湖南省浏阳一中2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题-理

浏阳一中2016-2017上学期高二期末考试试卷

理 科 数 学

考试时间：120分钟 总分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数

的共轭复数是（ ）

A ．1﹣2i

B ．1+2i

C ．﹣1+2i

D ．﹣1﹣2i

2．设集合{}

023|2

<++=x x x M ， 集合??

????????≤??? ??=421|x

x N , 则 =N M （ ）

A ．{

}2|-≥x x B ．{}1|->x x C ．{}1|-”是“||||a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是( )．

A ．}6|{>x x

B ．}63|{<<-x x

C ．}3|{->x x

D ．}63|{<≤-x x 5．已知{}n a 为等差数列，若193

a a π

+=

，则37cos()a a +的值为（ ）

A ．

12 B ．12- C

D

．6．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取A ．55人，80人，45人 B ．40人，100人，40人C ．60人，60人，60人 D ．50人，100人，30人

82422=---+y x y x 12a b

+223+2

47．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤??

≥??≥?，则

2z x y =+的最大值和最小值分别为

（

）

A ．43和

B ．4

2和 C ．32和 D

．20和8．函数cos ln x

y x

=

的图象是（ ）9．已知△ABC内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝1

4

，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC的面积为( )．10．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）

A ．70种

B ．140种

C ．840种

D ．420种

11．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长

，则

的最小值为 （ ）

A 、1

B ．

C ．

D ．6

12．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p≠q，不等式(1)(1)1f p f q p q

+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[15,)+∞

B ．](,15-∞

C ．](12,30

D ．]

(12,15-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．命题“0,x ?>都有sin 1x ≥-”的否定： ；

14．2

0(1)x dx ?-= .

15．平面上三点，向量||OA =3，||OB

=2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ?-

的值为__________.

16．下列说法：

①函数()36=+-f x lnx x 的零点只有1个且属于区间()1,2；②若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈；③函数y x =的图像与函数sin y x =的图像有3个不同的交点；④函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π

=++∈的最小值是1.

正确的有 .（请将你认为正确说法的序号都写上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：52611,18a a a =+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若n n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S .

18．（本题满分12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是

正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点．(1)证明//PA 平面BDE ；

(2)求二面角B DE C --的余弦值．

19．（本题满分12分）某同学参加语、数、外三门课程的考试,设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为

5

4

,m,n （m>n ）,设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为12524,都未取得优秀成绩的概率为125

6,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．

（1）求m,n ；

（2）设X 为该同学取得优秀成绩的课程门数,求EX ．

20．（本题满分12分）设A 是圆

42

2=+y x 上的任意一点， l 是过点A 与x 轴垂直

的直线，D 是直线 l 与x 轴的交点，点M 在直线 l 上，且满足=A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的标准方程；

（2）设曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ，经过2F 的直线m 与曲线C 交于P 、Q 两

点，若2

1212||||||Q F P F PQ +=，求直线m 的方程．

21．（本题满分12分）已知函数1

()1ln a f x x x

=-

+（a 为实数）．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11

(,(22

f 处的切线方程；

（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不

存在极值，且存在a 满足()≥h a 1

8+λ，求λ的取值范围；

（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111

ln(1)12345n n

+<++++++ ．

请考生从第22、23、24三题中任选1题作答，若多做，按所做的第一个题目计分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,（Ⅰ）求PF 的长度．

（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度

A C P

D

O

E

F B

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的方程为2)4sin(=+

π

θρ，圆C 的方程为()为参数θθ

θ

??

