高中数学必修一高频考点、常考题型及易错题型

高中数学必修一（理科）高频考点、常考题型及易错题型

专题1 集合

【高考命题趋势、难易度及分值分布】

主要以考查集合相关概念和计算为主，侧重考查两个集合的交、并、补运算；一般为选择题和填空题，占5分，难度较低。【必会高频考点】

一、元素的3大特性（互异性）、元素与集合的2种关系、集合与集合的3种关系、集合与集合的3种运算二、6大经典结论（一）子集个数

若集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n

个子集，21n

-个真子集，21n

-个非空子集，22n

-非空真子集. （二）6个等价关系（注意不要忽略A 为空集的情况）

A ∩

B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ??U A ??U B ?A ∩(?U B)＝???U (AUB)=R （三）5个与空集有关的结论

1.B A ?包含分A=?和A ≠?两种情况，A ≠?又分A=B 和A ≠?

B 两种情况.当题目中出现A ?B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，

在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A=?和A ≠?两种情况进行讨论.

2.A ??，A

≠??（A ≠?）

3.若A ∩B ＝?，则A 或B 可能是?或A 与B 均不为?但无公共元素；若A ∪B ＝A ，则B 可能是?.

4.? 与{?}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集. ?∈{?}、??{?}均正确.

φ只有一个子集，就是它本身.

5.5种空集的情况

A={x |ax+b=0}=??a=0,b ≠0 A={x |ax 2

+bx+c=0,a ≠0}=??b 2-4ac<0 A={x |m

A={x |ax+b>0}=??a=0,b ≤0 A={x |ax 2

+bx+c>0,a ≠0}=??a<0,b 2-4ac ≤0

（四）如何读懂集合？先分区是数集，还是点集。

（五）容斥原理（集合交并运算后，元素个数关系）

()()

card A B cardA cardB card A B =+-

()()

card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+

（六）德摩根定理

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )

用集合A 、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B ；A ∩(?U B)；B ∩(?U A)；?U (A ∪B)或(?U B)∩(?U A)．【必会一般考点】

一、5类数集表示方法（N *或N+表示正整数集）二、5种集合的表示方法

1.自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

3.描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.

4.区间法:（a ，b ）、[a ，b]、（a ，b]、[a ，b ）、（a,+∞）、（-∞，b ）

对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． 5.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 【规律方法技巧】

一、解决集合问题的5大法宝：数轴、韦恩图、坐标系（平几）、解方程、列举法 1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解 2.点集的运算常利用数形结合（坐标系）的思想或联立方程组进行求解 3.连续型数集的运算，常借助数轴求解

4. 如不易比较集合中元素与元素关系时，可采取列举法，观察前几项关系二、学好集合问题须做到“五看”

一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合.二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单. 四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图. 五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用. 【易错题型及创新题型】

如何破解集合的五类易错题型和一类创新题型？

1.大意：似曾相识的题目。计算失误：与指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数和分段函数相结合的题型。找不到解题切入点或不能等价转换：创新题。

2.由入门级的一次方程/不等式、二次方程/不等式逐步深入到指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式、三角不等式、复数等转变。

易错点1 含参集合忽视元素的互异性

【问题1】: 已知1∈{2a +,2(1)a +,2

33a a ++}，求实数a 的值。

【练1】:已知集合A ＝{1，3，2a －1}，B ＝{3，a 2

}，若B ?A ，求实数a 的值。

【练2】:已知集合{}

2342M a a =++，，，{}

07422N a a a =+--，，，，且{}37M N = ，，求实数a 的值．

易错点2 忽视空集

【问题1】: 已知2{|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。

【练1】:设A ＝{x|x 2

＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2

＋2(a ＋1)x ＋a 2

－1＝0}，①若B ?A ，求a 的值；②若A ?B ，求a 的值．【练2】:已知集合A ＝{x |x 2

－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1

【练3】:已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p －6≤x ≤2p －1}，且A ∩B ＝A ，则实数p 的取值范围为________．【练4】:设

{}

2|8150A x x x =-+=，

{}

|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集个数？8个.

易错点3 对集合表示方法理解存在偏差（不能确定集合由哪些元素组成）【问题1】:已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B 。

【问题2】:已知22

{|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B 。【练1】:A={(x ，y)|y=x+1},B={y|y=x 2

+1},则A ∩B=( ) 【练2】:A={y|y=x 2

+1}，B={y|y=x-1},则A ∩B=( )

【练3】:已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x －1}，那么M ∩N 为( ) 易错点4 参数可否取“=”问题（遗漏端点）

【规律总结】1.处理技巧.2.精益求精、规范答题.3.实心的点与空心的圆圈的应用.

