2n|n∈N},B = {2|k∈N},C=Z
9.(1) 3∪6 = 6, 2∩5 = 2;
(2)4–3 ={3},3⊕1 = {1,2}
(3)∪4 = 3, ∩1 = 0
(4)1×4 = {<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2= {,,,},其中:
={<0,0>,<1,0>} = {<0,0>,<1,1>}
={<0,1>,<1,0>} = {<0,1>,<1,1>}
10.(1)3, (2), (3), (4), (5), (6),
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第十章代数系统
本章自测答案
3.(1)可以,A = {-1,0,1}.
(2)不可以.
4.(1)封闭 (2)不封闭 (4)加法不封闭,乘法封闭 (5)不封闭 (7)封闭 (9)加法不封闭,乘法封闭
5.(1)没有交换律、结合律,对于一个运算不能考虑分配律;
(3)加法满足交换律、结合律,乘法满足结合律,乘法对加法满足分配律;
(4)乘法满足结合律
(6)加法和乘法都满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律;
(7)满足结合律;
(8)乘法满足交换律、结合律;
(9)乘法满足交换律、结合律;
(10)乘法满足交换律、结合律。
6.(1)没有单位元、零元,没有可逆元素。
(3)n阶全0矩阵是加法单位元,也是乘法的零元;n阶单位矩阵是乘法单位元;加法没有零元。任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元,起逆元为– M;只有n阶可逆矩阵(行列式不为0)对乘法是可逆元,其逆元为M .
(4) 乘法单元为n阶单位矩阵,没有零元。每个矩阵M都有逆元M .
(6) 加法单位元0,没有零元,每个元素x都可逆,其逆元是它的相反数– x 。
当n = 1时,乘法有单位元1,只有两个可逆元素:1 = 1, ( - 1) = - 1.
当n>1时乘法没有单位元和可逆元素。
(7)没有单位元和零元,也没有可逆元素。
(8)乘法单位元为1,只有1是可逆元素,1 = 1
(9)乘法单位元为1,只有1是可逆元素,1 = 1
(10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。
8.(1)不可交换。反例:<0,1> * <1,2> = <0,1>,<1,2> * <0,1> = <0,3>.
可结合,因为,
=
=
不是幂等的,因为<1,1> * <1,1> = <1,2>
(2) 容易严整<1,0>为单位元,没有零元,当a≠0 时,的逆元为<1/ a,- b/a>
11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元,零元是1;
(3)能构成代数系统。满足交换律、结合律,单位元是10,零元是1。
15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能
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第十一章半群与群
本章自测答案
2.(1)构成半群、独异点和群;
(3)构成半群,不构成独异点,也不构成群;
(4)构成半群、独异点和群
5.(1)假设a*b ≠ b*a,那么或者a*b = a , a = b ;或者a*b = b , b*a = a。若为前者,则
(a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a
与结合律矛盾,若为后者,有
(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b
也与结合律矛盾。
(2) 假设b*b = a ,那么或者a*b = b*a = a,或者a*b = b*a = b 。若为前者,则
(b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a
与结合律矛盾,若为后者,有
(b*a)*a = b*a = b ; b*(a*a) = b*b = a
也与结合律矛盾。
7.任取a + bi , c + di∈G , 有
(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)i∈G
任取a + bi , c + di , e + i ∈G ,有
((a + bi)+(c + di))+(e + i)=(a + c)+(b + d)i +(r + i)
= (a + c + e) + (b + d + ) i
同理
(a + bi)+((c + di)+(e + i))=(a + c + e) + (b + d + ) i
单位元是0,a + bi的逆元是– a – bi .
9. 能构成群,运算封闭。x , y , z ∈A , 有
(x y)z = (x + y - 2) z = (x + y - 2) + z – 2 = x + y + z – 4
x(y z) = xо(y + z - 2) = x + (y + z - 2) – 2 = x + y + z – 4
结合律成立,单位元是2,x的逆元是4 – x。
11.设矩阵A=, B=, C=, D=,
那么运算表如表11.7所列
· A B C D
A A
B
C D
B C D B A D C
C D A B
D C B A
13.(2)a,b∈G有
(ab)(b a)=a(bb)a=aa=e
(b a)(ab)=b(a a)b=b b=e
因此b a 是ab的逆元,根据逆元唯一性,命题得证.