?==sin cos y x ．(1) 把直线l 和圆C 的方程化为普通方程；

(2) 求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．

24．（本小题满分10分，不等式选讲）已知函数()|1||1|f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若关于x 的不等式2()f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

1．B 【解析】试题分析：复数

()()()5125510121212125

i i

i i i i --===-++-，共轭复数为12i +考点：复数运算与共轭复数2．A 【解析】

试题分析：{}

{

}{}12|0)2)(1(|023|2-<<-=<++=<++=x x x x x x x x M ，{}2|-≥=x x N ，则{}2|-≥=x x N M ．

考点：1．一元二次不等式；2．指数不等式；3．集合的运算．3．D 【解析】

试题分析：因为a b >成立，,a b 的符号是不确定的，所以不能推出||||a b >成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D ．考点：充分必要条件的判断．4．D 【解析】

试题分析： 要使函数有意义应满足{

,

03,

06≥+>-x x 解得.

63<≤-x 考点：函数的定义域．5．A 【解析】

试题分析：由等差数列性质可知19373

a a a a π

+=+=()371

cos cos

3

2

a a π

∴+==

考点：等差数列性质6．D 【解析】

试题分析：专科生：本科生：研究生3:10:5900:3000:1500==，抽取的专科生人数5018

5

180=?

人，抽取的本科生人数1001810180=?人，抽取的研究生人数3018

3

180=?人，故答案为D ．

考点：分层抽样的应用．7．B ．【解析】

试题解析：依题可画出其约束条件的可行域如下图所示，

又目标函数l ：2z x y =+即2y x z =-+，∴

当其表示直线经过点()1,0A 时，有最小值为2；当经过点()2,0B 时，有最大值为4，故选B

考点：二元一次不等式线性规划8．B 【解析】

试题分析：由()x

x

x f ln cos =

，得()()()x f x x x x x f ==--=

-ln cos ln cos 是偶函数，图象关于y 轴对称，因此排除A ，C ，当10<x ，0ln ln <=x x ，因此

()x

x

x f ln cos =

0<，故答案为B ．考点：函数图象的判断．9．B

【解析】由正弦定理

a c

sinA sinC

＝

，得c ＝2a①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得4＝a 2＋c 2－2ac×

14

②由①②得：a ＝1，c ＝2，又sin B

.所以S △ABC ＝1

2

acsin B ＝1

2

11．D

82422=---+y x y x 12a b

+【解析】

试题分析：因为直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆的周长，所以直线022=-+by ax 过圆的圆心)1,2(则

0222=-+b a ，即1=+b a ；则

122223a b a b b a a b a b a b +++=+=++

．令(01)b t t a =<≤，则2

()3f t t t

=++在(0,1]上单调递减，min ()(1)1236f t f ==++=，故的最小值为6．

考点：直线与圆的位置关系、基本不等式．

【改编简介】本题改编自2015届山东省乐陵市一中高三上学期期中考试文试卷第8题，改编了①条件（给定,a b 的关系），②这是一道易错题，容易利用基本不等式求最小值．10．D 【解析】

试题分析：采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有3

339A C ?种，

3名同学全是男生或全是女生的有(

)

33

3534

A C C +种，故选出的同学中男女均有，则

不同安排方法有-?33

3

9

A C (

)42033

35

34

=+A C C 种不同选法

考点：排列与组合12．A 【解析】

试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)

f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数

2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在

区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．

'()21a f x x x =

-+，即211

a x x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥．

考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.

13．0,x ?>使得sin 1x <-【解析】

试题分析：特称命题的否定式全称命题，否定时将结论加以否定，sin 1x ≥-的否定为sin 1x <-，所以命题的否定为0,x ?>使得sin 1x <-考点：全称命题与特称命题14．0.【解析】

试题分析：0)2

1

()1(222

00=-=-?x dx x .考点：定积分的计算.

【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.15．

5

2

【解析】

试题解析：取P 为AB 中点，

()

()22115()()32222

OP OA OB OA OB OA OB ?-=+?-=-=

考点：向量的数量积运算16．①④【解析】

试题分析：①函数()36=+-f x lnx x 在()0,+∞上是增函数,且

()1ln131630f =+?-=-<, ()2ln 2326ln 20f =+?-=>.所以①正确.②当0a =时原不等式变形为10>,恒成立;当0a ≠时,要使关于x 的不等式

2210ax ax ++>恒成立,则()2

241001a a a ?=-?

