第四章 投影变换
第四章投影变换
章节目录
第一节第二节第三节第四节第五节投影变换的目的和方法变换投影面法
旋转法
以平行线为轴的旋转法度量问题和定位问题举例
学习内容及学习重点?学习内容：
投影变换的目的
投影变换的方法
?学习重点：
投影变换问题的提出
投影变换的方法
第一节投影变换的目的和方法
求点到直线的距离的三种情况
以图（a）情况为最方便（因为在投影图上可以直接反映它们之间的距离）。而后面两种情况，就需要用到一些辅助性的作图。
1.如何求一般位置直线的实长？
2.如何求一般位置平面的真实大小？
解决的方法：改变已知形体对投影面体系的相对位置，以达到简化定位问题和度量问题的解答。
二、投影变换的方法两种变换方法：
1.变换投影面法（换面法）
保持几何元素的位置不动，而建立新的直角投影面体系。2.旋转法
保持原直角投影面体系不动，将空间几何元素绕某个选定的轴旋转。
学习内容及学习重点?学习内容：
基本原理
基本作图问题
?学习重点：
换面法的六个基本作图问题
第二节变换投影面法（换面法）
一、新投影面选择原则
V H
A
B a '
b '
a b
1.新投影面必须对空间形体处于最有利的解题位置。
2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
V 1
a 1
b 1
X 1
X
平行于新的投影面垂直于新的投影面
1.点的一次变换
V H
X
X 1
A
a x
a '
a a 1 'a x 1
V 1
（1）换V 面
原H 面保持不变，以新的V 1面替换原V 面。●
●●V H
X V 1H
X 1
a '
a
a 1'
a x
a x1
.●旧投影体系X —
V
H
A 点的两个投影：a, a '
●新投影体系
V 1H
X 1—A 点的两个投影：a, a 1'
●旧投影体系X —
V
H
A 点的两个投影：a, a '
●新投影体系
V
H 1
X 1—A 点的两个投影：a ', a 1
（2）换H 面原V 面保持不变，以新的H 1 面替换原H 面。V
H
H 1
A a x
a '
a X 1
a 1
a x1
a '
a
X V H
a 1
X 1a x1
X 点的换面规律：
1) 点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴；
2) 点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投
影到旧投影轴的距离。
⑴新投影体系的建立
先把V 面换成平面V 1，V 1⊥H ，得到中间新投影体系:V 1H X 1 —再把H 面换成平面H 2，H 2⊥V 1，得到新投影体系:X 2 —V 1H 2
2.点的两次变换
A
a
V
H
a '
a x
X
X 1
V 1
a '1
a x 1
●
H 2
X 2
●
●
●
a x 2a 2
●
按次序更换
⑵求新投影的作图方法
a x2
●
a '
a X V
H
●
●
a 2
X 1H V 1
X 2
V 1
H 2
作图规律a 2a 1'⊥X 2 轴a 2a x2 = aa x1
a 1'
●
a x
a x1
.
.
三、换面法的六个基本作图问题
1. 第一个问题---把一般位置直线变换成平行线作图方法：
（1）作新轴O1X1∥ab；
（2）作出两端点A和B
的新投影，得a1'b1'。
[例题1]：求直线AB的实长及与H面的夹角。
X1H V1
空间分析：
作图：
a'
b'
a b
X V
H
a1●b1
●
X
1
与ab平行。
α
.
用V
1面代替V面，在V
1
/H投影体系中，AB//V1。
换H面行吗？
2. 第二个问题---把平行线变换成垂直线
应该选择哪一个投影面进行变换，要看给出的直线位置而定。给出的是正平线，则应变换H面；给出的是水平线，则应变换V面。
3. 第三个问题---把一般位置直线变换成垂直线
综合第一和第二个问题，就得出把一般位置直线变成垂直线的方法，必须经过两次变换。
[例题2]：将一般位置直线AB 变成投影面垂直线。
空间分析：X 2轴的位置？与a 1b 1垂直
1.一次换面把直线变成投影面平行线；
2.二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
a 1'●
b 1'
●
a '
b '
a
b
X V H
X 1H
V 1作图步骤：
1）作O 1X 1∥ab ；
2）求出新投影a 1’、b 1’；3）作O 2X 2⊥a 1’b 1’；4）求出a 2、b 2
（a 2与b 2重合）。
a 2(
b 2)
.
4. 第四个问题---把一般位置平面变换成垂直面
一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。空间分析：
在平面内取一条
投影面平行线，经一
次换面后变换成新投影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？思考：
若变换H 面，需在面内取什么位置直线？
X
c 'b
c
d
H
B C D a 'b X a
V A d 'V 1
X 1
c 1b 1a 1(
d 1)
5. 第五个问题---把垂直面变换成平行面
这一变换，同第二个问题一
样，要变换哪一个投影面要看给
出的平面的位置而定。给出的是
正垂面，则只能变换H面；给出
的是铅垂面，则只能变换V面。
把已知的正垂面△ABC，变
换成为平行面的方法：
为简单起见，我们取新面H
1
重合于△ABC，在图上即引新轴
O 1X
1
重合于a'b'c'(线段），再作
出新投影△a
1b
1
c
1
，它必然反映
实形。
6 第六个问题---把一般位置平面变换成平行面
一次换面：把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面：再变换成新投影面的平行面。作图：
空间分析：
X 2轴的位置？
平面的实形
做正平线
X
V
H
O
a
c
c’b’
a’
e
e’
O1
H1
V X1
a1b1
c1e1
β
O2X2
V2
H1
c2’
a2’
b2’
e2’
X2轴与其积聚投影平行