2016年3月2016届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(正式考试版)

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【学科网学易大联考】2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】

理科数学试卷

考试时间:120分钟;满分150分

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合{

}

2

60,A x x x x =--<∈R ,{}

||3,B y y x x A ==-∈,则A B 等于( ) A .{

}

03x x << B .{}10x x -<<

C .{}20x x -<<

D .{}

33x x -<< 2.命题p :0x ?∈R ,不等式0

0cos 10x x e +-<成立,则p 的否定为( )

A .0x ?∈R ,不等式0

0cos 10x x e +-≥成立 B .x ?∈R ,不等式cos 10x

x e +-<成立 C .x ?∈R ,不等式cos 10x

x e +-≥成立 D .x ?∈R ,不等式cos 10x

x e +->成立 3.在复平面内复数)0z b >,则复数z bi -在复平面上对应的点在( )

A

.第一象限 B .第二象限 C .第三象限

D .第四象限

4.我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》,其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题:今有圆堡,周四丈八尺,高一丈 一尺,问积几何?其意思是:含有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是4丈8

尺,高1丈1尺, 问它的体积是多少?若π取3,估算小城堡的体积为( )

A .1998立方尺

B .2012立方尺

C .2112立方尺

D .2324立方尺 5.cos54cos 66cos 6?+?-

?=( ) A .0 B .

13 C .1

2

D .1 6.已知双曲线22

221(0)x y a b a b

=>>-与两条平行直线1l :y x a =+与2l :y x a =-相交所得

的平行四边形的面积为2

6b ,则双曲线的离心率为( )

A B C D .2 7.如图,已知在等腰梯形ABCD 中,AB CD ,45BAD ∠=?,,,E F G 分别是,,AB BC CD

的中点,若EF 在AG ||AB

CD

=

( ) A .1 B .2 C .3 D .4

8.如图所示,函数()sin()(0,||2

f x x π

ω?ω?=+><

离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线

231

122

y x x =-++上,则()f x =( )

A .1()sin(63f x x π=+

B .1()sin()23

f x x π=+

C .()sin(

)2

3f x x π

π=+ D .()sin()26

f x x ππ

=+

第7题图

第8题图

第9题图 9.某程序框图如图所示,若输出4

3

S =

,则判断框中M 为( ) A .7k <? B .6k ≤? C .8k ≤? D .8k <?

10.已知5()a bx -的展开式中第4项的系数与含4

x 的系数分别为80-与80,则5()a bx -展开式 所有项系数之和为( )

A .1-

B .1

C .32

D .64

11.如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的

三视图,其体积为

169π ) A . B . C .4 D 12.已知关于x 的方程2

2ln 20x a x ax --=

有唯一解,则实数

a 的 值为( ) A .1 B .

12 C .13 D .1

4

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数3

()()x

x

a f x e x e =+

为偶函数,则实数a =___________. 14.已知F 是抛物线24y x =的焦点,过该抛物线上一点M 作准线的垂线,垂足为N ,若

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4

||3

MF =,则NMF ∠=___________.

15.已知实数x 、y 满足0

0220

y x y x y ≥??

+≤??++≤?

,则213log (

12y z x -=+-的取值范围是___________. 16.如图,已知点D 在ABC ?的BC 边上,且90DAC ∠=?,

cos C =6AB =,BD 则s i n A D B A D ∠=________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,0n a >,且1(3)6

n n n S a a =+.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)设1

(1)(2)

n n n b a a =-+,12n n T b b b =+++ ,求证:16n T <.

18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱) 中,11,2BC CC AC ===

,=90ABC ∠?. (1)求证:平面1ABC ⊥平面11A B

C ;

(2)设D 为AC 的中点,求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值.

19.(本题满分12分)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性, 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:

[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80]

后得到如图所示的频率分布直图.问:

(1)估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取2名,求 这两名广场舞者年龄在[30,40)中的人数x 的分布列及 其数学期望.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点到直线0x y -+=的

距离为5 (1)求椭圆C 的方程;

(2)在x 轴上是否存在一点Q ,使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点,且满足22

11

QA QB +

为定值?若存在,请求出定值,并求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数2()

21(f x ax bx e =++为自然对数的底数). (1)若2

1

=

a ,求函数()()x F x f x e =的单调区间; (2)若a e

b 21

--=,方程(

)x f x e =在)1,0(内有解,求实数a 的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.

22.(本小题满分10分)选讲4-1:几何证明选讲

如图,过圆O 外一点P 作圆的切线PC ,切点为C ,割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与

B 、E 与F .已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切.

(1)求证:DE BF ;

(2)若PC =1DE =,求PB 的长.

23.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的非负半轴重合.若曲线C 的极坐

标方程为6cos 2sin ρ

θθ

=

+

,直线l 的参数方程为12x y ?=??=??(t 为参数).

(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;

(2)设点(1,2)Q ,直线l 与曲线C 交于,A B ,求||||QA QB

的值.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+. (1)若2a =,解不等式()3f x ≤;

(2)若存在实数a ,使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立,求实数a 的取值范围.

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