教师要欣赏学生的想法

收稿日期:2015-03-28

教师要欣赏学生的想法

张同语

(安徽省五河县第一中学一233300

)1一案例

题目一已知圆O 的半径为1,P A ,P B 为

该圆的两条切线,A ,B 为两切点.那么P A ?四

P B ?的最小值为

图1

这是我校高三第4次月考的一道试题,

该题取材于2010年高考数学全国卷.阅卷时发现该题的正确率不是很高.上讲评课时,我让一位做对的同学A 讲解题方法.学生A (解法1):设P A =P B =x (x >

0),?A P O =α,

则?A P B =2α,P O =1+x

,s i n α=11+x

所以

P A ?四P B ?=|P A ?|四|P B ?|c o s 2α

=x 2

(1-2s i n 2

α)=x 4-x 2

x 2+1

令P A ?四P B ?=y ,

则y =x 4

-x 2

x 2

(x >0).令x 2

+1=t (t >1

),则y

=t 2-3t +2t =t +2t

-3?-3+22.

故P A ?四P B ?的最小值为-3+22.

这正是笔者课前准备的方法,通过对x 2

+1进行换元,

将函数式结构变形为较简单的形式y =t +2t -3,

再利用均值不等式一举解决问题,属于较好方法.笔者对学生A

表扬后,认为大功告成,准备讲其它试题.1.1一课堂意外

这时,学生B 又举手说: 老师,我还有

另外一种解法. 对此笔者毫无思想准备,怎么办,若继续解答此题,肯定会耽误教学时间,影响教学进度,敷衍过去吧,显然会打击学生积极性,学生将要失去一次探究时机,不符合新课程理念,最后笔者调整预设,让学B 展示.

学生B (解法2):设?A P B =2θ,0<θ<

π2.得P A =P B =1t a n θ

,P A ?四P B ?=|P A ?|四|P B ?|c o s 2θ

=(1t a n θ)2c o s 2θ=c o s 2

θs i n 2θ

(1-2s i n 2

θ)=(1-s i n 2θ)(1-2s i n 2θ)s i n 2

θ.令x =s i n 2

θ,0

得P A ?四P B ?=

(1-x )(1-2x )x =2x +

-3?22-3,故P A ?四P B ?的最小值为-3+22.

教师:学生B 选择角θ为自变量,建立y

关于θ的三角函数式,在结构上很简单也是

2数学教学研究一一一一一一一一第34卷第6期一2015年6月

较优解法,值得表扬.下面我们开始讲下一题

意想不到的事情又发生了,只听一声烦死了笔者循声望去是学生C,心里很恼火,很想批评他一顿,但是忍住了,因为学生C性格比较内向,易偏激.同时新课改理念提醒笔者: 教师是学生的亲密伙伴,对学生在学习中的表现应给予充分理解和尊重.

1.2一精彩生成

教师:你有什么想法吗?如果有,请说出来,老师和同学们会帮你解决.

学生C:没事.对不起,老师!我只是认为刚才的两种解法都很好,我也想再力求寻找新的解法,可是,搞了半天,也没弄出来,所以心里烦 (教室里顿时哄堂大笑)

这时,又有一个学生学着笔者平时的腔调: 说说看,你是怎么想的? 我也笑了笑,顺水推舟地说: 也是呀,你说说你的想法,让我们来共同想想.

学生C(解法3):以圆心为原点,点P在x轴正半轴上,建立直角坐标系,得圆的方程为x2+y2=1.设A(x1,y1),B(x1,-y1), P(x0,0),其中x0>1,则

P A?四P B?

=(x1-x0,y1)四(x1-x0,-y1)

=x21-2x1x0+x20-y21.

可是到此我就解不下去了.

多好的想法呀!新课程要求教师能关注学生的生活世界和学生的独特需要,促进学生有特色的发展.现在学生C多么需要我们和他合作解决这一问题.

这时,我适时地把问题抛给学生: 同学们,学生C提出了一个好的想法,只是这里涉及了3个变量,能不能消去其中两个变量呢?这些变量存在什么内在联系呢?我们来研究一下,看谁先研究出来.

不一会儿,学生D举手回答:因为A O?P A,所以

(x1,y1)四(x1-x0,y1)=0,

x21-x1x0+y21=0,

又x21+y21=1,所以x1x0=1.所以

P A?四P B?=x21-2x1x0+x20-y21

=x21-2+x20-(1-x21)

=2x21+x20-3

=2x2

+x20-3?22-3.

故P A?四P B?的最小值为-3+22.

