长铁一中2012年上学期高二年级期末考试数学(文)试卷
长铁一中2012年上学期期末考试高二年级
数学科试题（文科）
命题人：霍菁琰 时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求的） 1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}5,3{=A ,}7,3,1{=B ，则)(B C A U 等于 （ ） A ．{5} B ．{3，5} C ．{1，5，7}
D ．φ
2．设向量()1,0=
a ，11,22??= ???
b ，则下列结论中正确的是 （ ）
A. = a b
B. 2
2
=? C. a ∥ b D. - a b 与 b 垂直
3、下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ） A ．2
1x y = B ．1y x -= C ．3y x = D ．2x y =
4、要得到函数)3
2sin(π
-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 （ ）
A ．向右平移π6
B ．向右平移π3
C ．向左平移π3
D ．向左平移π6
5、经过点()0,1-，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
6、已知等差数列{a n }满足a 4+a 7=10, 则它的前10项的和S 10=( )
A ． 25
B ．50
C ．100
D ．200
7、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 ( )
ππππ
4 D. 2 C. B. 2
A.
8、已知函数x x x g x x f x
2
1log -)(,2)(=+=的零点分别为21,x x ，则 （ ） A ．21x x > B ．21x x < C ．21x x =
D ． 不能确定
9、函数()ln |1|f x x =-的图像大致是
（ ）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10、直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线???==t
y t
x C 2:1（t
为参数）与曲线2C ：2=ρ相交构成的弦长为 .
11、已知某程序框图如右图所示，若输入的x 值为2-， 则输出的值为_______.
12、已知x 、y 满足约束条件2010220x y x y -≤??
-≤??+-≥?
，则z x y =-的取值范围为
13、在两根相距6m 的木杆上端系直一根钢丝，并在钢丝上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是 ．
14、设对任意实数[]1,1-∈x ，不等式032
<-+a ax x 总成立，则实数a 的取值范围是 ；
15、已知集合{}M A M ?=，4,3,2,1,集合A 中所有元素的乘积为集合A 的“累积值”，且规定：
当集合A 中只有一个元素时，其累积值即为该元素的值；空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n.
(1)若n=3，则这样的集合A 共有 个；
（2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有 个；
1
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）
设函数1()sin 2f x x x =+
（1）求函数()f x 的最小正周期及其在区间[0,
]2
π
上的值域；
（2）记ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若()f A =
a =，求角B 的值。
17、（本小题满分12分）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．
⑵试估计高三年级学生“同意”的人数；
⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．
18、（本小题满分12分）如图示，边长为4的正方形ABCD 与正三
角形PAD 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点。 （1）求证： //PA BDM 面
（2）求多面体P-ABCD 的体积
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面PNC ⊥面PQB?若存在，指出N 的位置，若不存在，请说明理由。
19、（本小题满分13分）
在等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，2
2
S q b =
． （1）求n a 与n b 的通项公式； （2）设数列{n c }满足1
n n
c S =
，求{n c }的前n 项和n T ．
20、（本小题满分13分）
某大型客机承担相距3000公里的甲、乙两地间的客运任务，客机飞行成本由燃料费用和其它费用组成，已知该客机每小时的燃料费用（元）与其飞行速度的平方成正比（比例系数为0.05），其它费用为每小时32000元，且该客机的最大飞行速度为1500公里/小时，在客机全程都是匀速行驶的（假设）条件下．
（1）请将从甲地到乙地的飞行成本y （元）表示为飞行速度x （公里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的飞行成本最少，该客机应以多大的速度飞行？
21、（本小题满分13分）已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点M
（1． （1）求圆C 的方程；
（2）已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；
（3）若直线l 与圆C 相切，且l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，求△ABC 的面积最小时直线l 的方程．
长铁一中2012年上学期期末考试高二年级
数学科试题（文科）答案
10、4 ；11、 41
；12、[]1,2- ； 13、31；14、2
1>a ；15、（1）2、（2）13
三、解答题：
17、⑴由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为5,6,2，被调查人答卷情况统计表：
16
⑵2312610542631056
5
?+?=+=（人）…… 6分
⑶设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
8
15
．……12分
19. 解： （1） 设：{n a }的公差为d ,
因为222212,612,6,,b S q d S d
q q b q +=++=????
+??==????
所以解得q =3或q =-4（舍）,d =3． 故3n a n =，1
3n n b -= ………………………6分
（2）因为(33)12211
,().2(33)31
n n n n n S C S n n n n +=
===-++所以……………8分 211111212(1)()()(1)32231313(1)n n
T n n n n ??=
-+-++-=-=??+++??
故 ……13分
18
20、解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.05x （01500x ≤≤），
从甲地到乙地所用的时间为3000
x
小时， ………（4分） 则从甲地到乙地的飞行成本230003000
0.0532000y x x x
=?+?
，（0150x ≤≤） 即640000
150()y x x
=+，
（0150x ≤≤）． ………（7分）
（2）由（１）640000150()150240000y x x =+≥?=，………（10分） 当且仅当640000
x x
=
，即800x =时取等号． ………（12分） 故客机应以800公里/小时的速度飞行时，能使飞行成本最少．………（13分）
21、解析：（1）圆C 的半径为
2|CM |=， ………… 2分 所以圆C 的方程为224x y +=………………………………………4分
（2）圆心到直线l 的距离为
d =
=…………………………………6分
所以P 到直线l ：40x y +-=的距离的最小值为：2…………………… 8分 （3）设直线l 的方程为：y kx b =+，因为l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，则0,0k b <>，且(,0),(0,)b A B b k
-，又l 与圆C 相切，则C 点到直线l 的距离等于圆的半径2，2
2
244b k =?=+，
①， 而2
1()22ABC
b b S b k k
-=-=
② … 10分
将①代入②得2(44)12()42ABC
k S k k k -+==-+≥- ，当且仅当
k=﹣1时取等号，所
以当k=﹣1时，△ABC 的面积最小，此时
22448,b k b =+==l 的方程为：
y x =-+ 13
分