2019年高考理科数学考前必做难题30题(解析版)
2019年高考理科数学 考前必做难题30题
一、选择题
1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.
A. 3
B. 2
C. 1/2
D.1/3
2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．
112
π3
C ．
28π3
D ．
64
π3
3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ?=
（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．已知实数b a ,满足2
25ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）
A ．
2
1 B ．
2
2 C ．
2
2
3 D ．
2
9 5.已知函数f x =sin 2x +π
3 ，将其图象向右平移φ φ>0 个单位长度后得到函数g x 的图象，若函数g x 为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π
12 B. π
6 C. π
3 D. π
2
6．已知M 是ABC △内的一点，且AB AC =
，30BAC ∠= ，若M B C △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14
x y
+的最小值为（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
7．抛物线2
1
2
x y =
在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）
A ．21
B ．32
C ．42
D ．64
8．若曲线2
12y x e
=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ）
9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1
(,)9
+∞
B ．1(,)5
+∞
C ．1(,)3
+∞
D ．(0,)+∞
10.已知双曲线C ： 22
221x y a b
-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ，
P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =
， 120QF QF ?=
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A. 8
B. 222
11．已知直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211x
f x e
x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211x
f x e
x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---
12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()
F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．221164x y -=
B ．2213616x y -=
C ．221416x y -=
D ．22
11636x y -=
13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x %的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了
70?x %1?x %
元，预计年销售量减少x 万件，
要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 10
14.已知函数f x =e x +x 2+ln x 与函数g x =e ?x +2x 2?ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. ?∞,?e
B. ?∞,?1
e C. ?∞,?1 D. ?∞,?1
2
15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，
OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动
点，则
||
||
MN MF 的最大值为 （ ）
A
D
二、填空题
16．若变量x ， y 满足不等式组20,
{5100, 80,
x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2
y
z x =
+的最大值为__________． 17.已知函数f (x )=sin(ωx +?)（ω>0,|φ|<π
2 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2，将函数y =f (x )的图象向左平移π
3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f (x )的图象（ ）
A. 关于点(π
12,0)对称 B. 关于点(?π
12,0)对称 C. 关于直线x =π
12对称 D. 关于直线x =?π
12对称
18．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n
+的最小值等于__________． 19.过抛物线2
14
y x =
的焦点F 作一条倾斜角为30?的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________．
20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()x f x f x x
'+
>
式()()()2
444442
x x f x f x ---<-的解集为 ．
21．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式2
221
3x x m m ---≥恒成立，若p ?为真命题，则m 的取值范围是 ．
22．已知各项都为正数的数列{}n a ，对任意的*
,m n N ∈， m n m n a a a +?=恒成立，且
35472a a a ?+=，则212227log log log a a a +++= __________．
23. 已知12A A ，为椭圆E ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点， 12A A =E 的
两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设动点()
P t （0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值．
24．（本小题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为1
2，E 上一点P 到
右焦点距离的最小值为1．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点(0,2)且倾斜角为60?的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB △的面积．
25．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点
1,2A ??
- ? ???
在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知不经过A 点的直线:l y x t =
+与椭圆C 交于,P Q 两点， P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =．
26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()
22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且
121
4
k k =-
，AP OM ∥，BP ON ∥．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
27．已知函数()()()2ln 1x
f x x e a x x =-+-+.
（1）讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.
28．（本小题满分12分）已知函数f (x )=ln x ?ax +x
a ，其中a >0.
