第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角

第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角

一、选择题

1.(2016·长沙模拟)在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,AC 与B 1D 所成的角的大小为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角

解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A (0,0,0),C (1,1,0),B 1(1,0,1),D (0,1,0). ∴AC →=(1,1,0),B 1D →=(-1,1,-1),

∵AC →·B 1D →=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,

∴AC →⊥B 1D →,

∴AC 与B 1D 所成的角为π2.

答案 D

2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.32 B.33 C.35 D.25

第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角

解析 设正方体的棱长为1,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B (1,1,0),B 1(1,1,1),A (1,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),

所以BB 1→=(0,0,1),AC →=(-1,1,0),AD 1

→=(-1,0,1). 令平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·AC →=-x +y =0,n ·AD 1

→=-x +z =0,令x =1,可得n =(1,1,1),

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