走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学7-2

基础巩固强化

一、选择题

1．(2013·淮北模拟)函数y ＝x 2＋2

x －1(x >1)的最小值是( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

[答案] A

[解析] ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1

＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1

＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1

＝x －1＋3

x －1

＋2

≥2·(x －1)·3

x －1

＋2＝23＋2，

当且仅当x －1＝3

x －1

，即x ＝1＋3时，取等号．

2．(文)(2013·西安二模)在R 上定义运算：

? ????a b c d ＝ad －bc .若不等式?

??

??

?

x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－1

2 B ．－32

C.13

D.32

[答案] D

[解析] 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，

∵x 2

－x －1＝(x －12)2－54≥－54，∴－54≥a 2

－a －2，

∴－12≤a ≤3

2.故选D.

(理)(2013·安徽八校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )

A ．－1

B ．b >2

C ．b <－1或b >2

D ．不能确定

[答案] C

[解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为x ＝a

2＝1，故a ＝2. 又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，

f (x )>0恒成立，即f (x )min ＝b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2. 3．a 、b 为正实数，a 、b 的等差中项为A ；1a 、1b 的等差中项为1H ；a 、b 的等比中项为G (G >0)，则( )

A ．G ≤H ≤A

B ．H ≤G ≤A

C ．G ≤A ≤H

D ．H ≤A ≤G [答案] B

[解析] 由题意知A ＝a ＋b 2，H ＝2ab

a ＋b

，G ＝ab ，

易知a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b

，∴A ≥G ≥H .

4．(文)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1

2 B ．ab ≥1

2 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3

[答案] C

[解析] ∵2＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，排除A 、B ； ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，排除D ，选C.

[点评] 用特值检验法易得．令a ＝1，b ＝1排除A ；令a ＝2，b ＝0，排除B ，D ，故选C.

(理)若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d

y ，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q [答案] C

[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d

y ＝

ab ＋cd ＋adx y ＋bcy

x

≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .

[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P

5．已知x >0、y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2

cd 的最小值是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4 [答案] D

[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a 、b 、c 、d 的表达式转化为只含x 、y 的表达式，然后变形应用基本不等式求解．

[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋y x ＋2 ≥2

y x ·x y ＋2＝4.仅当x ＝y 时取等号．

6．(2012·福建理，5)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋1

4)>lg x (x >0)

B ．sin x ＋1

sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1

x 2＋1>1(x ∈R ) [答案] C

[解析] A 中x ＝1

2时不等式不成立，B 中sin x 不总大于0，D 中，x ＝0时，不等式不成立．

二、填空题

7．(文)(2013·四川)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.

[答案] 36

[解析] ∵f (x )＝4x ＋a x ≥2

4x ·a x ＝4a ，

当且仅当4x ＝a

x ，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值． 又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36.

(理)(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．

[答案] 20

[解析] 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.

8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．

[答案] 5

[解析] 设仓库与车站距离为x 公里，由已知y 1＝20

x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20

x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，

即x ＝5时“＝”成立．

9．(文)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．

[答案] 1

2

[解析] 因为A (2,0)，B (0,1)，所以0≤b ≤1. 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ， ∴ab ＝(2－2b )b ＝－2(b －12)2＋1

2，

当b ＝12时，(ab )max ＝12.

[点评] 利用a ＋2b ＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解．

(理)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2

x 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．

[答案] 4

[解析] 由题意，P 、Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (

2

k ，2k )，Q (－

2

k ，－2k )．

则PQ ＝

8

k ＋8k ≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.

[点评] 1.用基本不等式a ＋b

2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．

2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．

3．注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2

x 0

)，x 0>0，则|PQ |

＝2|OP |＝2

x 20＋4x 20

≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．

三、解答题

10．如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .

(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，

∴AP ＝30(x ＋20)x ，则S ＝1

2×AP ×AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15(x ＋400

x ＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0

3或x ≥60.

答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0

能力拓展提升

一、选择题

11．(文)若a >0，b >0，a 、b 的等差中项是12，且α＝a ＋1

a ，β＝

b ＋1

b ，则α＋β的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 [答案] D

[解析] ∵1

2为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1. α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ?1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1

ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝1

4.

∴α＋β＝1＋1ab ≥1＋4＝5(当且仅当a ＝b ＝1

2时取等号)． ∴α＋β的最小值为5.故选D.

(理)(2013·江南十校联考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1

b ，则m ＋n 的最小值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 [答案] B

[解析] 由已知得ab ＝1，m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1

b ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，m ＋n 取得最小值4.故选B.

12．(2013·温州模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4

y 的最小值是( )

A ．20

B ．18

C ．16

D ．19 [答案] B

[解析] 由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30°＝23得|AB →|·|AC →|＝4， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →

|sin30°＝1，

由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12.