（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性； （Ⅱ）证明：(1+12)(1+13) (1+14)? (1+1
n ) 34（ n ∈N ?，n ≥2）. 29．已知函数f (x )=1nx x +x (I)求函数f (x )的导函数f′(x )； (Ⅱ)证明:f (x )<2e + e (e 为自然对数的底数) 30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < . 2019年高考理科数学 考前必做难题30题 答案及解析 1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）. A. 3 B. 2 C. 1/2 D.1/3 【答案】选B 2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ． 112 π3 C ． 28π3 D ． 64π3 【答案】B 【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △ 中2BF CF ==， 4BC =，在Rt BCS △中，4CS = ，所以BS =，则该三棱锥的外接球的表面积是112 π3 ，故选A ． 3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ?= （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】2 cos 4AB AC AB AC AB BAC AC AB AB AC =∠=== 故选D 4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则2 2)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 2 3 D ． 2 9 【答案】C 5.已知函数f x =sin 2x +π 3 ，将其图象向右平移φ φ>0 个单位长度后得到函数g x 的图象，若函数g x 为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π 12 B. π 6 C. π 3 D. π2 【答案】B 【解析】将函数f x 图象向右平移φ φ>0 个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g (x ) =sin[2(x ?φ)+π 3]=sin(2x ?2φ+π 3)．由g (x )为奇函数可得?2φ+π 3=kπ(k ∈Z )， 故φ=π 6? kπ2 (k ∈Z )，又φ>0，所以φ的最小值为π 6．选B ． 6．已知M 是ABC △内的一点，且AB AC = ，30BAC ∠= ，若M B C △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14 x y +的最小值为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．9 【答案】B 【解析】11 sin cos tan 22 ABC S AB AC A AB AC A A = ???∠=???∠?∠△ 11 tan 122AB AC A =∠=?= ，即11122x y x y ++=?+=， 那么 ( )141442252518y x x y x y x y x y ?????+=+?+=+++= ? ? ????? ≥，故选B ． 7．抛物线2 1 2 x y = 在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ） A ．21 B ．32 C ．42 D ．64 【答案】C 8．若曲线2 12y x e =与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 1 2 C. 1- D. 2 【答案】A 【解析】曲线212y x e = 的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e ． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=a s ． 曲线2 12y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线， 可得s a e s =，并且t= 2 12s e ，t=alns ， 即2 2 1{ ,ln ,.122s a e s s s e s alns e =∴=∴==可得a=2 1.s e e e ==故选A ． 9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1 (,)9 +∞ B ．1(,)5 +∞ C ．1(,)3 +∞ D ．(0,)+∞ 【答案】C 10.已知双曲线C ： 22 221x y a b -= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF = ， 120QF QF ?= ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 8 B. 2 2 2 【答案】B 【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为b y x a = ，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ??> ??? ， 则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ????=---=-- ? ????? ， ∵120QF QF ?= ， ∴2222222 22,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ????---?--=-+=-= ? ?? ???，∴m a =． 设()00,P x y ，由23QP PF = 得， ∴()00003,,bm x m y c x y a ? ? -- =-- ??? ，∴003344 { 3344 c m c a x bm b y a ++= === ， ∵点()00,P x y 在双曲线上，∴22 2233441c a b a b +???? ? ? ????-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-， ∴双曲线C 的离心率为2．选B ． 11．已知直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211x f x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211x f x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =--- 【答案】B 【解析】：设直线l 与曲线x y e =切点为(),m n ， x y e =的导数为'x y e =， 22x y e =-的导数为2'2x y e =，曲线x y e =在(),m n 的切线的方程为()m m y e e x m -=-，即 ()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为 () ()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--， 可得()()222{ 1122 m a m a e e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222l n2120a e a +- -=，即有()()222ln212x f x e x =+--，故选B ． 12. 已知双曲线C 的中心在原点O ， 焦点() F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C ．221416x y -= D ．22 11636x y -= 【答案】C 【解析】如下图， 由题意可得c =设右焦点为F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF ′A ＝∠OAF ′，所以∠AFF ′+∠OF ′A ＝∠FAO +∠OAF ′，由∠AFF ′+∠OF ′A +∠FAO +∠OAF ′＝180°知，∠FAO +∠OAF ′＝90°，即AF ⊥AF ′．在Rt △AFF ′中，由勾股定理，得 '8AF = ，由双曲线的定义，得|AF ′|－|AF |＝2a ＝8－4＝4， 从而a ＝2，得a 2 ＝4，于是b 2 ＝c 2 －a 2 ＝16，所以双曲线的方程为 22 1416 x y -=．故选C ． 13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100 元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了70?x% 1?x% 元，预计年销售量减少x万件， 要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是（） A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 10 【答案】D 14.