(4) 当m,n为自然数时任意给顶n,对m进行归纳,a∈G,有
m = 0,(a)= e = a
假设(a)= a,则
(a)=(a)a=a a=a= a
根据归纳法,命题得证.
下面对n或m小于0的情况进行验证,不妨设n<0,m≥0,则n=-t,t>0
(a)=(a)=((a))=(a)=a=a
其他类似情况可以类似加以验证.
(5)设G为交换群,当n为自然数时对n归纳。
N = 0,(ab)= e = ee = a b
假设(ab)= a b,则
(ab)= (ab)(ab) =(a b)ab = a(b a)b
= a(ab)b = (a a)(b b) = a b
根据归纳法,命题得证.
若n<0,令n=-m,m>0 ,那么有
(ab)=(ba)=(ba)=((ba))=(a b)
=(a)(b) =a b=a b
16.若x∈G有x= e,因此x∈G有x= x.x ,y∈G,有
xy = (xy)
= y x = yx
17.设a是幕等元,则aa = a,即aa = ae.根据消去律必有a = e.
19.由x=e?|x|=1或2,换句话说。对于G中元素x,如果|x|>2,必有x≠x,由于|x|=|x|,阶大于2的元素成对出现,共有偶数个,那么剩下的1阶元总共应该是偶数个,1阶元只有1个,就是单位元,从而证明了G中必有的2阶元.
22.a∈N(a),N(a)≠,任取x,y∈N(a),有
ay = ya ? a(ay)a= a(ya)a? ya = a y
(xy)a = x(y a) = x(a y) = x(ya)
= x(ay ) = (xa)y = a(xy )
根据判定定理,N(a)为G的子群。
30.(1)是同态,不是单同态,也不是满同态。() = {-1,1},ker = 2Z;
(2)是同态,不是单同态,也不是满同态。() = {cosx + i·sinx|x∈Z},ker = {0};
(3)是同态,不是单同态,是满同态,()={cosx + i·sinx|x∈R}= A,ker ={2kπ|k∈Z}
31.设:→ ,:→ ,因此:→ ,
x,y∈,有
(xy) =((xy)) =((x)(y))
=((x))((y)) =(x)(x)
因此是到的同态。
32.由于:→ 是双射,因此:→ 也是双射。
x,y∈,a,b∈,使得(a) = x,(b) = y.从而得到
(x)= a,(y) = b
(xy) =((a)(b)) = ((ab)) = ab =(x)(y)
33.设是循环群,a,a∈有
a a=a =a =aa
因此G是Abel群,但是Abel群不一定是循环群,例如KIein四元群是Abel群,但不是循环群。
34.设=,:→ ,y∈(),a∈,使得(a)=y
y=(a)=()=()=((a))
因此(a)是生成元,即()=<(a)>.
35.(1)生成元为a,a,a,a,a,a,a,a
(2)子群为
36.(1)στ=,τσ=,σ=,τ=,στσ=
(2)στ= (1 4 2 3 ),τ = (1 4 2 5 3 ),στσ = (1 5 2 4 3 )
(3)στ = (1 4)(1 2)(1 3)奇置换
τ = (14)(12)(15)(13)偶置换
στσ = (15)(12)(14)(13) 偶置换
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第十二章环与域
本章自测答案
4.(1)是环,是整环,也是域;
(2)不是环,因为关于加法不封闭;
(3)是环,不是整环和域,因为乘法没有么元;
(4)不是环,因为正整数关于加法的负元不存在,关于加法不构成群;
(5)不是环,因为关于乘法不封闭。
6.(1) ( - a )( - a) = - - (a a) = 1 , ( - a)( - a ) = - - ( a a ) = 1
因此 - a 是( - a)的逆元,根据逆元的唯一性得( - a) = - a
(2) (b a )(a b) = b (a a) b = 1 , (ab) (b a ) = a (b b ) a = 1
因此b a 是ab的逆元,根据逆元唯一性有(a b) = b a .