【问题1】:已知集合A=｛x ︳0＜2x ≤3+a ｝，B=｛x ︳-0.5＜x ＜2｝，若A ?B,求a 的取值范围. 【练1】:已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a

{}

2|8150A x x x =-+=，

{}

|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有________个.

【练1】:若集合A ＝{x ∈R|ax 2

＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4

创新题型与集合相关的创新性题型，即新概念、新定义、新性质题型

1. 对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)|M a b a =※16}b =中的元素个数是（） A.18个 B.17个 C.16个 D.15个

【解析】因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，

116=16?，集合M 中的元素是有序数对（a,b ），所以集合M 中的元素共有82+1=17?个，故选B.

2. 【2016年广东揭阳一模】非空数集A 如果满足：①0A ?；②若对,x A ?∈有1

A x

∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<； ③ln 1

{|,[,1)(1,]}x y y x e x e

∈?； ④22,[0,1)5

1.[1,2]x x x x x y y +∈+∈???

??????=??????

??????

.其中“互倒集”的个数是（）A ．4 B ．3 C ．2 D ．

【经典题型】

1. 【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，则a b += .

【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，由P Q R = ，(2,3]P Q = ，

所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得：1335a b a b -=-+=-∴+=-，．

2. 【2016年榆林二模】已知集合{

}|11,|A x x B x y ??=+<==??? ，则R A C B =

3. 【2015届湖北省七市高三4月联考】集合{|2sin cos }M x x θθθ==∈R ，

，{|124)x N x =≤≤，则M N = （） A ．1

[2]2

-， B ．[11]-， C ．1[1]2-， D ．[0，1] 【答案】D

4. 【2015届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟】已知集合(){}2log 12M x x =-<，{}

6N x a x =<<,且

()2,M N b = ,则a b +=（）A ．4 B ．5 C ．6 D ．

5. 【2015届浙江省高三第二次考试五校联考】{}

N m m x x x A n n n ∈=<<=+,3,22|1，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A = ，则12310...A A A A ++++= ．【解析】当5=n 时，65232<

332<<∴

m ，即2111≤≤m ，115=∴A ，由于n

2不能整除3，从1

2到11

2，3

6823211=，3的倍数，共有682个，6821021=+++∴A A A . 6. 设集合(){}2

2,|16,,A x y x

y x y =+=∈∈Z Z ，则集合A 的子集个数为（）

A. 8

B. 32

C. 16

D. 15

【解析】(){}()()()(){}2

2,|16,,4,0,4,0,0,4,0,4A x y x y x y =

+=∈∈=--Z Z ，共有4个元素，故集合A 的子集个数

为4216=，故答案为C.

如何学好高中函数知识？

1.一算（4种不等式解法）、一图（8种图象画法、4大变换技巧）、一解、两域、一定、一最、四性、一渐；

2.一参、一恒、一存、一恰

每新学一个函数，均要研究上述内容

高中阶段部分常见不等式的解法？

1.一元二次不等式的解法

20(0)ax bx c a ++>>的解为“大两边、小中间”，即“x>x 大或x

(2)一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的区别与联系？ (3)十字交叉相乘法的技巧？ 2.分式不等式的解法

（1）()()()()00>??>x g x f x g x f ；（2）()()()()00

（3）()()()()()???≠≥??≥000x g x g x f x g x f ；（4）()()()()()??

?≠≤??≤000x g x g x f x g x f .

3.绝对值不等式的解法

4.指数不等式与对数不等式解法

(1)当1a >时,()

()()()f x g x a

a f x g x >?>；

()0

log ()log ()()0

()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

(2)当01a <<时,()

()()()f x g x a a f x g x >?<；

()0log ()log ()()0

()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

高一上学期8种常见函数的图像及其性质？

＞a

[)∞+，0

[)

一、指数、对数、幂函数图象规律

1.指数函数，在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．

2.对数函数，在第一象限内，a 越大图象越低；在第四象限内，a 越大图象越高．

3.幂函数

（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．

（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q

α=

（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）

，若p 为奇数q 为奇数时，则q

y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q

y x =是非奇非偶函数．

（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

为奇数为奇数为偶数

二、拓展对勾函数（作图）

陌生函数，利用描点法作图：化简函数解析式；确定函数的定义域；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、值域）；确定特殊点；画出函数的图象．如何画出f(x)=x-2/x 图象