已知函数f x=e x+x2+ln x与函数g x=e?x+2x2?ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（） A. ?∞,?e B. ?∞,?1 e C. ?∞,?1 D. ?∞,?1 2 【答案】C 【解析】由题意得方程f x=g?x在0,+∞上有解， 即ax=?x2+ln x在0,+∞上有解． 设y=ax,?(x)=?x2+ln x，则由题意得两函数的图象在在0,+∞上有公共点． 由?(x)=?x2+ln x，得?′(x)=?2x+1 x =?2x2+1 x ， 故函数?(x)在(0,2 2)上单调递增，在(2 2 ,+∞)上单调递减， ∴?(x)max=?(2 2)=?1 2 +ln2 2 ． 设直线y=ax与函数?(x)=?x2+ln x的图象切于点M(x0,?x02+ln x0)，如图所示， 由题意得 ?x 02+ln x 0=ax 0 ?2x 0+ 1 x 0 =a ，解得 x 0=1a =?1 ， 结合图象可得当两函数的图象有公共点时，则有a ≤?1， 故实数a 的取值范围为 ?∞,?1 ．选C ． 15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点， OA OB ⊥， △AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则 |||| MN MF 的最大值为 （ ） A D 【答案】C 【解析】设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，因为抛物线的对称轴为x 轴，内接AOB ?为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称轴性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与x 轴的夹角为45 .由方程组22y x y px =??=?得0 2x y p =??=? ，所以,A B 两点的坐标分别为 ()2,2p p 和()2,2p p -，所以4AB p =,21 424162AOB S p p p ?=??==,所以2p =,所 以抛物线的方程为2 4y x =，所以()1,0F ,设(),M x y ，则 MN MF == = = ≤=1x x =，即1x =时等号成立，故选C. 16．若变量x ， y 满足不等式组20, {5100, 80, x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2 y z x = +的最大值为__________． 【答案】1 【解析】 2 y z x = +表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。 17.已知函数f (x )=sin(ωx +?)（ω>0,|φ|<π 2 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为π 2，将函数y =f (x )的图象向左平移π 3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f (x )的图象（ ） A. 关于点(π 12,0)对称 B. 关于点(?π 12,0)对称 C. 关于直线x =π 12对称 D. 关于直线x =?π 12对称 【答案】A 【解析】由题意得T 2= π2 ∴T =π,ω= 2πT =2,因为函数y =f (x )的图象向左平移π 3个单位后， 得到的图象关于y 轴对称，所以y =sin(2x +2π3+φ)关于y 轴对称，即 2π3 +φ=π 2 +kπ(k ∈ Z )∵|φ|< π2 ∴φ=?π 6，所以f (x )=sin(2x ?π 6)关于点(π 12,0)对称，选A. 18．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n +的最小值等于__________． 【答案】 34 【解析】由题意得： 224m n a a a = 即222222224m n a a a --???= 424m n +-= 6m n ∴+= ()212111211932226622624 n m m n m n m n m n ????+=++?=+++≥?= ? ????? 19.过抛物线2 14 y x = 的焦点F 作一条倾斜角为30?的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 【答案】 163 20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()x f x f x x '+> 式()()()2 444442 x x f x f x ---<-的解集为 ． 【答案】()8,∞- 【解析】取()12x f x =+，则()244143422x x x x -?? -+-<- ?? ? ，易解得8x <；故答案为()8,∞-． 21．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式2 221 3x x m m ---≥恒成立，若p ?为真命题，则m 的取值范围是 ． 【答案】1 【解析】对任意x ∈R ，不等式22213x x m m ---≥恒成立， ∴()2 2min 123x m m ?? ---??≥，即232m m --≤，解得12m ≤≤，因为p ?为真命题，所 以1 22．已知各项都为正数的数列{}n a ，对任意的*,m n N ∈， m n m n a a a +?=恒成立，且 35472a a a ?+=，则212227log log log a a a +++= __________． 【答案】21 23. 已知12A A ，为椭圆E ： 22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点， 12A A =E 的 两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形． （1）求椭圆E 的方程； （2）设动点() P t （0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值． 【答案】（1）2212 x y +=；（2）()12max 3 4d d =. 【解析】（1）由12A A =2a =a = 因为E 的两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形． 所以b c =，又2222a b c =+=，解得2 1b =， 故椭圆E 的方程为2 212 x y +=． （2）不妨设0t >．直线1PA 的方程为x y t =直线2PA 的方程为x y t = 设()()1122M x y N x y ，，，， 由22{ 12 x y t x y = +=，得22181220y y t t ??+-= ???，可得1269t y t =+． 又由22{ 12 x y t x y = ++=，得222420y y t t ??++= ???，可得2221t y t -=+． 则12226291t t d d t t =?++ 24212109 t t t =++ 2 212 910 t t =++． 因为2 29 6t t + ≥，当且仅当23t =取等号，则22123 9 4 10t t ≤++， 即()12max 3 4 d d = ．当且仅当t = 24．（本小题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 2，E 上一点P 到 右焦点距离的最小值为1． （1）求椭圆E 的方程； （2）过点(0,2)且倾斜角为60?的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB △的面积． 【答案】（1）22 143x y +=；（2 ． 25．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，且点 1,A ? ?? 在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知不经过A 点的直线:l y x t = +与椭圆C 交于,P Q 两点， P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =． 【答案】（1）2 214 x y +=（2）见解析 【解析】（1 ）由c a =12b a =，所以22 12 { 1314b a a b = +=，解得2{ 1a b ==， 所以椭圆的方程为： 2 214 x y +=. （2）设()()()112211,,,,,P x y Q x y R x y -- ，联立方程，得2 2{ 14 y x t x y = ++=， 解得22 10x t +-=， 所以2 40,22t t ?=->-<<即， 2 1212,1x x x x t +=?=-， ∴()( )()() 121212121211221111AN AM y x x y y y k k x x x x ??-+++ -????