三角形的内切圆练习题

三角形的内切圆

一、回顾旧知:

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建在何处？

二、结合问题、自主探究

1、思考：已知一张三角形铁皮余料，现要用它截出一个最大的圆形，

如何截？你能将此问题变成数学问题吗？

(1)要使圆最大，圆应满足什么条件？

(2)圆心怎么找？

2、请用用尺规作图在右中做出所要求做的圆：

3、阅读课本填空：

(1)____________________________________的圆叫做三角形的内切圆。

(2) 三角形的内切圆有__个，圆的内切三角形有__个。

(3) 三角形的内心是三角形的_____________________的交点，是三角形____

的圆心。

(5) 三角形的内心和三角形的外心的区别：

三、运用知识、巩固提高

1、如图，已知△ABC中，∠ABC=500,∠ACB=750,点O是内心，

求∠BOC的度数。

变式：若已知O是△ABC的外心，则∠BOC的度数是_____.

结论：O是△ABC的内心，∠BOC=__________.

O是△ABC的外心, ∠BOC=__________.

2、如图△ABC的内切圆半径为r, △ABC的周长为l

求△ABC的面积。

3、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm ,BC=14 cm,CA=13 cm

求AF、BD、CE的长。

结论：若△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，则

AF=AE=____________；BF=BD=___________；CE=CD=_______________. 4、已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，BC=a，AC=b，AB=c

求Rt△ABC的内切圆的半径。

结论：Rt△ABC的内切圆的半径r=___________，

外接圆的半径R=________。

三角形内切圆半径公式_数学教案-三角形的内切圆

三角形内切圆半径公式_数学教案－三角形的内切圆 1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议本节内容需要一个课时．（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．教学重点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．教学难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．教学活动设计（一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?

2、分析、研究问题：让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题：例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．（二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．

全等三角形常见题型

1、．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM≌△BOM（AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON ∴△AON≌△BON（SAS） ∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 2、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC

3、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。 M F E C B A 证明： ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 4、10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中

2018中考数学压轴题专题05 三角形综合问题(解析版)

【考法综述】 1．全等三角形：（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 2.相似三角形：相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 3.锐角三角函数与解直角三角形：通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 4.等腰三角形：（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称为：三线合一. （3）等腰三角形的判定：判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称：等角对等边. 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 5.等边三角形：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具

八年级数学上册《全等三角形常考题型总结》

全等三角形题型总结题型一、一线三垂直 1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？ 2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间． 27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

题型二、角平分线与全等 1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。 2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．图题型三、旋转与全等 1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

B A C D E 2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ．证明：（1）BD ＝CE ；（2）BD ⊥CE ．图17 3、如图，ABC ?为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形 CDE ?，连接AE ．（1）求证：CBD ?≌CAE ?．（2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由． 4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系. A B D C E F

2020-2021备战中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案一、直角三角形的边角关系 1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81 4 ．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒 5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9 5 S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【答案】（1）coaA=4 5 ；（2）当t= 3 5 时，满足S△PQM= 9 5 S△QCN；（3）当t=2733 -s或 2733 +s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9 5 S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E． ∵S△ABC=1 2 ?AC?BE= 81 4 ，

∴BE= 92 ，在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -， ∴coaA= 64 7.55 AE AB ==．（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ． ∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ， ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2， ∵S △PQM =9 5 S △QCN ， ∴ 3?PQ 2=935??CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=9 5 ×（5t ）2，整理得：5t 2-18t+9=0，解得t=3（舍弃）或35 ． ∴当t= 35时，满足S △PQM =9 5 S △QCN ．（3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．易知：PM ∥AC ， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴3， ∴39-9t ），

AutoCAD绘制三角形的内切圆

绘制三角形的内切圆一、教学目标 1．掌握直线段的基本绘制方法。 2．掌握圆的绘制方法。 3．掌握对象捕捉的设置。二、任务分析每一张机械图样都是由简单的基本图形元素组成的，包括直线、圆、圆弧、矩形等，在AutoCAD 2007中掌握这些基本图形的画法是整个CAD绘图的基础。本任务将通过绘制如图2-1所示的“三角形内切圆”介绍在AutoCAD 2007中直线和圆的绘制方法以及精确捕捉绘图辅助工具的使用。图2-1 三角形内切圆三、实践操作 1．选择下拉菜单“文件”｜“新建”命令，新建一个“无样板公制”（acadiso）文件。 2．绘制任意三角形（1）单击“绘图”工具栏的按钮，启动直线命令绘制第一条直线，命令行的显示操作如下：命令: _line 指定第一点: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标左键拾取一点，作为直线的起点指定下一点或[放弃(U)]: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标左键拾取一点，作为直线的终点指定下一点或[放弃(U)]: // 按下回车键。结束操作，绘制结果如图2-2所示。

图2-2 第一条直线（2）设置对象捕捉 “对象捕捉”功能是专用于精确捕捉图形对象特征点的工具，具体设置步骤如下： 1）移动鼠标光标到“状态栏”的按钮上，单击鼠标右键，系统弹出如图2-3所示下拉菜单。图2-3 设置菜单 2）单击“设置”选项，系统会弹出“草图设置”对话框，此时系统在“对象捕捉”状态下。 3）在对话框上分别单击特征点选项前面的小方格，使系统默认的对象特征点“中点”“圆心”“延伸”“最近点”处于未选中状态（方格为是选中状态）。设置结果如图2-4所示。

