保姆公司最优招聘计划

一．问题提出

人员的合理分配是企业用人的关键之一，为方便具体研究，现有问题如下：一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘的计划？可以增季加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后，允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

二．问题分析

招聘的最佳计划即使公司的运营成本最低，同时又最大限度的满足市场需求，影响该计划的因素有：

1.下一年保姆服务的需求；

2.新保姆需要经过5天的培训才能上岗；

3.每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职；

4.公司是否允许解雇保姆；

5.公司每月给新老保姆的工资固定为800元。

由于该题中，每人每月工资固定，即，进入公司后，月工资恒定为800元。因此运营成本只与总人数有关。即在满足每季度需求的前提下（每季度允许有闲置人员）使每年总人数最少。

三．基本假设

1.新保姆在培训期间工资照常领取；

2.每季度工作的保姆工资均以三个月计；

3.自动离职的保姆与公司解雇的保姆不冲突；

4.无论是否工作，公司按月发工资，不存在拖欠情况；

5.不存在其他影响人员变动的因素。

四．符号表示

具体符号表示如下：

五.模型建立

该公司使用进入公司则发工资的用人制度，公司运营成本和总人数成正比。在供过于求的情况下必然会产生剩余劳动力，造成人力资源浪费；当供不应求的时候必须实行人员招聘，以满足需求。因此，在保证供应需求的前提下，又尽量减少闲置人员的数量，制定合理的招聘计划是十分必要的。

因为公司运营成本和总人数成正比，只需将目标函数定为关于总人数的函数。目标函数记为：

{}4321min S S S S P +++=

5.1无解雇招聘模型建立

如果公司不允许解雇保姆，根据下一年各季度的需求，作如下的线性规划：

?????????????????≥≥+=+=+=+=≥≥-≥-≥-0

,,,0,,,85.085.085.01209000

5-6555005657500565600056543214

3214343232121144332211S S S S x x x x x S S x S S x S S x S x S x S x S x S 其中前四个约束条件表示春夏秋冬表示公司保姆总工作量（其中

.4,3,2,1,5=-i x i 表示新招聘保姆培训损失的工作量）不小于需求量。

第四到第八约束条件表示各个季度总人数和招聘人数的关系。

最后两个非负约束条件表示人数的非负，以符合实际条件。

5.2有解雇招聘模型的建立

若公司在每季度结束后允许解雇保姆，同样的作如下线性规划：

????????

?????????≥≥≥-+=-+=-+=+=≥≥-≥-≥-0,,,0,,,;0,,,85.085.085.012090005-65550056575005656000565432143214

3213434232312121144332211S S S S y y y y x x x x y x S S y x S S y x S S x S x S x S x S x S 第四到第八约束条件表示个季度总人数、招聘人数和解雇人数的关系。显然，

5.1模型是5.2模型的特例。

六．模型求解

根据该公司是否允许解雇保姆，建立以上模型后，分别进行求解。

6.1无解雇招聘模型求解

对于模型一，运用Lingo 软件包求解(详见附录一)，得出以下结果：

.

59,0,15,0143,99,117,12043214321========x x x x S S S S 结果表明，若不允许解雇，下一年招聘计划为：

春季不招聘，夏季招15人，秋季不招人，冬季招59人。

因此，春季和秋季需求增加不影响招聘计划。

春季可增加需求量为1800600056511=--x S 人日；

夏季可增加需求量为30750056522=--x S 人日；

秋季可增加需求量为935550056533=--x S 人日；

冬季可增加需求量为0900056544=--x S 人日。

6.2有解雇招聘模型求解

对于模型二，运用Lingo 软件包求解，得出以下结果：

144,85,117,1204321====S S S S

72,0,15,04321====x x x x

0,15,0321===y y y

结果表明，若允许解雇，下一年招聘计划为：

春季不招聘，夏季招15人，秋季不招人，冬季招72人。

七．结果分析与灵敏度检验

7.1结果分析

由模型的建立和求解可知，为使公司运营成本最低，需在满足市场需求的前提下，通过招聘和解雇使人数最接近需求量，使总人数最少，从而闲置人员最少，则公司成本最低。

7.2灵敏度分析

利用LINGO 软件可以得出关于最优解的灵敏度分析（见附录二），从中可以看出：

对于问题一，当题中所给春夏秋冬所需人日分别在

()18006000,6000+∞-()7800,0=

()()12009,663045097500,8707500=+-

()()6437,09375500,5500=+∞-

()()∞=∞+-,54719000,35299000

范围内变化时，最优解保持稳定。

从而春夏秋冬四季需求在一定范围内的增加均不会影响招聘计划，春季可以增加1800人日，夏季可以增加4509人日，秋季可以增加937人日，而冬季对于需求的增加没有限制。

对于问题二，当题中所给春夏秋冬所需人日分别在

()18006000,6000+∞-()7800,0=

()()∞=∞+-,66307500,8707500

()()6437,09375500,55005500=+-

()()∞=∞+-,46749000,43269000

范围内变化时，最优解保持稳定。

从而在不影响招聘计划的前提下，春季可增加1800人日，秋季可增加937人日，夏季和冬季对于需求的增加没有限制。

八.模型推广

该题中，假设员工再进公司后工资由公司筹付，且无论工作或闲置、新员工还是老员工，每月都会拿到相同的工资，这显然不符合实际。故假设该公司对员

目标函数记为： ∑∑∑===++=41

4141800400600i i i i i i z x w p

参考文献

[1]马莉，MATLAB 数学实验与建模[M]，北京：清华大学出版社，2010.

