高二数学讲义：微积分初步(较为系统的讲义)

微积分初步

【考纲要求】

1.了解导数概念的实际背景.

2.理解导数的几何意义.

3.能根据导数定义，求函数y c =，y x =，2y x =，1y x

=，y =c 为常数)的导数.

4.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函 数(仅限于形如()f ax b +的复合函数)的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

'()0c =(C 为常数).'1

+()(Q )x x αααα-=∈.'(sin )cos x x =.'(cos )sin x x =-.'(e )e x x =.

'()ln (0x x a a a a =>，且1)a ≠.'

1(ln )x x

=.'

1(log )(0ln a x a x a

=

>，且1)a ≠.

常用的导数运算法则：

法则1：'''[()()]()()f x g x f x g x ±=±.

法则2：'''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ?=++.

法则3：'

'

'

2

()()()()()

[](()0)()

()

f x f x

g x f x g x g x g x g x -=

≠.

5.了解函数单调性和导数的关系.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).

6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般 不超过三次).会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

7.会利用导数解决某些实际问题.

8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

9.了解微积分基本定理的含义.

【备考建议】

1.导数是中学数学中重要的知识.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数的问题提供了一般性的方法， 运用导数还可以简捷地解决一些实际问题.本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是 重点知识，因此要熟练掌握函数的求导法则及公式，会判断或讨论函数的单调性，会函数的极值与最值， 会用导数解决一些实际问题.

2.定积分也是微积分的核心概念之一.通过定积分可以解决一些简单的几何和物理问题，还要体会导数和定 积分之间的内在联系，体会导数与定积分的思想方法.

3.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法和初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一 般性和有效性.

第01讲：导数的概念及运算

【基础知识】

1.平均变化率及瞬时变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为________，函数()f x 在0x 处的瞬时变化 率为________.

2.导数的概念：函数()f x 在0x 处的导数就是()f x 在0x x =处的________，记作'0()f x 或0

'

|x x y =，即'

0()f x

000

()()

lim

lim

x x f x x f x y x

x

?→?→+?-?==??.

3.导数的几何意义：函数()y f x =在点00(,())x f x 处的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,())x f x

处的________的斜率，相应的切线的方程为________.

4.几种常见函数的求导公式：

'

()c =________.'()x α=________(Q )α+∈.'(sin )x =________.'

(cos )x =________.

'(e )x =________.'()x a =________.'(ln )x =________.'

(log )a x =________.

5.导数的运算法则：

'

[()()]f x g x ±=_______.'

[()]cf x =_______(c 为常数).'

[()()]f x g x ?=_______.'

()[

]()

f x

g x =_______.

【规律总结】

1.函数的导数的实质是极限问题，是函数平均变化率的极限.

2.求导数时，先化简后求导是基本方法，这样可以减少计算量.

3.复合函数求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求导最外层能直接 使用基本公式为止.

【例题精讲】

【例01】已知()f x 在0x x =处可导，且'0()2f x =，则000

()()

lim 2k f x f x k k

→--=________.

【拓展1】已知()f x 在0x x =处可导，且'

0()5f x =，求000

()()

lim

2x f x x f x x x

?→+?--??.

【拓展2】若函数()y f x =在区间(a ，)b 内可导，且0(x a ∈，)b ，则000

()()

lim h f x h f x h h

→+--=________.

【拓展3】已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1-，2)-及邻近一点(1x -+?，2())f x -+?，则

()f x x

?=

?

________.

【拓展4】()y f x =在1x =处可导，又(1)3f =，'

(1)2f =，求22

1

()(1)

lim 1

x f x f x →--.

【拓展5】如图所示，()f x 的图象是折线段ABC ，A 、B 、C 的坐标分别为 (0，4)、(2，0)、(6，4)，则((0))f f =________，请你计算 0

(1)(1)

lim x f x f x

?→+?-=?________.(用数字作答)

【例02】求下列函数的导数：(1)2(21)(31)y x x =-+.(2)

y =3)3e 2x x x y =-.(4)2

ln 1

x y x =

+.

【例03】设0()sin f x x =，'10()()f x f x =，'21()()f x f x =，…，'1()()n n f x f x +=，N n +∈，则2010()f x =

________.

【拓展】设函数())

cos f x ?=+(0?<<π).若()()'

f

x f

x +

是奇函数，则?

