乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；

2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：22()()a b a b a b +-=-

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+

（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式

完全平方公式：()2

222a b a ab b +=++

2222)(b ab a b a +-=-

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

()2222a b a b ab +=+-()2

2a b ab =-+

()

()2

2

4a b a b ab +=-+

要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

添括号是否正确. 要点四、补充公式

2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=± ；

33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．

(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++； (3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-； (5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】

解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ()()2323a b a b -++＝()2

3b －()2

2a ＝2

2

94b a -．

(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()2

3b ＝2

2

49a b -．

(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()2

3b ＝2

2

49a b -．

(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()2

2a ＝2

2

94b a -．

【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：

【变式】计算：（1）332222x x y y ????

+-

???????

； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．

【答案】

解：（1）原式22

22392244x x y y ????

=-=- ? ?????

．

（2）原式2

2

2

(2)4x x =--=-．

（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．

2、计算：

(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】

解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝2

2

600.1-＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝2

21002-＝10000－4＝9996．

【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．

举一反三： 【变式】（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：

（1）1232

﹣124×122

（2）（2a+b ）（4a 2+b 2

）（2a ﹣b ） 【答案】

解：（1）1232

﹣124×122

=1232

﹣（123+1）（123﹣1）

=1232﹣（1232

﹣1）

=1232﹣1232

+1 =1； （2）（2a+b ）（4a 2

+b 2

）（2a ﹣b ）

=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2

）

=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2

）

=（4a 2）2﹣（b 2）2

=16a 4﹣b 4．

类型二、完全平方公式的应用

3、计算：

(1)()2

3a b +； (2)()2

32a -+； (3)()2

2x y -； (4)()2

23x y --．

【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

【答案与解析】

解：(1) ()()2

2

222

332396a b a a b b a ab b +=+??+=++．

(2) ()()()2

2

2

22

3223222334129a a a a a a -+=-=-??+=-+． (3) ()()2

2

222

222244x y x x y y x xy y -=-??+=-+ ．

(4) ()()()()2

2

2

2

22

2323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+??+=++．

【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()2

2

a b a b --=+之间的转化．

4、（2015春?吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；

（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）

2，（m ﹣n ）2，mn ；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2

的值．

【答案与解析】 解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；

（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2

；

方法②：（m+n ）2

﹣4mn ；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2

﹣4mn ；

（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2

﹣4ab ，

∵a+b=7，ab=5，

∴（a ﹣b ）2=72

﹣4×5 =49﹣20 =29．

【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：

(1) 2

2

a a

b b -+；(2) 2

()a b -．

【答案与解析】

解：(1)∵ 2

2

a a

b b -+＝2

2

a b +－ab ＝()2

a b +－3ab ＝2

7－3×12＝13．

(2)∵ ()2a b -＝()2

a b +－4ab ＝2

7－4×12＝1.

【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②2

2

a b +＝()

2

a b +－2ab ＝()2

a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体

变换求代数式的值． 举一反三：

【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22

a b +和ab 的值． 【答案】

解：由2()7a b +=，得22

27a ab b ++=； ①

由2()4a b -=，得22

24a ab b -+=． ② ①＋②得222()11a b +=，∴ 2

2

112

a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34

ab =

．