式2210ax ax ++>恒成立时[)0,1a ∈.故②不正确.

③由函数图像可知函数y x =的图像与函数sin y x =的图像只有一个交点,故③不

正确.

④1sin cos sin cos sin 224y x x x x x x π??=++=++ ???,0,4x π??

∈????

时,

20,,,2442x x ππππ????∈+∈????????,所以此函数在0,4π??

????上单调递增.

所以

1sin 0124

min y π

=+=.故④正确.

考点：函数的性质;

17．解析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由18,11625=+=a a a 得

??

?=+=+186211

41

1d a d a ，解得13,2,a d ==所以21n a n =+；

（Ⅱ）由12+=n a n 得213n n b n =++.]

()()

123357213333n n S n =++++++++++???? ()1

2

2

313332213

22

n n n n n n +-=++

=+-+-.

18．解法一：(1)连结AC ，设AC 与BD 交于O 点，连结EO .∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，∴//OE PA ， ∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，∴//PA 平面BDE .

解法二：(1)以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,0,2),(0,11),(2,2,0)A P E B .

∴(2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)PA DE DB =-== ,设1(,,)n x y z =

是平面BDE 的一个法向量,

则由 11100

1,

(1,1,1).

220

0n DE y z y n x y n DB ??=+=??=-=-??+=?=???

得,取得∵1220PA n ?=-= ，∴1PA n ⊥

, PA BDE ?又平面，∴//.

PA BDE 平面(2)

由(1)知1(1,1,1)n =- 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==

是平面DEC 的一个

法向量.设二面角B DE C --的平面角为θ，由题意可知12,n n θ=<>

.

∴12

12

12

cos cos,

||||

n n

n n

n n

θ

?

=<>===

?

.

19.

试题解析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C,∴P（A

）=

5

4

, P（B）=m ,P（C）=n ,

由已知条件可知：P（ABC）=

125

24

,P（A B C）=

125

6

,∴

424

5125

46

(1)(1)(1)

5125

mn

m n

?

=

??

?

?---=

??

,

又m>n,则m=

5

3

,n=

5

2

．6分

（2）∵X=0,1,2,3,P（X=0）=

125

6

,P（X=1）=P（A B C+A B C+A B C）=

125

37

,P（

X=2）=P（AB C+A B C+A BC）=

125

58

,

P（X=3）=

125

24

,∴X的分布列为

X0123

P

125

6

125

37

125

58

125

24

∴EX=0?

125

6

+1?

125

37

+2?

125

58

+3?

125

24

=

5

9

． 12分

考点：随机变量的概率、分布列、期望．

20．（1）

22

1

32

x y

+=；（2）5.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l 的方程，再结合椭圆的离心率解出a ，b ，c ，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k 与m 的关

系，再计算22

||||ON OP ? ，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）因为直线l 的倾斜角为

π

4

，2(,0)F c ，所以，直线l 的方程为y x c =-，

=，所以1c =.又e =，所以a =，b =,椭圆C 的方程 22

132

x y += . 4分

（2））当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，

由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而11S x y ==，则11

x =

知ON PQ ?

=. 5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22

132

x y +=可得

2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，由题意0?>，即2232k m +>.

2121222

636

,2323km m x x x x k k -+=-=

++. 7分

2PQ x =-==

d =

，12POQ

S d PQ ?=??==,化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++= ，即222(322)0k m +-=.

则22322k m +=，满足0?>, 9分

由前知123k

x x m +=-，2121232()22k y y k x x m m m m +=++=-+=，

2222

1212222941()()2(3k ON x x y y m m m

=+++=+=- .

222222222

24(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m

+-+=+==++ 11分2222114(325ON PQ m m =-+ ≤，当且仅当2211

32m m

-=+

，即m =时等

号成立，

故5ON PQ

≤.