=________.

【例04】在高台跳水运动中，t s 时运动员相对水面高度是2()210h t t t =-++(单位:m )则运动员在1t =s

时的瞬时速度为________.

【拓展】一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时

速度为________.

【例05】曲线2

x y x =+在点(1-，1)-处的切线方程为________.

【拓展1】若曲线()5

ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.

【拓展2】求过曲线cos y x =上的点P (3

π，

12

)且与过这点的切线垂直的直线方程.

【拓展3】曲线()sin 1f x x x =+在点(2π，

1)2

π+处的切线与直线10ax y -+=垂直，则实数a =________.

【拓展4】已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为________.

【拓展5】已知函数()ln f x x =、2

1()2

g x x a =

+(a 为常数)，直线l 与函数()f x 、()g x 的图象都相切，

且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1，求直线l 的方程及a 的值.

【拓展6】点P 在曲线4e 1

x

y =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是________.

【拓展7】设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(P x ，0())f x 处切线的倾斜角的取值范围

为[0，]4π

则P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为________.

【拓展8】若曲线12

y x -

=在点(a ，12

)a

-

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =________.

【拓展9】设曲线e (0)x

y x -=≥在点(M t ，e )t

-处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为()s t .

(1)求切线l 的方程.

(2)求()s t 的最大值.

【拓展10】设函数1()(f x ax a x b

=+

+、Z)b ∈，曲线()y f x =在点(2，(2))f 处的切线方程为y =3．

(1)求()f x 的解析式.

(2)求证：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心.

(3)求证：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并

求出此定值．

【拓展11】对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

{

+n a n 的

前n 项和的公式是________.

第02讲：导数在研究函数中的应用

【基础知识】

1.函数的单调性：函数()f x 在某个区间(a ，)b 内，若'()0f x >，则()f x 为________；若'()0f x <，则()f x 为________；若'()0f x =，则()f x 为________.

2.函数的极值：

(1)函数()y f x =在x a =的函数值比它在点x a =附近其它点的函数值都小，'()0f a =，而且在点x a =

附近的左侧________，右侧________，则点a 叫作函数()y f x =的________，()f a 叫作函数()

y f x = 的________.

函数()y f x =在x b =的函数值比它在点x b =附近其它点的函数值都大，'()0f b =，而且在点x b = 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫作函数()y f x =的________，()f b 叫作函数()

y f x = 的________.极小值点、极大值点统称为________，极大值点极值小统称为________.

(2)求函数()y f x =的极值的方法是：解方程'0()0f x =.当'0()0f x =时，如果在0x 附近的左侧'

0()f x

0>，右侧'0()0f x <，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'0()0f x <，右侧'

0()0f x >，那

么0()f x 是极小值.

3.求函数()y f x =在[a ，]b 上的最大值与最小值的步骤是： (1)求函数()y f x =在(a ，)b 内的极值.

(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、()f b 相比较，其中最大的一个是________，最小

的一个是________.

【规律总结】

1.利用导数判断函数单调性及单调性应注意的问题：

(1)利用函数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，

通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间. (2)注意在某一区间内'()0f x >(或'()0f x <)是函数()f x 在该区间上为增(或减)函数的充分条件.例如

3

()f x x =在R 上可导且单调递增，但0x =时'()0f x =.

2.求函数的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根

左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么()f x 在这个 根处取得极小值.如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.

(4)如果'()0f x =的根0x x =的左右两侧，'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值.例如3()f x x =，有

'

(0)0f =，但0x =不是极值点.

(5)'

0()0f x =是0x 为极值点的必要条件，并非充分条件.

3.求函数最值的步骤：

(1)求出()f x 在(a ，)b 上的极值. (2)求出端点函数值()f a 、()f b .

(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

【例题精讲】

【例01】21()4f x x x

=+的单调递增区间为________.

【拓展1】函数3y x x =+的单调递增区间为________.

【拓展2】已知32()1f x x ax =-+在[1，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.

【拓展3】函数3()f x x ax b =++在(1-，1)上为减函数，在(1，)+∞上为增函数，求a 、b 的值.