+=+=+-+-， 分子()( )121211x t x x t =+-++++???? ( ) )( ) 2121210x t x x t t =++=-+=. ∴OMA ONA ∠=∠, ∴AM AN =． 26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆() 22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且 121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 2019高考数学常见难题大盘点：数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0旳两个根()αβ>，'()f x 是f (x )旳导数；设1 1a =， 1 ()'() n n n n f a a a f a +=- (n ＝1，2，……) (1)求,αβ旳值； (2)证明：对任意旳正整数n ，都有n a ＞a ； 解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0旳两个根()αβ>， ∴ αβ== ； (2)'()21f x x =+， 21 115(21)(21)12 442121 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝ 5 114 (21)4212 n n a a ++-+，∵1 1a =， ∴有基本不等式可知 20a ≥>( 当且仅当1a = 时取等号) ，∴ 20a >> 同，样3a > ，……，n a α >= (n ＝1，2，……)， 2. 已知数列{}n a 旳首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-）， 24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 旳首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥） · （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 旳前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 旳值； （3）当a>0时，求数列{}n a 旳最小项· 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 旳不同而要分类讨论· 解：（1）∵2n a b n n += ∴ 22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+， ∵1a ≠-，∴ 2 0b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列· （2） 1(44)(21)34(22)2 21 n n n a S a a a -+-=+=--++- 2018年7月22日 - 高考数学选择题难题突破训练(含解析) - 高考数学选择题难题突破训练一.选择题(共 30 小题) 1.已知集合 M={(xy)|y=f(x)}若对于任意实数对(x1y1)... - ? 4.5分 15页 2018年高考数学真题较难题汇编_ 高三数学_数学_高中...(x)在 x=x1x2(x1≠x2)处导... ? 11页 2018年12月22日 数学高考导数难题导数零点问题导数整理 - 含参导函数零点问题的几种处理方法方... ? 6页 2019年08月18日 上述两题主要考查了学生应用导数研究函数单调性的方法以及分类讨论及转化与化归... 2018年8月22日 - 前虽然全国高考使用试卷有所差异但高考压轴题目题型基本都是一致的几乎没有差异如果有差异只能是难度上的差异高考导数压轴题考察的是一种综合能力其考察内容方... - 2018年6月12日 - 接下来我们来看一下今年高考数学题的难易程度。首先看选择题第一二两题这两道题按高考的出题套路来讲都是最基本的题型今年高考也是一样题出的很简... - 2019年3月7日 - 1984年理科数学题号称高考史上最难。总分120分附加...值 得一提的是: 选择题不选、选错、选多都倒扣1分...87特别是理科压轴题的难度系数为 0.11属于超难题... - 2018年11月13日 - 高考数学零点问题高考导数大题典型套路绝对值得一学。 函数零点问题是高考数学...(2)更简单这样的情况一般出现在选择或填空题中如果是 大题一般不大可能出现... - 2019年5月6日 - 但是往往做高考数学题的时候你会发现一个问题无论再难的题型只 要解到后面都是非常基础的知识点不知道同学们是否发现过。其实难题都是基于基础之... - 2018年3月31日 - 高中数学是高考三大主科中的最难科目是大多数同学...今天师姐 为大家整理了十个高中数学选择题解题实用又...帮助大家解决高中数学各大题型难 题还有更多的超实用... 2014高考数学难题集锦(一) 1、已知集合，若集合，且对任意的，存在 ，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，. （Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：； （Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的 一个基底. 2、设函数 （1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围； （2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式： 3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为， 直线与轴的交点为． （1）用表示和; （2）求证:; （3）设,,求证:． 4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当 时，,；当时，，. （Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式； （Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有. 5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R） （1）求f（x）的解析式； （2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+; （3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由． 6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”. （1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”； （2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”； （3）设数列，构造 2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D. 高考等值试卷★预测卷 文科数学（全国Ⅲ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．? B ．[01]， C ．{1} D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z = A ．2 B ．1+i C ．-1+i D ．1-i 3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是 A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加 B ．2016年销售量的同比增长率最低 C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长 D ．有连续三年的销售增长率超过30% 4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是 A ．()sin f x x x = B ．2()f x x x =+ C ．()e x f x x = D ．()e e x x f x -=- 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 100% 90% 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 ? ? ? ? ? ? ? 