宝山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

宝山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知命题p ：存在x 0＞0，使

2＜1，则￢p 是（ ）

A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1

B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1

C ．存在x 0＞0，使

2≥1 D ．存在x 0≤0，使

2

＜1

2． 已知a n

=（n ∈N *

），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

A ．a 1，a 30

B ．a 1，a 9

C ．a 10，a 9

D ．a 10，a 30

3． 已知函数21

1,[0,)22

()13,[,1]

2

x x f x x x ?+∈??=??∈??，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x

（12x x <），那么12()x f x ?的取值范围为（ ）

A ．3[,1)4 B

．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)8

4． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） A

．

B

．

C

．

D

．

5． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

6． 下列关系式中，正确的是（ ） A ．?∈{0} B ．0?{0}

C ．0∈{0}

D ．?={0}

7． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]

A ．2对

B ．3对

C ．4对

D ．6对

8． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ．

9． 设P 是椭圆+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）

A ．22

B ．21

C ．20

D ．13

10．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）

A ．﹣3

B ．3

C ．

D ．±3

11．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）

C ．

D ．

12．若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．

14．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12

n n n S λ-+<+｜对一切n N *

∈恒成立，则λ的取值范围是___________．

【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．

15．函数f （x ）=log （x 2

﹣2x ﹣3）的单调递增区间为 ．

16．在△ABC 中，

，，，则_____．

17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．

18．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；

②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

三、解答题

19．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含f （n ）个小正方形．

（Ⅰ）求出f （5）；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f （n+1）与f （n ）的关系式，并根据你得到的关系式求f （n ）的表达式．

20．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()3

23

131,02

f x x a x ax a =+

--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；

（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]

0,x p ∈时，有()11f x -≤≤； （3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．

21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥

PD ，Q 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；

（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD

CE ；

（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长

23．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()

2x

f x x ax a e =++，其中a R ∈，e 是

自然对数的底数.

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调减区间；

（3）若()4f x ≤在[]

4,0-恒成立，求a 的取值范围.

24．已知椭圆E ：

=1（a ＞b ＞0）的焦距为2

，且该椭圆经过点

．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线

MN 与y 轴垂直时，求k 1k 2的值．

宝山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，

∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x

≥1．

故选：A

2． 【答案】C

【解析】解：a

n ==1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

图象如图， ∵9＜

＜10．

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9．

故选：C ． 【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，

是基础题．

3． 【答案】C 【解析】

试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则

314t <<，由1324x +=，可得1

4x =，

由2

13x =，可得x =12111,422x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则

()212123133,162x f x x x ??

=?∈????

.故本题答案选C.

考点：数形结合．

【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

4．【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，

设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，

所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：

故选C

5．【答案】C

【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，

由题设原不等式有唯一整数解，

即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，

g′（x）=（x+1）e x，

g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），

结合函数图象得K PA≤m＜K PB，

即≤m＜，

，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

6．【答案】C

【解析】解：对于A??{0}，用“∈”不对，

对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；

对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．

7．【答案】B

【解析】

中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选试题分析：三棱锥P ABC

B．

考点：异面直线的判定．

8．【答案】D

【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得

=

当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，

当时，y′＞0，函数在上为单调增函数

所以当时，所设函数的最小值为

所求t的值为

故选D

【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．

9．【答案】A

【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，

∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．

10．【答案】B

【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，

可得，（m＞0）

解得m=3．

故选：B．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．

11．【答案】C

【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，

即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立

若m+1=0，显然不成立

若m+1≠0，则

解得a．

故选C．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．

12．【答案】A

【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，

则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；

而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，

显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．

由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．

故选：A．

二、填空题

13．【答案】．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z==32x+y，

设t=2x+y，

则y=﹣2x+t，

平移直线y=﹣2x+t，

由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，

此时t最小．

由，解得，即B（﹣3，3），

代入t=2x+y 得t=2×（﹣3）+3=﹣3．

∴t 最小为﹣3，z 有最小值为z==3﹣3=

．

故答案为：

．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

14．【答案】31λ-<<

【解析】由221111

1123(1)22

22n n n S n n

--=+?

+?++-?

+，2

111

12222n

S =?+?+…111(1)22n n n n -+-?+?，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-?=-，所以12

42

n n n S -+=-，

于是由不等式12

|1

42

n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<． 15．【答案】 （﹣∞，﹣1） ．

【解析】解：函数的定义域为{x|x ＞3或x ＜﹣1}

令t=x 2

﹣2x ﹣3，则y=

因为y=在（0，+∞）单调递减

t=x 2﹣2x ﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）

故答案为：（﹣∞，﹣1）

16．【答案】2

【解析】【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式

【试题解析】因为所以

又因为解得：

再由余弦定理得：

故答案为：2

17．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．

【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，

∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，

S n==2﹣（）n﹣1，

对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，

∴x2+tx+1≥2，

x2+tx﹣1≥0，

令f（t）=tx+x2﹣1，

∴，

解得：x≥或x≤，

∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．

18．【答案】①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；

对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，

1，

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0

还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是

不动点，故③④错误；

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0

即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；

假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；

故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．

故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，

∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4

∴f（5）=25+4×4=41．…

（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…

∴f（2）﹣f（1）=4×1，

f（3）﹣f（2）=4×2，

f（4）﹣f（3）=4×3，

…

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4?（n﹣2），

f（n）﹣f（n﹣1）=4?（n﹣1）…

∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）?n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1．…