【拓展4】如果函数3()(f x x bx b =-+为常数)，且()f x 在区间(0，1)上单调递增，方程()0f x =的根都

在区间[2-，2]内，则b 的取值范围是_____ _.

【拓展5】(2008年全国高考试题)已知函数32()1f x x ax x =+++，R a ∈.

(1)讨论函数()f x 的单调区间. (2)设函数()f x 在区间2(3

-

，1

)3

-内是减函数，求a 的取值范围．

【例02】函数(1)y f x =-的图象关于点(1，0)对称，当(x ∈-∞，0)时'

()()0f x xf x +<成立(其中'

()f x

是()f x 的导函数).若0.30.3

(3)(3)a f =?，b =(log 3)π?(f log 3)π，3

3

11(log )(log )9

9

c f =?，

则a 、b 、c 的大小关系是________.

【拓展】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，'

2

()()

(1)0,

0(0)xf x f x f x x

-=>>，

则不等式()0f x >的 解集为________.

【例03】已知函数2

()ln(1)(0)2

k f x x x x k =+-+

≥.

(1)当=2时，求曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方程. (2)求()的单调区间.

【拓展1】(2010年全国高考试题)设函数2()e 1x f x x ax =---.

(1)若0a =，求()f x 的单调区间.

(2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.

【拓展2】(2009年辽宁省高考试题)已知函数2

1()(1)ln 2

f x x ax a x =

-+-，1a >.

(1)讨论函数()f x 的单调性.

(2)证明：若5a <，则对任意1x 、2(0x ∈，)+∞，12x x ≠，有

1212

()()

1f x f x x x ->--.

k f x

【例04】试判断函数313y x x =+-的极值.

【拓展1】函数32y x ax a =-+在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________.

【拓展2】函数2ln y x x =的极小值为________.

【拓展3】若函数1()cos sin 22

f x m x x =+在x =

4

π处取得极值，则m =_____ _.

【拓展4】已知函数()3

2

f x x ax bx c =-+++图象上的点(1P ，2)-处的切线方程为31y x =-+．

(1)若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式.

(2)函数()f x 在区间[2-，0]上单调递增，求实数b 的取值范围.

【拓展5】设函数d cx bx ax x f y +++==2

3

)(的图象与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的切线方程为

0412=--y x .若函数在2=x 处取得极值0，试求函数的单调区间.

【例05】(2010年天津市高考试题)已知函数()e (R )x f x x x -=∈.

(1)求函数()f x 的单调区间和极值.

(2)若函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，求证：当1x >时()f x >

()g x .

(3)如果12x x ≠且12()()f x f x =，求证122x x +>.

【例06】(2009年天津市高考试题)已知函数22()(23)e (R )x f x x ax a a x =+-+∈，其中R a ∈.

(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1，(1))f 处的切线的斜率.(2)当23

a ≠

时，求函数()f x 的单调区间与极值.

【例07】(2009年全国高考试题)设函数3

2

()33f x x bx cx =++在有两个极值点1x 、2x ，且1[1x ∈-，0]，

2[1x ∈，2].

(1)求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标

平面内，画出满足这些条件的点(b ，)c 的 区域.

(2)求证110()2

f x -≤≤-.

【例08】函数()ln f x x x =-在区间(0，e]上的最大值为________.

【拓展1】函数e

x

x y =在[0，2]上的最大值为________.

【拓展2】函数32()26f x x x m =-+在区间[2-，2]上的最大值为3，则()f x 在区间[2-，2]上的最小值

为________.

【拓展3】已知()ln f x ax x =-，(0x ∈，e]，ln ()x g x x

=

，其中e 是自然常数，R a ∈.

(1)讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值.

(2)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值.若不存在，说明理由.

【拓展4】设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>．

(1)当1a =时，求()f x 的单调区间. (2)若()f x 在(]0,1上的最大值为

12

，求a 的值．

【例09】已知函数432()2f x x ax x b =+++(R x ∈)，其中a 、R b ∈．

(1)当103

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性.

(2)若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围.

(3)若对于任意的a ∈[2-，2]，不等式()1f x ≤在[1-，1]上恒成立，求b 的取值范围．

【拓展1】已知函数()ln f x x =，()(0)a g x a x

=

>，设()()()F x f x g x =+．

(1)求函数()F x 的单调区间.