三、图象平移、对称、翻折、伸缩4大变化技巧（注意过定点与渐近线）

1.y=|f(x)| 、y=f(|x|)、 |y|=f(x)三大图象画法（上不动、下翻上；左去掉、右不动、右翻左；上不动、上翻下）

若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．

延伸探究1 若y ＝|2x －1|，与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围________ 延伸探究2 若y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是什么？

延伸探究3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是什么？ 2.形似神异的图象变换规律

y=log a x →y=| log a (x-m)|+n, m>0,n>0 下翻上、右移m 、上移n

y=log a x →y= log a |x-m |+n, m>0,n>0 左去掉、右翻左、右移m 、上移n y=log a x →y= log a(|x-m |+n), m>0,n>0 左移n 、左去掉、右翻左、右移m y=log a x →y= |log a |x-m ||, m>0,n>0 下翻上、左去掉、右翻左、右移m 3.与指数函数相关的函数图象

y=a x 与y=a -x y= log a |x | y=a x + a -x y=a x - =a -x

如何得到y=2-|x-1 |图象？选择合理变换顺序。y=0.5x ；y=0.5|x | ；y=0.5|x -1| 4. 与对数函数相关的函数图象

y=| log a x | y=log a |x | | y=log a |x ||

5.图象平移变化易错点

若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

四、秒杀复杂函数图像的4大技巧（识图）

特殊点函数值、定义域与值域、单调性、奇偶性 1.[2016·杭州模拟]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )

A ．f (x )＝x 2－2ln |x |

B ．f (x )＝x 2－ln |x |

C ．f (x )＝|x |－2ln |x |

D ．f (x )＝|x |－ln |x |

2.【2016年揭阳市高中毕业班二模】函数log ||

()||

a x x f x x =

（01a <<）图象的大致形状是

3.[2016·济南模拟]函数f (x )＝2x －x 2的图象为( )

4.[2016·杭州模拟]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )

A ．f (x )＝x 2

－2ln |x | B ．f (x )＝x 2

－ln |x | C ．f (x )＝|x |－2ln |x | D ．f (x )＝|x |－ln |x |

五、用图

1.【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()2f x x x =-+．若不等式

()2log a f x x x -≤（0a >且1a ≠）对任意的x ?∈ ??

恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．10,4?? ??? B ．1,14?????? C ．10,2?? ??? D ．()11,1,42??

+∞????

2.【河北省衡水中学2016届高三一调】已知()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，

()21

f x x x =-+

.若函数()y f x a =-在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3.[2016·青岛模拟]已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．1个

4.当0＜x ≤1

2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.? ????

0，22 B.? ??

??22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)

延伸探究1

若本例变为：若不等式x 2－log a x ＜0对x ∈? ?

??0，12恒成立，求实数a 的取值范围．

延伸探究2

若本例变为：当0＜x <1

4时，x ＜log a x ，求实数a 的取值范围．

5. 【2016届安徽省江南十校高三二模】已知定义在R 上的奇函数)(x f y =，对于R x ∈?都有

)1()1(x f x f -=+，当01<≤-x 时，)(log )(2x x f -=，则函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和为

（）A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

专题2 函数的概念及其表示

【高考命题趋势、难易度及分值分布】

主要考查以下三种形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体，考察函数、方程、不等式等知识. 在选择题、填空题中出现，一般是一个具体的函数，难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．【考点1】函数的概念与映射的概念 1.映射与函数的区别与联系

区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义中两个集合为“非空数集”.即映

射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.

联系：均为一对一或一对多，不可多对一.函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广. 2.有关经典结论

（1）函数图像是特点是什么？判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可.须会从图形和代数式两种判断方法.

（2）原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域=集合A, 函数值域?集合B.

（3）从集合{}n a a a a A ,,,,321???=到集合{}m b b b b B ,,,,321???=的映射有n m 个.

（4）第一个集合中的元素必须有象.

（5）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备).实际解题时，定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数.