20．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a ，存在正数p ，使得当[]

0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；

（3）()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数()()3

23

131,02

f x x a x ax a =+

--+>进行求导，再对导函数的值的 符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值

()01,f =()3213122f a a a =--+=

()()2

11212

a a -+-，进而分()1f a ≥-和()1f a <-两种情形进行 分析讨论，推断出存在()0,p a ∈使得()10f p +=，从而证得当[]

0,x p ∈时，有()11f x -≤≤成立；（3） 借助（2）的结论()f x ：在[

)0,+∞上有最小值为()f a ，然后分011a a ≤，两种情形探求()g a 的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于()()2

3313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-，且0a >，

故()f x 在[]0,a 上单调递减，在[

),a +∞上单调递增．

（3）由（2）知()f x 在[

)0,+∞上的最小值为()f a ．

当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根，

即()2

23160p a p a +--=满足p a >的实根，

所以()()314

a g a -=

．

又()g a 在(]

0,1上单调递增，故()()max 1g a g ==

当1a >时，()1f a <-，由于()()()9

01,11112

f f a ==--<-，

故][0,0,1p ?????．此时，()1g a ≤．

综上所述，()g a

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接QN ，BN ． ∵Q ，N 是PD ，PA 的中点，

∴QN ∥AD ，且QN=AD ． ∵PA=2，PD=2，PA ⊥PD ，

∴AD=4，

∴BC=AD ．又BC ∥AD ， ∴QN ∥BC ，且QN=BC ， ∴四边形BCQN 为平行四边形，

∴BN ∥CQ ．又BN ?平面PAB ，且CQ ?平面PAB ， ∴CQ ∥平面PAB ．

（Ⅱ）解：取AD 的中点M ，连接BM ；取BM 的中点O ，连接BO 、PO ． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM 为等边三角形， ∴PO ⊥AM ．同理：BO ⊥AM ．

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ?平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．

以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，

则D （0，3，0），A （0，﹣1，0），P （0，0，），C （，2，0），Q （0，，）．

∴

=（

，3，0），

=（0，3，﹣

），

=（0，，

）．

设平面AQC 的法向量为=（x ，y ，z ），

∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．

∴cos ＜

，＞=

=﹣

．

∴直线PD 与平面AQC 所成角正弦值为

．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

∴

DE DC BC BA =BC AB

=，则2

4BC AB DE =?=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ?中，1

2

BC AB =，∴30BAC ∠=?，∴60BAD ∠=?，

∴在Rt ABD ?中，30ABD ∠=?，所以1

22

AD AB ==．

23．【答案】（1）210x y -+=（2）当2a =时，()f x 无单调减区间；当2a <时，()f x 的单调减区间

是()2,a --；当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.（3）2

44,4e ??-??

【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分

类分析探求；（3）先不等式()4f x ≤进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为()()()()2

'222x

x

f x x a x a e x a x e ??=+++=++??，

当2a =时，()()2

'20x

f x x e =+≥，所以()f x 无单调减区间.

当2a ->-即2a <时，列表如下：

所以()f x 的单调减区间是()2,a --.

当2a -<-即2a >时，()()()'2x

f x x x a e =++，列表如下：

所以()f x 的单调减区间是(),2a --.

综上，当2a =时，()f x 无单调减区间；

当2a <时，()f x 的单调减区间是()2,a --； 当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.

（3）()()()()2'222x x

f x x a x a e x a x e ??=+++=++??

. 当2a =时，由（2）可得，()f x 为R 上单调增函数，

所以()f x 在区间[]

4,0-上的最大值()024f =≤，符合题意. 当2a <时，由（2）可得，要使()4f x ≤在区间[]

4,0-上恒成立，

只需()04f a =≤，()()2

244f a e

--=-≤，解得2442e a -≤<.

当24a <≤时，可得()4a a

f a e

-=

≤，()04f a =≤. 设()a a g a e =，则()1'a a

g a e

-=，列表如下：

所以()()max

114g a g e ??==

，可得4a a

e

≤恒成立，所以24a <≤. 当4a >时，可得()04f a =≤，无解.

综上，a 的取值范围是2

44,4e ??-??.

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2

，

=1；

解得，a 2=4，b 2

=1；

故椭圆E 的方程为

+y 2=1；

（Ⅱ）由题意知，当k 1=0时，M 点的纵坐标为0，

直线MN 与y 轴垂直， 则点N 的纵坐标为0， 故k 2=k 1=0，这与k 2≠k 1矛盾． 当k 1≠0时，直线PM ：y=k 1（x+2）；

由

得，

（+4）y 2﹣=0；

解得，y M =

；

∴M （，），

同理N（，），

由直线MN与y轴垂直，则=；

∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，

∴k2k1=．

【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．