(2)若以函数()((0y F x x =∈，3])图象上任意一点0(P x ，0)y 为切点的切线的斜率12

k ≤

恒成

立，求实数a 的最小值.

【拓展2】已知函数3

()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.

(1)求()f x 的单调区间和极大值.

(2)求证：对任意1x 、2x (1∈-，1)，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.

【拓展3】设2()e (1)x f x ax x =++，且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行.

(1)求a 的值并讨论()y f x =的单调性.

(2)证明：当[0∈θ，]2π

时，|(cos )(sin )|2f f θθ-<恒成立.

【拓展4】已知函数x x a x f ln )2

1()(2

+-

=.(R a ∈)

(1)当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值.

(2)若在区间(1，+∞)上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．

第03讲：生活中的优化问题举例

【基础知识】

1.在生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题成为_____ _.

2.求实际问题的最值，主要步骤如下：

(1)建立实际问题的数学模型，写出函数关系式()

=.

y f x

(2)求方程'()0

f x=的解，即极值点.

(3)比较区间端点值与极值，确定最值.

【规律总结】

求实际问题的最大(小)值的主要步骤如下：

(1)建立实际问题的数学模型，写出函数关系式()

=.

y f x

(2)求函数的导数'()

f x，解方程'()0

f x=.

(3)比较区间端点值和使'()0

f x=的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值.

【例题精讲】

【例01】在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的

正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一

个无盖的方底箱子，当箱子容积最大时，箱底边

长为_____ _.

【拓展1】建造一个长方体形状的仓库，内部高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____ _.

【拓展2】如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，

再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面

边长为_____ _时其容积最大.

【拓展3】一个无盖的圆柱形桶，其体积为为定值V，当用料最省时，圆柱底面的半径为_____ _.

【拓展4】要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为_____ _.

【拓展5】若一个球的半径为r，作内接于该球的圆柱，则其侧面积的最大值为_____ _.

【拓展6】请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心

1

O的距离为_____ _时，帐篷的体积最大？

【例02】某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件) 与零售价P(单位：元)有如下关系：2

8300170

Q P P

=--.试计算该商品零售价定为多少时总利润L最大？并求出最利润.

【拓展1】某公司生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品成本增加100元，已知总收益R与

年产量x的关系是

2

1

400(0400)

()2

80000(400)

x x x

R x

x

?

-≤≤

?

=?

?>

?

，则总利润最大时，每年生产的厂品是

_____ _.

1 O

【拓展2】某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100

元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系式是+3(N )432

x p x x =∈+.

(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数. (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

【拓展3】水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位、年初为起点，根据历年数据，某水

库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的函数关系式为124(1440)e 50,010,

()4(10)(341)50,1012.

x t t t V t t t t ?

?-+-+<≤=??--+<≤?

(1)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份(1i =，2，…，12)，

同一年内哪几个月份是枯水期？

(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e 2.7=计算).

【例03】一艘渔艇停泊在距岸9km

，今需派人送信给距渔艇km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小

时5km ，船速每小时4km .问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

【拓展】设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km ，垂足为B .铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C ，

现要在铁路B C 之间某处D 修建一个原料中转车站，再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千 米的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么D 应选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需

运费最省？

【例04】电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，电灯与点O 的

距离怎样可使点A 处有最大的照度？(BAO ∠=φ，B A r =照度与?sin 成正比，与2r 成反比)

【拓展】半径为R 、总质量为m 且质量均匀分布的细圆环上均匀地带有总电荷量为q 的正电荷，轴线上什么

位置电场强度最大？

【例05】设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，已知32()(0)T t at bt ct d a =+++≠，其中温度的单位

是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的0t =，中午12:00以后相应的t 取正数，中午12:00 以前相应的t 取负数(如早上8：00相应的4t =-，下午16：00相应的4t =)．若测得该物体在早 上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温 度早上8:00与下午16:00有相同的变化率. (1)求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式.

(2)该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？

【例06】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建

造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C

(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm )满足关系：()(010)35

k C x x x =

≤≤+，若不建隔热层，

每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及()f x 的表达式.

(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.