[2]王连堂，数学建模[M]，西安：陕西师范大学出版社，2008.

[3]林道荣，秦志林，周伟光，数学实验与建模[M], 北京：科学出版社，2011.

[4]谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件[M]，北京：清华大学出版社，2005.

附录一：

程序一：

model:

min=s1+s2+s3+s4;

65*s1-5*x1>6000;

65*s2-5*x2>7500;

65*s3-5*x3>5500;

65*s4-5*x4>9000;

s1-120-x1=0;

s2-0.85*s1-x2=0;

s3-0.85*s2-x3=0;

s4-0.85*s3-x4=0;

end

运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 478.5107

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

S1 120.0000 0.000000

S2 116.5000 0.000000

S3 99.02500 0.000000

S4 142.9857 0.000000

X1 0.000000 0.8732231

X2 14.50000 0.000000

X3 0.000000 0.9291667

X4 58.81448 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 478.5107 -1.000000

2 1800.000 0.000000

3 0.000000 -0.2982986E-01

4 936.6250 0.000000

5 0.000000 -0.1666667E-01

6 0.000000 -0.8732231

7 0.000000 0.1491493

8 0.000000 -0.9291667

9 0.000000 0.8333333E-01 灵敏度分析：

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S1 1.000000 INFINITY 0.8732231 S2 1.000000 12.32786 1.789792 S3 1.000000 14.50336 0.9291667 S4 1.000000 13.11765 1.000000 X1 0.0 INFINITY 0.8732231

X2 0.0 0.9482966 1.789792

X3 0.0 INFINITY 0.9291667

X4 0.0 1.009050 1.000000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

2 6000.000 1800.000 INFINITY

3 7500.000 4508.536 870.0000

4 5500.000 936.6250 INFINITY

5 9000.000 INFINITY 3528.869

6 120.0000 15.74661 27.69231

7 0.0 13.38462 901.7072

8 0.0 63.87093 14.40962

9 0.0 54.29029 INFINITY

程序二：

model:

min=s1+s2+s3+s4;

65*s1-5*x1>6000;

65*s2-5*x2>7500;

65*s3-5*x3>5500;

65*s4-5*x4>9000;

s1-120-x1=0;

s2-0.85*s1-x2+y1=0;

s3-0.85*s2-x3+y2=0;

s4-0.85*s3-x4+y3=0;

end

运行结果二：

Global optimal solution found.

Objective value: 465.1218

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

S1 120.0000 0.000000

S2 116.5000 0.000000

S3 84.61538 0.000000

S4 144.0064 0.000000

X1 0.000000 0.9291667

X2 14.50000 0.000000

X3 0.000000 0.7147436E-01

X4 72.08333 0.000000

Y1 0.000000 0.8333333E-01

Y2 14.40962 0.000000

Y3 0.000000 0.8333333E-01

Row Slack or Surplus Dual Price

1 465.1218 -1.000000

2 1800.000 0.000000

3 0.000000 -0.1666667E-01

4 0.000000 -0.1429487E-01

5 0.000000 -0.1666667E-01

6 0.000000 -0.9291667

7 0.000000 0.8333333E-01

8 0.000000 0.000000

9 0.000000 0.8333333E-01

附录二

灵敏度分析：

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S1 1.000000 INFINITY 0.9291667 S2 1.000000 13.11765 1.000000 S3 1.000000 INFINITY 0.9291667 S4 1.000000 13.11765 1.000000 X1 0.0 INFINITY 0.9291667

X2 0.0 1.009050 0.7692308E-01 X3 0.0 INFINITY 0.7147436E-01 X4 0.0 1.009050 0.7692308E-01 Y1 0.0 INFINITY 0.8333333E-01 Y2 0.0 0.9291667 0.7743056E-01 Y3 0.0 INFINITY 0.8333333E-01

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 6000.000 1800.000 INFINITY

3 7500.000 INFINITY 870.0000

4 5500.000 936.6250 5500.000

5 9000.000 INFINITY 4325.000

6 120.0000 15.74661 27.69231

7 0.0 13.38462 INFINITY

8 0.0 INFINITY 14.40962

9 0.0 66.53846 INFINITY