1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x 2(N)y x x ∈＝的图象是一

条直线；④2

()x f x x

=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2. 设集合B A ,是两个集合，①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,；②{}{}

x y x f R y y B x x A ±=→∈=>=:,,0；③{}{}

23:,41,21-=→≤≤=≤≤=x y x f y y B x x A .则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数是（）【解析】对于①，{}

0,>==y y B R A ，由对应法则x y x f =→:，A 中的元素0在B 中没有对应的象．∴

【考点2】函数的表示

如何求函数解析式？

一、解析式表示方法：解析法、列表法、图像法二、求解析式常用方法

1.代入法：如已知2

()1,f x x =-求2

()f x x +时，有222

()()1f x x x x +=+-.

2. 换元法或配凑法: 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意标注新元取值范围. 当已知表达式较简单时，也可用凑配法.

3. 待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.

4.方程组法/消元/参法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的x ，得到关于

[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x). 若()f x 与

()f x

或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．（x 与-x 、x 与1/x ） 5.图形法：已知函数尤其是分段函数图像求解析式

6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式. 三、易错点：若自变量不是R ，定要标注自变量范围，否则极易出错．

四、用好解析式（通过解析式，分析出函数的单调性和奇偶性，再利用此性质解题）【考点3】分段函数及其应用

1. 【2016年河北石家庄高三二模】已知???>+-≤=+,

0,1)1(,0,8)(1x x f x x f x 则)34

(f 的值为 .

2. 【2016年江西九江市高三三模】已知函数))((+∈N n n f 满足??

<+≥-=100)],5([100

,3)(n n f f n n n f ，求)1(f 的值

学好分段函数仅需把握11类常见题型

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.

一、分段函数的五种类型

1.取整函数 f(x)=[x], [x]是不超过X 的最大整数

2.符号函数 f(x)=(-1)x, X 分奇偶数

3.绝对值函数

4.自定义函数

5.点列函数二、具体题型

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数

1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x

x x +∈-??=-∈??∈+∞?

的定义域、值域. 值域为（-1，2]U ｛3｝.

2．求分段函数的函数值

例1.已知函数2|1|2,(||1)()1

,(||1)1x x f x x x --≤??=?>?+?求

1[()]f f .

例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.

分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0, f(a)=2a，又0<2a

<1, ,

，所以，.

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

练1.设

,0.

()

,0.

e x

g x

lnx x

?≤

?则

(())

g g=

__________

练2.设

2(2),

()

(1)(2).

log

x x

f x

-≥

则

[(2)]

f f=__________

3．求分段函数的最值

例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.

解：当x

所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. 若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a 时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当

时，函数f(x)的最小值是a 2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.

4．求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（A ）

222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?222(10).()2(02)x

x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤?226(12)

.()3(24)x

x x D f x x -≤≤?=?-<≤?

例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1

的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l 表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l 可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为

（0≤t≤300）。

(II)设t 时间的纯收益为h(t)，由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。 5．作分段函数的图像

例1.函数

|ln |

|1|x y e x =--的图像大致是（） A

例2.已知函数f(x)=|x 2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值. a=4. 6．求分段函数的反函数

例1.求函数的反函数.

解：∵ f(x)在R 上是单调减函数， ∴ f(x)在R 上有反函数. ∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是

(x≥1), y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1),

∴ 函数f(x)的反函数是

注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.

例2.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,

()31x

f x =-, 设()f x 得反函数为()y

g x =, 求()g x 的表达式.

解析：设0x <, 则0x ->, 所以()31x

f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x

f x -=-, 因此

31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -?->?==??-

log (1)(0)

x x g x x x x +>??==??--

例3.已知=)(x f ??? －log3(x + 1)(x>6)

3x －6(x ≤6)

，若记)(1

x f

-为)(x f 的反函数，且

-=f

a 则=+)4(a f __________.

7．判断分段函数的奇偶性（用定义法时，观看原来的段）

例1.判断函数

(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+

例1.判断函数32

(0)()(0)x x x f x x x ?+≥?=?-

解一：

分析：由于x ∈R ，所以对于设x1>x2必须分成三类：

1.当x 1>x 2>0时，则f(x 1)-f(x 2

)==(x 1-x 2)(x 1+x 2)>0；

2.当0>x 1>x 2时，则；

3.当x 1>0>x 2时，则

综上所述：x ∈R ，且x 1>x 2时，有f(x 1)-f(x 2)>0。所以函数f(x)是增函数.

注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.

例2.写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间. 9．解分段函数的方程

例1.设函数

812(,1]()log (1,)x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =

的x 的值为__________ 解析：若

-=, 则2

--=, 得2(,1]x =?-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814

log x =, 则14

81x =, 解得

3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.

