多元函数的最值问题(学生版)

多元函数的最值问题

一、背景介绍

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题及竞赛中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力.因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是必须具备的解题技能. 二、方法思想

1.常用方法：换元法、配方法、基本不等式法、柯西不等式法、消元法、数形几何法等；

2.基本思想：化归转化、数形结合. 三、题型归纳

题型一：换元法

例1.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值与最小值.

例2.已知实数,x y 满足22222429x xy y x y +++≤，令)x y x y ω=++，试求ω

的最大值和最小值.

例3.已知,,a b c 均为正数，且21a b c ++=，则11

a b c

++的最小值为_______. 题型二：减元法

例4.设实数,,x y z 满足237x y z +-=，求2

x y z ++的最小值.

例5.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2

y x z

?的最小值是_____.

例6.若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是______.

题型三：构造法

例7. 设n 为自然数，,a b 为正实数，且满足条件2a b +=，则11

11n n

a b +++的最小值是________.

例8. 对于满足1r s t ≤≤≤的一切实数,,r s t ，求

22224

(1)(1)(1)(1)s t W r r s t

=-+-+-+-

的最小值.

例9.设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求

21231(35)()35

x x x x x x +++

+ 的最小值和最大值.

例10.求实数a 的取值范围，使得对x R ?∈和0,

2πθ??

?∈????

恒有 221

(32sin cos )(sin cos )8

x x a a θθθθ+++++≥

题型四：一题多解

例11. 已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则

3x y x y

+-的最小值为 . 例12.已知任意非零实数,x y 满足22234()x xy x y λ+≤+恒成立，则实数λ的最小值为____．

变式练习：()

222

22x xy m x y +≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数m 的最小值

为 .

例13.已知正实数,a b 满足22

91a b +=，则

3ab

a b

+的最大值为 .

四、直击考题

1.（2002年一试二11题）若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是______.

【变式1】设,x y R

∈，且44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是（）

2 C.2.（2017年预赛一试第8题）设0x y ≥>，若存在实数,a b 满足0,0a x b y ≤≤≤≤，

且2

()()x a y b x b y a -+-=+=+，则

的最大值为（）

D.1

3.（2017预赛一试第11题）设,,a b c 是互不相等的正整数，则

abc

a b c

++的最小值为____.

4.（2016年预赛一试第8题）设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>

，则

）

5.(2016预赛一试第6题)记(,,)M x y z 为,,x y z 三个数中的最小数，若二次函数2()(,,0)

f x ax bx c a b c =++>有零点，则(,,)b c c a a b

M a b c

+++的最大值为（） A.2 B.54 C.3

D.1

6.（2016预赛一试第2题）已知实数,x y 满足

33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则2244x y x ++的最小值为____.

五、课后练习

1.求22

x y

z x y +=

++的最大值和最小值. 2.设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a ++

+=.求

2313121

111n

n n a a a a a a a a a a a a -+

+++

++++

+的最小值.

3.设1xy =，且0x y >>，求22

x y x y

+-的最小值.

4.设,,a b c 为正数，且1abc =，求

111

212121

a b c +++++的最小值. 5.设,,x y

z 是不全为零的实数，求

222

2xy yz

x y z

+++的最大值. 6.对所有,,a b c R +

∈的最小值.

7.已知,,a b c R +

∈，求

938432a b c

b c c a a b

+++++的最小值. 8.设,,a b c 为正实数，且abc a c b ++=，求222223

111

p a b c =-++++的最大值. 9.设0,0,0,1x y z x y z ≥≥≥++=，求222

23f x y z =++的最大值和最小值.