综上可知ON PQ

的最大值为5. 12

分

考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.

21．（1）2ln 220x y -+-=；（2）1

9

≤-λ 或138≥λ；（3）证明略.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，根据函数

()f x 在区间(0,2)上不存在极值，得到a 的取值范围，再利用二次函数的对称轴与

开口方向求得最值，得到关于λ的不等式，再进行求解；（3）先判定函数)(x f 的单调性，再合理进行赋值放缩进行证明.

试题解析：（Ⅰ）当1a =时，11

()1ln f x x x =-+，

211

()f x x x

'=

-，则1()4222f '=-=，1

()12ln 2ln 21

2

f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2

y x --=-，

即2ln 220x y -+-= 3分

（Ⅱ）221()a a x

f x x x x

-'=

-=，由()0f x '=x a ?=由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a 4分

由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 1

8

+λ

5分

对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴3

4

a λ

=①当

304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48

h a h λλ==，由max ()≥h a 18+

λ29188?≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：1

9

≤-λ或83λ≥②当3014λ<

≤，即4

03

λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，

由max ()≥h a 18+

λ108?≥+λ，结合4

03

λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<

<，即48

33

λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max ()≥h a 18+

λ1688?-≥+λλ，结合4833λ<<可知：138

83

≤<λ 综上可知：1

9

≤-λ

或13

8

≥

λ 8分

（Ⅲ）当1a =时，21()x

f x x

-'=

，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11

()1ln f x x x

=-

+在1x =处取得最大值(1)0f =

即11

()1ln (1)0f x f x x

=-+≤=，∴11ln x x x -≤，

10分令 1n x n =

+，则11ln n n n +<，即1

ln(1)ln n n n

+-<，∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)

n n n n n n +=+-=+-+--++- 1111121

n n n <

++++-- ．故11111

ln(1)12345n n

+<++++++ ．

12分

考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.22．（Ⅰ）．3

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：第一问根据圆的性质，得出相应的相等角，从而得出相似三角形，从而得出线段成比例，进而求得结果，第二问根据割线定理求得结果．

A C P

D

O

E F B 试题解析：（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ?∽PCO ?,∴

PF PD

PC PO

=

, 4分由割线定理知12PC PD PA PB ?=?=,故12

34

PC PD PF PO ?=

==． 6分（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT

则2PT 248

PB PO =?=?=，即PT =10分

考点：圆的性质，相似三角形，各线定理．23．（1）θρcos 2=；（2）2．【解析】

试题分析：（1）先消去参数，得到圆的普通方程，再利用?

??==θρθ

ρsin cos y x 化成极坐

标方程；（2）联立两曲线的极坐标方程，求出曲线的交点，再求两点间的距离．

解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程间的相互转化，消去参数方

程中的参数得到普通方程，利用??

?

??+===222sin cos y x y x ρθρθρ实现极坐标方程与普通方程的互化

．

试题解析：圆的普通方程为()1122

=+-y x ，又θρθρsin ,cos ==y x ，所以圆的

极坐标方程为θρcos 2=；

设()11,θρ为点P 的极坐标，则有??

???==3cos 2111πθθρρ，解得???

??==3111πθρ；

设()22,θρ为点Q 的极坐标，则有??

???==+333)cos 3(sin 2222π

θθθρ，解得???

??==3322πθρ；21θθ= ，221=-=∴ρρPQ ,即线段PQ 长为2．

考点：1．曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化；2．曲线的交点；3．两点的距离公式．24．

3

34

【解析】

试题分析：直接利用柯西不等式即可解决

试题解析：由柯西不等式，

2222222

()))3(32)1x x y z ????++?++≥++=??????

， 4分所以22232334

x y z ++≥

，

当且仅当3

x

=

，即931

,,343434x y z ===时，等号成立，所以22232z y x ++的最小值为

3

34

． 10分

考点：柯西不等式