练1：函数f(x)=????

?>≤-)

1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足

A.a<0

B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1

练2：设定义为R 的函数lg 1,1,

()0,0.x x f x x ?-≠?=?

=??则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A. 0b <且0c >

B. 0b >且0c <

C. 0b <且0c =

D. 0b ≥且0c =

练3：设函数

()f x 在R 上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，且在闭区间[0,7]上，只有

(1)(3)0f f ==.

（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程

()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.

10．解分段函数的不等式

例1：设函数1

221(0)

()(0)x x f x x x -?-≤?=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（） .(1,1)A - .(1,)B -+∞.(,2)(0,C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞

解一：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知

0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞.

解二：因为

0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时, 1

01x >, 解得01x >, 综上0x 的

取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞. 故选D.

例2

：设函数

(1)(1)()4(1)x x f x x ?+

≥??, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A A ．(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-?

练1：已知

1(0)()1(0)x f x x ≥?=?

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________ 练2：设f(x)= 1

232,2,log (1),2,x e x x x -?

-≥?? 则不等式f(x)>2的解集为________

(A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2）

练3：设f (x)=1()0x x ??

?为有理数(为无理数)

，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（）

A ．g (x)=sinx

B ．g (x)=x

C ．g (x)=x2

D ．g (x)=|x|

11．分段函数零点问题略

点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.

【考点4】定义域和值域

如何求函数定义域？

解决所有函数问题，要树立定义域优先思想，即若函数定义域不为R ，优先求出定义域。一、具体函数定义域求法一般遵循以下原则：

1.()f x 是整式时，定义域是全体实数．

2.()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

3.()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

4.对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

5.零（负）指数幂的底数不能为零．

6.若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

7.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

8.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．当一个函数的解析式是上述多种情况综合，求各自定义域，再求交集.

二、抽象函数或复合函数定义域求法

a.若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x) ≤b 解出.

b. 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域.

1.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域. )

,21(]31,(+∞--∞ 2.已知f x ()的定义域为(0)，1，则

y f x a f x a a =++-≤()()(||)

2的定义域是______. 当-

≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1(2)当01

2<≤

a 时，则x a a ∈-()，1 三、与函数定义域相关的变形题

已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

1.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0

如何求函数值域/最值？

一、值域与最值的区别二、值域/最值常用求法 1.观察法/定性分析法/图象法

2.利用常见函数值域法：熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及幂函数的值域，是求解复杂函数值域的基础.

3.配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

4.换元法：形如y ax b =+

5.分离常数法：形如y=ax b

cx d

++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数

6.分子有理化

7.判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程

()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值．由判别式法来判断

函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.

ks5uks5uks5u]

8. 函数单调性法(复合法/导函数法)

指数型复合函数和对数型复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性

转换法：Y=m （log a x ）2+n log a x +q Y=m （a x ）2+n a x +q 分解法：Y=mlog a f （x ） Y=m a f （x ）奇偶性：也可用特值法（注意易错点） 9.不等式法

10.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． 11.利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等） 12.利用函数有界性（三角函数、x

a 等）.

13.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域三、与函数值域相关的变形题

1.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥?.对于0=a 的

情形,需要单独检验.

如函数()()()22

lg 32215f x m m x m x ??=-++-+??

（1）如果函数

()

f x 的定义域为R 求实数m 的取值范围。（2）

如果函数

()

f x 的值域为R 求实数m 的取值范围。

【易错点分析】此题学生易忽视对2

32m m -+是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中

定义域为R 和值域为R 的含义理解不透彻导致错解。

解析：（1）据题意知若函数的定义域为R 即对任意的x

值

()()2

232215m

m x m x -++-+0

>恒成立，令

()()()2232215

g x m m x m x =-++-+，当232m m -+=0时，即1m =或2。经验证当1m =时适合，当2320

m m -+≠时，据二次函数知识若对任意x 值函数值大于零恒成立，只需23200m m ?-+>??

94m >综上所知m 的取值范围为1m ≤或

4m >

。

（2）如果函数

()

f x 的值域为R

即对数的真数

()()2

232215

m x m x -++-+能取到任意的正数，令

()()()2232215

g x m m x m x =-++-+当232m m -+=0时，即1m =或2。经验证当2m =时适合，当2

320

m m -+≠时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需23200m m ?-+>??≥?解之得

924m <≤综上可知满足题意的m 的取值范围是

24m ≤≤

。