第9课时 一元一次方程(含答案)

第9课时《一元一次方程》

◆知识讲解1．等式和它的性质

等式：表示相等关系的式子，叫做等式．

等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零）所得的结果仍是等式．2．方程：

方程：含有未知数的等式叫做方程．

一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1?，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax+b=0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解也叫方程的根．解方程：求方程解的过程叫做解方程．

3．解一元一次方程的一般步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．4．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；

（4）解这个方程，求出未知数的值；

（5）检验方程的解是不是符合应用题题意的解；

（6）写出答案（包括单位名称）．

◆经典例题：例1（2004，黄冈市）关于x的一元一次方程（k2－1）x k－1+（k－1）x－8=0的解为_____．例2 解下列方程：（1）21

3

x+－51

6

x-=1；（2）3

4

[4

3

（1

2

x－1

4

）－8]=3

2

x．

例3（2003，襄樊市）一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．?该厂的生产能力是：若专门生产配奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，?为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？

◆强化训练：一、填空题

1．若

73

2

a

-

x2－3x=1是关于x的一元一次方程，则a=_____．

2．街房三角形花园的周长是30cm，一边长为（x+2y）m，另一边长为（y－2）m，则第三边长为______．

3．若式子12－3（9－y）与式子5（y－4）的值相等，则y=______．

4．代数式

2

25

x-

+x与x+2的值互为相反数，则所列方程为______，x=_____．

5．若x=5为方程2732

4312

x x m x

---

+=的解，则m=_____．

6．若1

3

[

1

4

（

1

3

x－1）－6]+2=0，则x=_____．

7．如果x=2是方程1

2

x+a=－1的根，则a的值是_____．

8．当a____，b____时，方程ax+1=x－b有唯一解，当a_____，b_____时，方程ax+1=x －b有无解，当a_____，b_____时，方程ax+1=x－b，有无穷多解．

9．某企业原有管理人员与营销人员人数之比为3：2，总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调_____人参加营销工作，?就能使营销人员人数是管理人员人数的2倍．

10．某商店一套夏装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，?则该服装的标价为_______元．

二、选择题

11．在方程x－2=3

x

，0.3y=1，x2－5x+6=0，x=0.6x－y=9，

21

3

x+

=

1

6

x中，是一元

一次方程的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

12．已知

1

1

x

y

=

?

?

=-

?

是方程x－ay=2的一个解，那么a的值是（）

A．1 B．3 C．－3 D．－1

13．小李在解方程5a－x=13（x为未知数）时，误将－x看作+x，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（）

A．x=－3 B．x=0 C．x=2 D．x=1

14．某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车．设有x辆汽车，则下列方程正确的是（）A．60x=（45x+15）+1 B．60（x－1）=45x－15

C．60（x－1）=45x+15 D．

15

4560

x x

-

==+1

15．在一次美化校园活动中，先安排32人去拨草，18人去植树，后又增派22人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍．问支援拔草和支援植树的分别有多少人？解题时，若设支援拔草有x人，则下列方程中正确的是（）

A．32+x=2×18 B．32+x=2（40－x）C．54－x=2（18+x） D．54－x=2×18 16．一列火车长为150m，以15m/s的速度通过600m的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是（）

A．60s B．50s C．40s D．30s

17．足球比赛的计分规则为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．1?个队打了14场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了（）

A．3场 B．4场 C．5场 D．6场

18．某商品进货价便宜8%，而售价保持不变，那么它的利润（按进货价而定）?可由目前的x%增加到（x+10）%，则x%是（）

A．12% B．15% C．30% D．50%

三、解答题

19．解下列方程：

（1）

0.10.020.10.1

0.0020.05

x x

-+

-=0；（2）

1

2

[1－2x+

1

2

（3x－5）]=x．

20．（2006，湖南长沙）在社会主义新农村建设中，?某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，?那么剩下的工程还需要两队合作20天才能完成．

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；

（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．

21．（2008，北京）京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京，天津间单程直达运行时间为0.5h．某次试车时，?试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6min，由天津返回北京的行驶时间与预计的时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40km，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是多少？22．（2008，陕西省）生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如表所示：

设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：

（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；

（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？

23．（2003，北京市海淀区）某同学在A，B?两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．

（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全家购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），?但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买省钱？