空气净化器销售量（万台） 同比增长率（%） 新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ） A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割 2019-2020年高考模拟预测数学（理）试题含答案 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C n k P k(1－P)n-k 球的表面积公式：S=4πR2，球的体积公式：V=πR3，其中R表示球的半径 数据x1,x2,…,x n的平均值，方差为：s2= 222 12 ()()() n x x x x x x n -+-++- 第I卷（选择题共60分） 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,3}，N＝{3,4,5}，则M∩(c U N)＝（） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i2(1+i)的虚部为（） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n}成等比，a1+a2=3，a3+a4=12,则a4+a5的值是（） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（） A. 2 B. C. 2+ D. 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在 双曲线上，则其离心率为（） A. 2 B. +1 C. D. 1 6．在四边形ABCD中，“=2”是“四边形ABCD为梯形”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．积分的值为（） A. e B. e-1 C. 1 D. e2 8．设P在上随机地取值，求方程x2+px+1=0有实根的概率为（） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【高中数学】数学《数列》复习知识点 一、选择题 1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ?==，则数列{} (1)n n a -的前40 项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式 作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{} (1)n n a -，两两组 合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362 a a S += = ， ∴134a a +=，① ∵3422128a a ?=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-， ∴{} (1)n n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++???+-+==， 故选：B . 【点睛】 本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题 2．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,, (2222222222) n n n ，则该数列第2019项是（ ） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 【答案】C 【解析】 【分析】 2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由． 2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全部使用全国卷． 研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷 命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近3年全国高考理科数学Ⅲ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近3年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共22类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看． 一、集合与常用逻辑用语小题： 1．集合小题： 3年3考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可 1．已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为 3年0考．这个考点一般与其他考点交汇命题，不单独出题． 二、复数小题： 3年3考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z = 全国三卷9年高考理数学分析及2019高考预测 三、平面向量小题： 3年3考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，一般不侧重 3年7考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．三角不考大题时，一般考三个小题，三角函数的图 3年6考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．球体是基本的几何体， 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） 2019年高考理科数学 考前必做难题30题 一、选择题 1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）. A. 3 B. 2 C. 1/2 D.1/3 2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ． 112 π3 C ． 28π3 D ． 64 π3 3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ?= （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知实数b a ,满足2 25ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 2 3 D ． 2 9 5.已知函数f x =sin 2x +π 3 ，将其图象向右平移φ φ>0 个单位长度后得到函数g x 的图象，若函数g x 为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π 12 B. π 6 C. π 3 D. π 2 6．已知M 是ABC △内的一点，且AB AC = ，30BAC ∠= ，若M B C △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14 x y +的最小值为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．9 7．抛物线2 1 2 x y = 在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ） A ．21 B ．32 C ．42 D ．64 一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 中，11a =，122 n n n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ． 25 B ． 13 C ． 23 D ． 12 2．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 3．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 4．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足* 112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ） A ．63243a a a ≤- B ．2736+a a a a ≤+ C ．7662)4(a a a a ≥-- D ．2367a a a a +≥+ 5．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n n n a a n +=+?，则15a =（ ） A ．151422?+ B ．141322?+ C ．151423?+ D ．151323?+ 7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n + C ．2(1)1n -+ D ．2n 8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 9．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- C ．() 1 1(21)n n a n +=-- D ．() 1 1(21)n n a n +=-+ 2019年高考数学试题分项版——统计概率（原卷版） 一、选择题 1．(2019·全国Ⅰ文，6)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是() A．8号学生B．200号学生 C．616号学生D．815号学生 2．