2016年3月2016届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(正式考试版)
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【学科网学易大联考】2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】
理科数学试卷
考试时间:120分钟;满分150分
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合{
}
2
60,A x x x x =--<∈R ,{}
||3,B y y x x A ==-∈,则A B 等于( ) A .{
}
03x x << B .{}10x x -<<
C .{}20x x -<<
D .{}
33x x -<< 2.命题p :0x ?∈R ,不等式0
0cos 10x x e +-<成立,则p 的否定为( )
A .0x ?∈R ,不等式0
0cos 10x x e +-≥成立 B .x ?∈R ,不等式cos 10x
x e +-<成立 C .x ?∈R ,不等式cos 10x
x e +-≥成立 D .x ?∈R ,不等式cos 10x
x e +->成立 3.在复平面内复数)0z b >,则复数z bi -在复平面上对应的点在( )
A
.第一象限 B .第二象限 C .第三象限
D .第四象限
4.我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》,其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题:今有圆堡,周四丈八尺,高一丈 一尺,问积几何?其意思是:含有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是4丈8
尺,高1丈1尺, 问它的体积是多少?若π取3,估算小城堡的体积为( )
A .1998立方尺
B .2012立方尺
C .2112立方尺
D .2324立方尺 5.cos54cos 66cos 6?+?-
?=( ) A .0 B .
13 C .1
2
D .1 6.已知双曲线22
221(0)x y a b a b
=>>-与两条平行直线1l :y x a =+与2l :y x a =-相交所得
的平行四边形的面积为2
6b ,则双曲线的离心率为( )
A B C D .2 7.如图,已知在等腰梯形ABCD 中,AB CD ,45BAD ∠=?,,,E F G 分别是,,AB BC CD
的中点,若EF 在AG ||AB
CD
=
( ) A .1 B .2 C .3 D .4
8.如图所示,函数()sin()(0,||2
f x x π
ω?ω?=+><
离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线
231
122
y x x =-++上,则()f x =( )
A .1()sin(63f x x π=+
B .1()sin()23
f x x π=+
C .()sin(
)2
3f x x π
π=+ D .()sin()26
f x x ππ
=+
第7题图
第8题图
第9题图 9.某程序框图如图所示,若输出4
3
S =
,则判断框中M 为( ) A .7k <? B .6k ≤? C .8k ≤? D .8k <?
10.已知5()a bx -的展开式中第4项的系数与含4
x 的系数分别为80-与80,则5()a bx -展开式 所有项系数之和为( )
A .1-
B .1
C .32
D .64
11.如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的
三视图,其体积为
169π ) A . B . C .4 D 12.已知关于x 的方程2
2ln 20x a x ax --=
有唯一解,则实数
a 的 值为( ) A .1 B .
12 C .13 D .1
4
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数3
()()x
x
a f x e x e =+
为偶函数,则实数a =___________. 14.已知F 是抛物线24y x =的焦点,过该抛物线上一点M 作准线的垂线,垂足为N ,若
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4
||3
MF =,则NMF ∠=___________.
15.已知实数x 、y 满足0
0220
y x y x y ≥??
+≤??++≤?
,则213log (
12y z x -=+-的取值范围是___________. 16.如图,已知点D 在ABC ?的BC 边上,且90DAC ∠=?,
cos C =6AB =,BD 则s i n A D B A D ∠=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,0n a >,且1(3)6
n n n S a a =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设1
(1)(2)
n n n b a a =-+,12n n T b b b =+++ ,求证:16n T <.
18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱) 中,11,2BC CC AC ===
,=90ABC ∠?. (1)求证:平面1ABC ⊥平面11A B
C ;
(2)设D 为AC 的中点,求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值.
19.(本题满分12分)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性, 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:
[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80]
后得到如图所示的频率分布直图.问:
(1)估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取2名,求 这两名广场舞者年龄在[30,40)中的人数x 的分布列及 其数学期望.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点到直线0x y -+=的
距离为5 (1)求椭圆C 的方程;
(2)在x 轴上是否存在一点Q ,使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点,且满足22
11
QA QB +
为定值?若存在,请求出定值,并求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数2()
21(f x ax bx e =++为自然对数的底数). (1)若2
1
=
a ,求函数()()x F x f x e =的单调区间; (2)若a e
b 21
--=,方程(
)x f x e =在)1,0(内有解,求实数a 的取值范围.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)选讲4-1:几何证明选讲
如图,过圆O 外一点P 作圆的切线PC ,切点为C ,割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与
B 、E 与F .已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切.
(1)求证:DE BF ;
(2)若PC =1DE =,求PB 的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的非负半轴重合.若曲线C 的极坐
标方程为6cos 2sin ρ
θθ
=
+
,直线l 的参数方程为12x y ?=??=??(t 为参数).
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;
(2)设点(1,2)Q ,直线l 与曲线C 交于,A B ,求||||QA QB
的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+. (1)若2a =,解不等式()3f x ≤;
(2)若存在实数a ,使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立,求实数a 的取值范围.