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(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为:
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,,
离散数学答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(pr)∧(﹁q∨s) ?(01)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1) (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例)
第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p)
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间:2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上,写明题号,不必抄题,字迹工整、清晰; 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级,学号和姓名,交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分,每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗?并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素? 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式? (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中,哪个是群? (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法;(B) S是有理数集合,*运算是普通乘法; (C) S是整数集合,*是普通乘法;(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法,请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换?对换呢? 9?请给出一个有余,但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环,R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想: (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分,每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群,(C*,??)为非零复数的乘法群,令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射,请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群,H是由I和(13)作成的子群,求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法,请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳:f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群,(A, *)和(B,*)是它的两个子群,C={a*b|a € A, b€ B}.证明:若*满足交换律,则(C, *)也是(G,*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合,X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下:对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有: (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b),其中,+,x分别是整数加法与乘法。 证明:(X,?,O)是环,如果此环有零因子请给出它们
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
《离散数学》及答案
《离散数学》+答案 一、选择或填空: 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧?z C(y,z))→D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z(考察定义在公式?x A和?x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和?z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元) 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6) 44
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
太原理工大学离散数学试题
一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=__{3}__________________; ρ(A) - ρ(B)=___________________{3},{1,3},{2,3},{123}______ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = _____2^(n^2)_____________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是__自反,对称,传递 ____________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合,B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求: (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中,能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有多少个? 能被5整除的有40个, 能被15整除的有13个, ∴能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗? (1)2是正数吗? (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了,那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r),其中p、q、r为如下命题: p:你得流感了 q:你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语,其中C(x)表示x有电脑,F(x,y) 表示x和y是同 班同学,个体域是学校全体学生的集合。 解: 学校的全体学生要么自己有电脑,要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解: ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
离散数学期末试卷及答案
一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设
2018国家开放大学离散数学本形考任务答案
离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.本次形考书面作业是第二次作业,大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业. 要求:学生提交作业有以下三种方式可供选择: 1. 可将此次作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,完成作业后交给辅导教师批阅. 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸,将答题过程手工书写,并拍照上传. 一、填空题 1.已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G的边数是15 . 2.设给定图G(如右由图所示),则图G的点割集是 { f },{ e,c} . 3.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则 G的结点度数之和等于边数的两倍. 4.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且不含奇数度结 点. 5.设G=
8.结点数v与边数e满足e=v - 1 关系的无向连通图就是树. 9.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去条边后使之变成树. 10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i = 4 . 二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.) 1.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路. 答:错误。应叙述为:“如果图G是无向连通图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路。” 2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路. 答:错误。因为图中存在奇数度结点,所以不存在欧拉回路。 3.如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
离散数学课后答案
离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 (1)小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答: (1)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:小丽拿一个苹果,q:小丽拿一个梨(2)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答: (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
离散数学试卷及答案
填空10% (每小题 2 分) 1、若P,Q,为二命题,P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数,都存在比它大的实数” 令F(x):x 为实数,L(x, y) : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号,公式其余的部分不变,这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元,A的论域为D,A(x)关于y 是自由的,则被称为存 在量词消去规则,记为ES。 选择25% (每小题分) 1、下列语句是命题的有()。 A、明年中秋节的晚上是晴天; C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0; D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有()。 A、2+2=4当且仅当3是奇数; B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数; C、2+2≠4 当且仅当3是奇数; D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数; 3、下列符号串是合式公式的有() A、P Q ; B、P P Q; C、( P Q) (P Q); D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有( )。 A、P QQ P ; B、P(P R) R; C、P (P Q) Q; D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ,且A1 A2 A n B 则 ( )。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件; B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ; D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为:个体域 D={2} ,P(x) :x>3, Q(x) :x=4则 A 的 真 值为( ) 。 A 、 1; B 、 0; C 、 可满足式; D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是( )。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ; D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在( )。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②; B 、④; C 、⑤; D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ,B 为二合式公式,且 B ,则( )。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式; B 、 B ; E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为( )。 论域为全总个体域) M (x ) : x 是人; Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ; B M (x) Mortal (x)
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={