所以1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )·(x ＋y )＝2(5＋y x ＋4x y )≥2×(5＋2y x ·4x y )＝18

等号在x ＝16，y ＝1

3时成立．

13．(文)(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y

n －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )

A ．2＋ 2

B ．2

C ．1

D ．4 [答案] C

[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y

n －4＝0上，∴1m ＋1

n ＝4，∵m >0，n >0，

∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥1

4(2＋2n m ·m n )＝1，等

号在m ＝n ＝1

2时成立，

∴m ＋n 的最小值为1.

(理)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )

A ．1

B ．2

C ．2 2

D ．2 3 [答案] B

[解析] 由条件知(b 2＋1)－ab 2

＝0，∴a ＝b 2＋1b 2，

∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1

b ≥2，等号在b ＝1，a ＝2时成立． 二、填空题

14．已知c是椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的半焦距，则

b＋c

a的取值范

围是________．

[答案](1，2]

[解析]由题设条件知，a

a>1，

∵a2＝b2＋c2，∴(b＋c)2

a2＝

b2＋c2＋2bc

a2≤

2(b2＋c2)

a2＝2，∴

b＋c

a

≤ 2.

15．(文)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则AB的最小值为______．

[答案] 2

[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切

线方程为x

a＋y

b＝1，则

ab

a2＋b2

＝1，

∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.

(理)过点P(－3，0)作直线l与椭圆3x2＋4y2＝12相交于A、B 两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．

[答案]3±

6 2

[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－3，

S△AOB＝1

2|OP| ·|y1|＋1

2|OP|· |y2|

＝

3

2(|y1|＋|y2|)＝

3

2|y1－y2|

把x＝my－3代入椭圆方程得：

3(m2y2－23my＋3)＋4y2－12＝0，即(3m2＋4)y2－63my－3＝0，

y1＋y2＝63m

3m＋4，y1y2＝－

3

3m2＋4

∴|y1－y2|＝

108m2

(3m2＋4)2

＋

12

3m2＋4

＝

1

3m2＋4

144m2＋48＝

49m2＋3

3m2＋4

＝43·3m2＋1

(3m＋1)＋3

＝

43

3m2＋1＋

3

3m2＋1

≤

43

23

＝2，

∴S≤

3

2×2＝3，此时3m

2＋1＝

3

3m2＋1

?m＝±

6

3.

令直线的倾角为α，则tanα＝±3

6

＝±

6

2，

即△OAB面积的最大值为3，此时直线的倾斜角的正切值为

±

6

2.

三、解答题

16．合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的

吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．

(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；

(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

[解析] (1)依题意488＝200＋k ×1202?k ＝0.02. f (v )＝133v (200＋0.02v 2

)＝133(200v ＋0.02v )(60≤v ≤120)． (2)f (v )＝133(200

v ＋0.02v )≥133×2

200

v ×0.02v ＝532，当且仅

当200

v ＝0.02v ，即v ＝100时，“＝”成立，

即汽车以100km/h 的速度行驶，全程运输成本最小为532元．

考纲要求

1．了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 补充说明

1．证明不等式常用的方法：

比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．

2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 .

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立

的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

3．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )；

a 2＋

b 2

≥(a ＋b )2

2(a 、b ∈R )；ab ≤? ??

??a ＋b 22(a 、b ∈R ) ? ??

??a ＋b 22≤a 2＋b 2

2(a 、b ∈R )，以上各等号在a ＝b 时成立． (2)a b ＋b a ≥2(a 、b 同号)，特别地1a ＋a ≥2(a >0)，1

a ＋a ≤－2(a <0)． a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1

b (a 、b ∈R ＋

)． 备选习题

1．使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，则－12a －2

b 的“上确界”为( )

A.92

B.14 C ．－9

2 D ．－4 [答案] C

[解析] 由题意知，问题相当于求－12a －2

b 的最大值． ∵－12a －2b ＝－(12a ＋2b )(a ＋b )＝－(12＋2＋b 2a ＋2a b ) ≤－52－2

b 2a ·2a b ＝－52－2＝－92.

当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时，等号成立，故－12a －2

b 的“上

确界”为－9

2.故选C.

2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件 [答案] B

[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 2

8元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2

x 8×800

x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．

3．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1

b 的最小值为( )

A.14

B. 2

C.3

2＋ 2 D.3

2＋2 2

[答案] C

[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1

a ＋1

b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C.

4．如图，在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN

→，则mn 的最大值为( )

A.1

2 B ．1 C ．2 D ．

3 [答案] B

[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN

→，

∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n ，∴M ? ????0，2m 、N ? ????2n ，0，

∴直线MN 的方程为my 2＋nx

2＝1，

∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n

2＝1，∴m ＋n ＝2，

∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )2

4＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.

5．(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )

A ．－3 2

B ．－3

C ．3

D ．3 2 [答案] D

[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，

∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，

∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝32

2时成立．

6．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF

DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝1

2，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．

[答案] 1

32

[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE

AC ＝λ2，所以△ABE

的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF

DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝1

32，上式当且仅当λ1＝λ2＝1

4时取等号．