2016年高中数学多元函数求最值问题专题

多元函数求最值问题一.【问题背景】多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。二.【常见的方法】导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等主要思想方法：数形结合、化归思想等三.【范例】例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21 3x y x y ++-的最小值为。方法一因为422x y +≥，所以 ( )2121 4( )()[(3)()]3323333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当1,3x y ==-取等号，故 213x y x y ++- 的最小值34 + 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。方法二利用不等式()2 22a b a b p q p q +++≥ ，引证：记向量x y == ，因为() 222x y x y ?? ≤ 所以 ()2 2 2 a b a b p q p q +++≥ ，则 ) () 2 12132x y x y x y ++-+ ≥ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。方法三因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件：设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。注意：当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ．再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32．利用定理2对驻点进行讨论：

“图解法解二元函数的最值问题”

“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例昌平区第一中学回春荣

“图解法解二元函数的最值问题”教学课例一、设计意图：在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。三、教学过程与教学资源设计（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题（二）、教学设计流程图：

多元函数求最值

多元函数求最值（范围）问题主备人:刘美良知识要点：1.;2,22 22 2 b a ab ab b a +≤ ≥+()R b a ac bc ab c b a ∈++≥++,,222 2.2 2,2??? ??+≤≥+b a ab ab b a ??? ??∈+≥ ++R b a b a b a ,,41 1 3.22112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+。推广： n a a a n a a a a a a a a a n n n n n n 2 2 212212121111ΛΛΛΛ++≤++≤≤++()0>i a 4. 若d c b a ,,,是实数，则2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则 222112 222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当 0=i b [来]),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。推论：（1）当121n b b b ===L 时，柯西不等式即为2222 1212()()n n n a a a a a a ++≥++L L ，若 i a R + ∈（1,2,i n =L ） 12n a a a n +++≥L ，此即上面提到的平方平均≥算术平均。（2）当1i i b a = （1,2,i n =L ）时，有222 212222 12111()()n n a a a n a a a ++++≥L L 。当,i i a b R +∈（1,2,i n =L ），则 ( )212121 2n n n a a a b b b b b b ?? +++++≥ ???L L L (3)权方和不等式：()y x b a y b x a ++≥+2 22；()??? ? ??+≥+222 2b a b a

关于多元函数的极值和最值计算

关于多元函数的极值和最值计算（一）可微函数的无条件极值如果(,)z f x y =在区域D 上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法求出极值。首先，通过解方程''00 x y f f ?=??=?? 得到驻点。其次，对每个驻点求出二阶偏导数： '''''',,xx xy yy A f B f C f === 最后利用课本定理7.8进行判断。 20,0,AC B A ->> 函数在此点取极小值； 20,0,AC B A ->< 函数在此点取极大值； 20,AC B -< 函数在此点不取极值； 20,AC B -= 不能确定。（二）如何求多元函数的最值如果函数(,)z f x y =在有界闭域D 上连续，那么函数(,)z f x y =在有界闭域D 上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。首先，在D 的内部求出函数(,)z f x y =的驻点及偏导数不存在的点。其次，求出函数(,)z f x y =在D 的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理：第一种情况：D 的边界是由显函数来表示的（包括边界是分段用显函数表示的情形），可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题来解决。第二种情况：D 的边界是由隐函数(,)0x y ?=来表示的，而且函数(,)z f x y =，(,)x y ?在包含D 的区域上存在二阶连续偏导数，此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。最后，通过比较函数(,)z f x y =在我们得到的点上的函数值，就可得到(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。（三）如何求条件极值下面介绍求函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的条件极值。第一种情况：如果(,)0x y ?=确定了显函数)(y g x =或者)(x h y =，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题来解决。第二种情况：如果函数(,)z f x y =，(,)0x y ?=在区域D 上存在二阶连续偏导数，而且(,)0x y ?=确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。首先，求出拉格朗日函数),,(λy x L 在区域D 内的驻点。

多元函数最值问题(1)

多元函数最值问题一．方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等. 二．解题策略类型一导数法例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式()2 2 2x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．【答案】4 【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数()f x 的定义域是R ， ()()()2 10 811(0) x a x x f x ln x x ?-++≤?=?++>??（a 为小于0的常数）设12x x <且()()12 ''f x f x =，若2 1 x x -的最小值大于5，则a 的范围是__________．【答案】(),4-∞-