3.5三角形的内切圆学案

3.5三角形的内切圆学案一、前置检测 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2.圆的切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 3.请口述如何做出三角形的外接圆？三角形的外心是什么的交点？二、新知探究如图，是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？任意作一个△ABC，在△ABC内作圆，使其与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心O的位置有什么特征？为什么？例1怎样用尺规作一个圆，使它与三角形各边都相切呢？已知：△ABC（如图）求作：△ABC的内切圆新知：与_________________叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做 ________________，这个三角形叫做_______________ 总结：三角形内心的性质:________________ 如图2，△DEF是⊙I的________三角形， ⊙I是△DEF的_______圆，点I是△DEF的______ 心，它是三角形_______的交点。总结：名称确定方法性质外心内心三、巩固练习

1.如图，在△ABC 中，点O 是内心，（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC 的度数（2）若∠A=80 °，则∠BOC =_______度。（3）若∠A=α，则∠BOC =_______。（4）对于 ∠A 与∠BOC 之间存在的数量关系请给予说明。变式：如图，在△ABC 中，点O 是外心，（1）若∠A=80 °，则∠BOC =______度。（2）若∠BOC=100° ，则∠A =___度。 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90 ° ,AC=3 ,AB=5 ,则它的内切圆与外接圆半径分别为( )A 1.5, 2.5 B 2,5 C 1,2.5 D 2,2.5 变式：边长为2的等边三角形的外接圆与内切圆半径为_______ 四、拓展提升 1、如图, ⊙O 是△ABC 的内切圆,分别切AB,BC,CA 于点D,E,F.设圆O 的半径为r, c AB b CA a BC ===,, 求证:)(2 1 c b a r S ABC ++= ?. 2、如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c ，则其内切圆的半径ｒ为: （以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） 3、如图，△ABC 中，CA=CB ，点O 在高CH 上，CA OD ⊥于点D ，CB DE ⊥于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O （1）求证：⊙O 与CB 相切于点E （2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC=5,AB=6，连接EH ，求△BEH 的面积和tan ∠BEH 的值。

全等三角形_探究题_(各种题型非常全)教学内容

全等三角形_探究题_(各种题型非常全)

探究题讲练类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（） A．330° B．315° C．310° D．320° 2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（） A．50 B．62 C．65 D．68 3.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。（1）求OA+OB的值；

（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值；类型2.线段间的数量关系基础练习 1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠ D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF 与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

九年级数学(学案)三角形的内切圆

C B C 2020-2021学年三角形的内切圆教学目标： ⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； ⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；　⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。教学重点、难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质．学习过程：一、情境创设试一试：一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切．②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。二、探求新知⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做，叫做三角形的内心，这个三角形叫做．　⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比：

D C 外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC ；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ；（3）内心在三角形内部． ⒉典型例题例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、 F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明（1）∠BIC ＝90°＋1 2∠BAC （2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝1 2r(a ＋b ＋c)（3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。（4）若∠ACB ＝90°，且BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，△ABC 的内切圆圆心I 与它的外接圆圆心的O 距离。

初中数学三角形综合题(含答案)

初中数学三角形综合题一、单选题(共9道，每道10分) 1.(2010山西省)现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（__） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C 试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理 2.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形底边之长为（） A.7 B.11 C.7或11 D.不能确定答案：C 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三边分类讨论 3.在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC的长为（） A.5 B.11 C.8或3 D.5或11 答案：D 试题难度：三颗星知识点：中线 4.锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，若∠BMC=100°，则∠BNC的度数为（） A.100 B.110 C.120 D.130 答案：D 试题难度：三颗星知识点：高线、角平分线、内角和 5.如图①，PB平分ABC，PC平分ACB；如图②，PB平分ABC，PC平分ACE如图③，PB

平分CBF，PC平分BCE，若∠A=30°，则∠P为______度。 A.100，15，60 B.105，15，75 C.120，30，60 D.120，15，75 答案：B 试题难度：三颗星知识点：角平分线、内角、外角 6.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D 、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A‘重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（__） A.70° B.110° C.130° D.140° 答案：D 试题难度：三颗星知识点：三角形内角及折叠 7.如图，已知△ABC，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，下列关于∠1与∠2关系描述正确的是（） A.∠1=∠2 B.∠1=2∠2 C.∠1＜∠2 D.∠1＞∠2

三角形的内切圆(教学设计)

C B C B 4.7三角形的内切圆【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏！【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。【学习过程】一、情境创设试一试：一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做，叫做三角形的内心，这个三角形叫做． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比：例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。

C 三.再攀高峰探究活动一问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°．（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径；（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（） A ．40° B ．55° C ． 65° D ． 70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部

全等三角形中题型归纳讲解

全等三角形中题型归纳一、含有公共边（线段）例1已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。二、含有公共角（夹角）例2已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。三、直角三角形例3已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与 CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE = BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。四、角平分线例4.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．五、中线（点）例5如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由 1 2 F E A C D B A E D C B