(2019·全国Ⅱ文，4)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为() A. B. C. D. 3．(2019·全国Ⅱ文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙 4．(2019·全国Ⅲ文，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是() A. B. C. D. 5．(2019·全国Ⅲ文，4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 6．(2019·浙江，7)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是() 则当a在(0,1)内增大时，() 【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米）， 数学《复数》知识点练习 一、选择题 1．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则11223320202020 2020202020202020C x C x C x C x +++???+=（ ） A ．1i + B ．i - C ．i D ．0 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1i x i i = -是虚数单位）， 而11223320202020 20202020 202020202020(1)1C x C x C x C x x +++?+=+-， 而2 121(1)111(1)(1) i i i i x i i i i i -++++= ===--+-， 故11223320202020202020202020 202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++?+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题． 2．若1z i =+，则31 i zz =+（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【答案】B 【解析】 因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112, 1 i zz i i i zz =+-==+，故选B. 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B ． 4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） AB=（2，3），AC=（3，t），|BC|=1，则AB?BC=（ ） M233 3 7.8.9.10.11. 12.13.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α，β平行于同一条直线α，β垂直于同一平面 若抛物线y =2px（p＞0）的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点，则p=（ ） 2348下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2 ）单调递增的是（ ）f（x）=|cos2x| f（x）=|sin2x|f（x）=cos|x|f（x）=sin|x|已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）15553325 5设F为双曲线C：x 2a 2-y 2b 2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）2325 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）．若对任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-89 ，则m的取值范围是（ ）（-∞，94]（-∞，73]（-∞，52]（-∞，83 ]我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ． A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D. 数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则A B = ． 2．计算2 2231lim 41 n n n n n →∞-+=-+ ． 3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．已知2 221 4x y x a y a +=-??+=? ，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7 ．在6 x ? ? 的展开式中，常数项等于 ． 8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1 cos 4 C = ，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数1 2 y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ． 11．在椭圆22 142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称， 若有121F P F P ?…，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ． 12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ?，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ ∈， 则t 的值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是 （ ） A ．2x y = B ．1 2 y x = C ．tan y x = D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α?，b β?，c γ?，则直线 a b c 、、不可能满足以下哪种关系 （ ） A ．两两垂直 B ．两两平行 C ．两两相交 D ．两两异面 16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ， 且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ?? ??? 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．如图，在正三棱锥P ABC - 中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积． 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无--------------------效 ---------------- 高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速，应“多一点想的，少一点算的”，“不算就不会算错”因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程，但简化毕竟是简化，数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学，没有充分的依据，所有的条件反射都是错误的，只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证，答案才可确定，“做题不可以凭印象来，凡‘差不多就是’的都是错误的，无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的，思路也是简单的，如果没思路、做不下去或觉得复杂，或者发现做的时候需要大 量计算的时候，可以明确的告诉自己，你的方向错了，可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时，可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做，确定答案之后，从选项里找即可。 2.筛选法（排除法） 去伪存真，筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或将比例数看成具体数带人，总之，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。 4.验证法（代入法） 将各选项逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。 6.试探法 理科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.2019高考数学常见难题大盘点：数列
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