类型二消元法例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x ，都存在实数y 与之对应，则当 ()220x y y x e y x a e ----=时，实数a 的取值范围为（） A. 1, 2e ? ? -∞ ?? ? B. (),0-∞ C. 10,3e ?? ??? D. 1,3e ??-∞ ?? ? 【答案】D 【解析】由题设有()33x y a y x e -=-，令x y t -=，则3,t a t e t R =-∈，所以()3'13,t a t e t R =-+∈，当 1,3t ??∈-∞- ???时， '0a >， 3t a te =在1,3??-∞- ???为增函数；当1,3t ??∈-+∞ ???时， '0a <， 3t a te =在 1,3? ?-∞- ? ?? 为减函数，所以m a x 13a e =，注意到当0t >时， 0a <，故选D. 【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把x y -看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 类型三.基本不等式法例 3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数()2 f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为

多元函数求最值

()2121 4( )()[(3)()]332333322 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++-+-+--+=+ + +-+≥≥ 当且仅当221,32 x y ==-取等号，故 21 3x y x y ++-的最小值324+ 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。方法二利用不等式()2 2 2 a b a b p q p q +++≥，引证：记向量 (,)x y p q p q ==，因为()2 2 2 x y x y ??≤ 所以 ()2 22a b a b p q p q +++≥，则 () () 2 2121 32x y x y x y ++-+≥ 322+ 【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。方法三因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()() 2121332222211y x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

多元目标函数最值问题

多元目标函数最值问题目标：1.达到灵活运用基本不等式2(0,0)a b ab a b +≥≥≥来解决高考中有关最值问题。 2.善于观察、联想，迅速研判最值题型，通过变型或转换寻找条件与结论的衔接点，创造性地解决最值问题。 3.能通过减元来研究目标函数最值一．激活思维 1、若正数,a b 满足1ab =，则2a b +最小值 . 2、已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是 . 3、设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 . 4、已知,a b 均为正实数，且1a b +=，求11()()y a b a b =++的最小值。二．分类解密目标1 两元以下函数最值问题例1：若不等式，对任意恒成立，则实数的最大值为。变式1 若则。变式2 若，则的最小值。

例2．若,x y 满足20403x y x y x -≥??+-≥??≤?，则3322x y x y +的取值范围是变式1 已知,x y 为正数，则22x y x y x y +++的最大值为变式2 设(,)P x y 为函数21(3)y x x =->图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-= +--，则当m 最小是P 的坐标为目标2 多元问题处理例3. 若实数，则的最小值为。变式1 设为正实数，且满足的最小值是。变式2已知正实数满足的最小值为。变式3 若，且则。例4．已知,,x y z R +∈，求 2221612xy yz x y z +++的最大值变式训练 1 若关于x 的一元二次不等式()20ax bx c a b ++≥<的解集为R ，则24a b c M b a ++= -的最小值是三． 1、设，则的最小值为。

MATLAB多元函数导数求极值或最优值

实验六多元函数的极值【实验目的】 1．多元函数偏导数的求法。 2．多元函数自由极值的求法 3．多元函数条件极值的求法、 4．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点与极值【实验准备】 1.计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要与充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1、定义多元函数),(y x f z = 步骤2、求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点步骤3、对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,22222y z C y x z B x z A ??=???=??= 步骤4、对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点就是极值点,当0>A 为极小值, 0

可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点与极值、首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即.48,843y x y z y x x z +-=??-=??再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令,当方程组不存在符号解时,solve 将给出数值解。求解正规方程的MA TLAB 代码为: >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点,分别就是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4)、下面再求判别式中的二阶偏导数: >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知)2,4(--P 与)2,4(Q 都就是函数的极小值点,而点Q(0,0)不就是极值点,实际上,)2,4(--P 与)2,4(Q 就是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0、2:5; y=-5:0、2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);