第9课时《一元一次方程》（答案）

◆例题解析

例1（2004，黄冈市）关于x的一元一次方程（k2－1）x k－1+（k－1）x－8=0的解为_____．【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，?①当k－1=1，即k=2时，原方程3x+x－8=0，解之得x=2 ②当k2－1=0且k －1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2x－8=0，解之得x=－4，所以原方程的解为x=2或x=－4，?故答案为x=2或x=－4．【解答】x=2或x=－4．【点评】运用一元一次方程的概念特征解题，?可以从两个方向把握：其一是应用概念的本质属性作出正确的判断；其二是在这一概念下，据概念具备的本质特征得出相应的结论（如本例中的k－1=1和k－1=0且k－1≠0），在解题过程中不断探索，实现解题目的．

例2 解下列方程：（1）21

3

x+

－

51

6

x-

=1；（2）

3

4

[

4

3

（

1

2

x－

1

4

）－8]=

3

2

x．

【分析】对于（1），将方程的两边同乘以6，约去分母，对第（2）题，不难看出，先用分配律简化方程，再求解较容易．【解答】（1）去分母，得2（2x+1）－（5x－1）=6，去括号，得4x+2－5x+1=6，移项，得－x=3，两边同乘以－1，得x=－3．

（2）去括号，得1

2

x－

1

4

x－6=

3

2

x，移项，合并同类项，得－x=6

1

4

，系数化为1，

得x=－61

4

．【点评】（1）①去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，?不要漏乘

没有分母的项；②去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项．（2）技巧性解法的发现需要认真观察问题的结构特征，需要突破习惯性思维的束缚．

例3（2003，襄樊市）一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．?该厂的生产能力是：若专门生产配奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，?为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？【分析】要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可．

【解答】生产方案设计如下：（1）将9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9=10800元．（2）4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为

2000×4元=8000元．（3）4天中，用x天生产酸奶，用4－x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕．由题意，得3x+（4－x）×1=9．解得x=2.5．∴4－x=1.5（天）．故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，则利润为

（2.5×3×1200+1.5×1×2000）元=12000元．

答：按第三种方案组织生产能使工厂获利最大，最大利润是12000元．【点评】运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．对于方案三的销售金额计算时，不能按“问什么设什么”的经验，设销售金额为x元，则不易找到它与已知数量的联系，故列方程将很困难，?这说明列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要．

◆强化训练答案:1．

7

3

2．32－x－3y 3．y=

5

2

4．

2

25

x-

+x+x+2=0 －

48

51

5．m=4 6．3

7．－2 8．≠1 为任意实数 =1 ≠－1 =1 =－1、9．48 10．340 11．B 12．A 13．C 14．C 15．B 16．B 17．C

18．B （提示：设该商品的原进货价为a元，根据题意得

（1+x%）a=[1+（x+10）%]·a×（1－8%），

两边同除以a得1+x%=[1+（x+10）%]（1－8%），解得x%=15%）

19．（1）x=1 4

（2）去括号，得1

4

（1－2x+

3

2

x－

5

2

）=x，

再去括号，得1

4

－x+

3

4

x－

5

4

=x，

移项，合并同类项，得－5

4

x=

3

4

．

两边同乘以－4

5

，得x=－

3

5

．

20．（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：

10 x +（

1

x

+

1

40

）×20=1．

解得x=60，经检验：x=60是原方程的解．

答：乙工程队单独完成这项工程所需要的天数为60天．（2）设两队合作完成这项工程所需的天数为y天，

根据题意得：（1

40

+

1

60

）y=1，解得y=24．

答：两队合作完成这项工程所需的天数为24天．

21．设这次试车时，由北京到天津的平均速度是xkm/h，则由天津返回北京的平均速度是（x+40）km/h．

依题意，得306

60

x=

1

2

（x+40）．

解得x=200．

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是200km/h．22．（1）y=（15+3）x+（20+4）（2000－x）=－6x+48000．

（2）由题意，可得：0.95x+0.99（2000－x）=1960．

∴x=500．

当x=500时，y=－6×500+48000=45000．

∴造这片林的总费用需45000元．

23．（1）设书包的单价为x元，则随身听的单价为（4x－8）元．

根据题意，得4x－8+x=452．解这个方程，得x=92．

因为4x－8=4×92－8=360，故该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元．

（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%=361.6（元）．因为361.6<400，所以可以选择在超市A购买．

在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2?元现金购买书包，总计共花费现金：360+2=362（元）．

因为362<400，所以也可以选择在超市B购买．

因为362>361.6，所以在超市A购买更省钱．