六、二次全等例6已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 七、线段和差倍分例7如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．八、常见辅助线归纳总结例8如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。例9在△ABC 中，,AB=AC ，在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ，连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF . 九、全等与等腰三角形例10已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE 求证：OA ＝OD ． P E D C B A A D B E F C B A E D

人教版初中数学三角形经典测试题含答案

人教版初中数学三角形经典测试题含答案一、选择题 1．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（） A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1 2 ∠ADC D．∠ADE= 1 3 ∠ADC 【答案】D 【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以 1 3 x y ，即∠ADE= 1 3 ∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理． 2．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）

A．13B．5C．22D．4 【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=13．故选A. 考点: 1.旋转；2.勾股定理. 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（） A．30 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】【分析】由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB， ∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x． ∵DF=DB， ∴∠B=∠F=x， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°，

初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆

例如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数．解：∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IBC= 21∠ABC ，∠ICB=2 1 ∠ACB ． ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°． ∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=50°．又O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100° 说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+ 2 1 ∠A ；∠BOC=4∠BIC-360°．例已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．解：由勾股定理得：322=-= AC AB BC 连结OA 、OB 、OC ，设⊙O 的半径为r ，则： r CA BC AB S ABC )(21++= △，又BC AC S ABC ?=21 △． ∴BC AC r CA BC AB ?=++2 1 )(21， ∴14353 4=++?=++?= CA BC AB BC AC r ．答：直角三角形内切圆的半径为1．说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．例（陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ．（1）求证：IE=BE ；（2）若IE=4，AE=8，求DE 的长．证明：（1）连结BI ， ∵∠BIE=∠BAI+∠ABI= 21 （∠BAC+∠ABC ）， ∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=2 1 （∠ABC+∠BAC ）， ∴∠BIE=∠IBE ∴IE=BE 解：（2）∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAE=∠CAE ，又∵∠DBE=∠CAE ， ∴∠BAE=∠DBE ，又∵∠E 为公共角， ∴△ABE ∽△BDE ，∴ DE BE BE AE =，∴DE AE BE 2 ?= ∴DE AE IE 2 ?=，∴28 4AE IE DE 2 2=== ．说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B 组第3题的变形与结合；（3 ）本题为 A B C D E I

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

三角形四边形中考经典综合题汇总

1、（本题满分8分）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F 。（1）求证：△AOE ≌△COF （2）若∠E0D ＝30，求CE 的长。 D 2．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°,BC=5米,AC=12米。M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒。运动时间为t 秒。（1）、求AB 的长（2）、当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ? 3．如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是∠ADC 的角平分线，交BC 于点 E ．（1）求证：CD =CE ；（2）若BE =CE ，∠B =80?，求∠DAE 的度数．

A D B C 4．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证：OP =OQ ；（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）. 设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 5．（本题满分6分）如图，在?ABC 中，∠C =90?，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥AB ，AE=3，CD=4. 求（1）求AD 的长；（2）求BC 的长. D

P D B Q C 6．（本题满分10分）如图，在Rt ?OAB 中，∠OAB =90?，OA =AB =6，将?OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90?得到?OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ∠AOB 1的度数是（2）连结AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形；（3）求四边形OAA 1B 1的面积． 7．（本题满分6分）如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG ，DE ．（1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE ． A H G

三角形内切圆知识点总结

知识点：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 例1.（2009湖北省荆门市）Rt △ABC 中，9068C AC BC °，，．则△ABC 的内切圆半径r ______．例2. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。例3.任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，求证：△DEF 是锐角三角形。同步测试1：(2009年宁夏自治区)如图，⊙O 是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为．同步测试2：如图 7-255，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，连结 AC ，△ABC 和△ADC 的内切圆分别为⊙O 1和⊙O 2，与AC 的切点分别为E 、F ，则EF 的长是( )． (A)2 (B)7．5 (C)13 (D)15 ◆随堂检测 1．已知⊙O 的半径为5㎝，点P 到圆心O 的距离为6㎝，那么点P 的位置（）

A.一定在⊙O的内部 B.一定在⊙O的外部 C.一定在⊙O的上 D.不能确定 2.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（） A． 1 2 AD BC B． 1 2 AD AC C．AC AB D．AD DC 3.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60，则OP＝( ) A．50 cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 4.⊙O的半径为4㎝，若线段OA的长为10㎝，则OA的中点B在⊙O的____；若线段OA的长为7㎝，则OA的中点B在⊙O的____． 5.如图，等边三角形ABC的内切圆半径为3，则ABC △的周长为． 6.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、 2 1BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．

全等三角形题型总结

全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC. (答案）证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中 ()AD BC AC BD CD DC ?=? =??=? 公共边 ∴△ACD ≌△BDC （SSS ）】 ∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且 AE ＝1 2 （AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. (答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ， ∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =?? ∠=∠??? ∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝1 2 （AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB . ∵AE ＝AF ＋EF ， ∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF 在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =?? ∠=∠??=? 角平分线定义） ∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D ∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角” 例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM. 证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， {