笔者不禁拍案叫绝,该题通过建系将向量坐标化,再利用向量的坐标运算,将问题简化,隶属好方法.此法的难点在于利用A O?P A,找到x1x0=1的关系,从而为消元创造了条件,该解法也引来学生一片喝彩.

2一教学思考

从该课堂案例我们可以看到:关注学生的内心世界是多么的重要.教师在课堂教学及其评价应从关注教师的教走向关注学生的学 ,教师必须探寻和重视学生的观点二想法.探寻学生对概念的思考和对问题的看法有助于教师根据学生的需要和兴趣备课二进行有区别的教学.

美国认知教育心理学家苏贝尔曾说过: 如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话,我将会说,影响学习的最重要原因是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学. 也就是说,教师应当深入了解学生情况,了解孩子眼里的数学与成人眼里的数学是不一样的.学生可能会有很多怪想法,这些想法可能不是纯数学的东西,但体现了孩子们可贵的思维,老师如果能够欣赏孩子们的这些想法,不但能启发他们的智慧,更能保护好他们后续学习的动力.

在教学过程中,老师要了解学生的想法,了解学生在解决问题时有什么创意和困难.

(下转第28页)

第34卷第6期一2015年6月一一一一一一一一数学教学研究

因而在教学中,引领学生在课堂中互动的最基本而有效的策略应该是设置问题,有了问题,学生就有了展示的机会,课堂也就会真正动起来.课堂中问题如何呈现,才能引发学生深度的思维是需要我们深思的问题.本节教学中,教师做了有心的追问者,适时二恰当二有度的追问可引发学生主体内心的冲突,打破主体已有的认知结构的平衡状态,从而唤起学生的思维,激发内驱力,使其真正进入学习活动之中.本节课在设置问题时充分依据最近发展区原理,构建问题串,知识链,刺激学生诉求的欲望与冲动,激发学生思维积极主动地二愉悦地投入,使定理的发现和证明成为学生自己主动思维的结果.

2.3一重视定理的建构过程,促进学生心智的发展

苏霍姆林斯基说过, 学生要想牢固地掌握数学,就必须用内心创造与体验的方法来学习数学. 因此,引导学生在体验中学习,在体验中自主探究二自主发展是学好数学的关键.在整个教学中,教师通过创设情境二设置问题二情感交流等多种途径引导学生经历从具体问题抽象出定理的过程,拉长定理形成的思维过程,让学生经历完整的探究过程,让师生二生生在这个过程中达到和谐共振的境界,使学生知其然,知其所以然.这样设计,一方面还原了数学结论的历史真相,另一方面也激发了学生学习数学的兴趣,重要的是让他们从中体验数学家概括形成定理的心路历程,领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛,即学会了知识又启迪了智慧.参考文献

[1]一章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的

函数概念教学[J].数学通报,2009,(6):19-

24,(7):29-31.

[2]一巨申文.余弦定理教学中的几点思考[J].中学

数学教学参考(上旬),2014,(1-2):31-34.

[3]一董入兴.意外探究,别样生成,不一样的精彩

[J].中学数学教学参考(上旬),2014,(3):13-

15.

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(上接第23页)

在这个基础上,有的放矢地讲.这样才能实现有效的教学.这实际上是课堂教学方式和学生学习方式的转变,由教师讲学生练的模式转变为教师引导学生探索的过程.在这个过程中,学生不仅掌握了知识,而且发展了思维.如在传统教学活动中,教师往往把备课狭义的理解为写教案,或者抄教案,更有甚者把教案当成了负担 ,这样备课就如同作秀,把备课理解成为课堂设置预案二规定程序,而这样的备课往往是以教师对内容的理解代替学生的心灵感悟,我们甚至把教师自己的能力水平设置为教学目标,从而把它们强行灌输给学生,这同新课程所提倡的自主二合作二探究的学习方式,强调课堂教学要体现学生的主体性, 师生在教学中应该是平等的交流等理念是相冲突的.

以前的教学活动往往是教师讲二学生听,

忽视了学生的主体性与师生的互动性,忽略

了学生个性的发展,因而我们在备课时往往

忽视了学生是一个活生生的人,是一个情感

丰富的人,是一个个性正待塑造的人,而是很

粗暴的把学生当成接受知识的一种容器或学

习机器.新课标在很大程度上更加注重和优化人文性,这就要求教师在备课时应该时时

刻刻关注学生是一个血肉丰富的人,而决非

容器二机器.在备课时,所设计的教学步骤二教学提问都遵循以人为本的教学理念,优化以人为本为核心的教学实质,在备课内容上最大程度凸现出人文性.老师要做到4个转变:即变写教案为备课,转变教师角色,变

课堂为舞台,变简单提问为牵引.

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