直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法

5、将C点与D点相连形成线段CD

6、作CD的中垂线交AB的延长线于N

以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一

7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,

连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB

二、证明

在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)

2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）

3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′

为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）

4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D

5、将C点与D点相连形成线段CD

6、作CD的中垂线交AB的延长线于N

以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一

7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,

连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB

二、证明

在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)

2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）

3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′

为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）

4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D

5、将C点与D点相连形成线段CD

6、作CD的中垂线交AB的延长线于N

以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一

7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,

连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB

二、证明

在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)

从上面作图时可知AG=FB，所以∠AOG=∠FOB

这时只要能证明∠GOF也=∠FOB

,即可证明∠AOG=∠FOB=∠GOF,则任意角∠AOB就被三等分

1、以AO为半径，以O为圆心将弧AB（弧1）从右下方适当延长，再以B为圆心，以G F为半径划弧交弧AB(弧1)的延长线于P,连接OP和BP，则新形成的△POB与△GOF全等，即在他们中，∠GOF=∠BOP

2、连接GP交BO于T，从图上看，GP连线似乎经过E点，因未做数学证明，所以，不能确认。这时，在以边GO和PO及弧GP形成的由三个角组成的扇形中，扇形两边的两个角相等（∠GOF=∠BOP），所以，F点和B点，**和P点都是以GP的中垂线RO为对称轴对称分布的点。，所以FB与GP平行。

同样，在以边AO和BO及弧AB（弧1）形成的扇形中，扇形也是由三个角组成的，两边的两个角也相等，连接GE（E点是AB和FO的交点）和FH(H点是AB和GO的交点),这时，**和F点，A点和B点,H点和E点都是以AB的中垂线SO为对称轴对称分布的点，所以GF与AB平行。对称轴两边对应的角相等，所以∠GAB=∠FBA ∠GFH=∠FG

E ∠GEH=∠FHE

3、作GF的延长线至V, 因为GF与AB平行，所以内错角相等即∠VFB=∠FBA

4、在△AGE和△BFH中,已知∠FBA=∠GAB ∠GEH=∠FHE 所以，它们的第三个角也相等。即∠AGE=∠BFH

5、因为∠AGE和∠BFH的同一侧的边FB和GP平行，所以，他们的另一侧的边AG和F

H也平行。则形成平行四边形FGAH，其对角相等。即∠GAH=∠GFH

已知∠GFH=∠FGE 所以∠FGE也=∠GAH

已知∠GAH（∠GAB）= ∠FBA,而∠FBA又=∠VFB

所以∠FGE=∠VFB

这样GE也与FB平行（同位角相等）

6、这时，GE连线和GP连线都与FB平行，且都经过**，所以，它们是相互重叠的同一

直线。因为，经过同一点G与FB平行的只能有一条直线。E点是GE直线上的点。也在

这条线上，则GP连线必然经过E点。也就是说AB，FO和GP在这一点相交。

7、在△AEO和△PEO中,AO和PO是同一弧的半径，所以AO=PO

EO是他们的公用边，而且已知∠AOG=∠FOB

∠GOF=∠BOP 所以∠AOG+∠GOF=∠POB+∠FOB

即∠AOE=∠EOP

所以△AEO和△PEO全等则对应角∠AEO=∠PEO

因为GF与AB(HE)平行，所以∠GFO=∠HEO(同位角相等)

因为EB与GP(ET)平行，所以∠BFO=∠TEO(同位角相等)

因此∠GFO=∠BFO △GOF和△FOB都是等腰三角形，所以，当他们的一个底角相等时，其顶角相等，即∠GOF=∠FOB ，

也=∠FOB，则任意角∠AOB被三等分

三大尺规作图问题

引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。

利用圆设计图案

《利用圆设计图案》教学设计浙江省诸暨市暨阳小学余寿华（初稿）浙江省诸暨市实验小学教育集团陈菊娣（修改）浙江省诸暨市教育局教研室汤骥（统稿）教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。教学重点：利用圆设计图案。教学难点：确定圆心与半径。教学准备：课件。教学过程：一、创设情境，导入新课教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片）教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。二、教学例题，探究画法 1．出示例题。用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。

2．探究画法。教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？学生：他画的圆太大了。教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？学生：半径。教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）

尺规作图三大几何难题教学提纲

尺规作图三大几何难题

安溪六中校本课程之数学探秘尺规作图三大几何问题一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？二、问题背景传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是

“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。三、问题探秘 1.立方倍积关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟

用圆规和直尺作出美丽的图案

用圆规和直尺作出美丽的图案 ——“用尺规作线段和角”教学设计山东青岛经济技术开发区第二中学（266500）张敬华一、教材依据《用尺规作线段和角》是北师大版义务教育标准实验教材七年级（下册）第二章《平行线与相交线》第四节的内容。二、设计思想《用尺规作线段和角》是继《平行线的特征及探索平行线的条件》之后的一个学习内容，在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用。本节课把具体的生活情境引入教学，让学生感受数学和日常生活的密切联系，同时感受作一条线段等于已知线段的现实意义。通过尺规作美丽的图案的活动，培养学生的审美意识，让他们在学习中体会数学美和几何美，更重要的是进一步发展学生的空间观念，养成研究性学习的良好习惯，为后续章节的学习打下基础。由于七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，具有较强的好奇心、求知欲，学生间相互合作相互提问的积极性也比较高，同时他们已经具备了一定的归纳总结和表达的能力，而且具有自己的审美观，所以他们对于学习尺规作图的热情应该是比较高的。基于以上的分析，本节课的设计思想是：学生在教师组织、引导、点拨下积极参与，勤于动手，在自主探究与合作交流的过程中真正有效的理解和掌握知识。三、教学目标 1、认知目标 ⑴了解尺规作图的基本知识及步骤； ⑵了解作一条线段等于已知线段在尺规作图中的简单应用。 2、能力目标 ⑴通过尺规作图作一条线段等于已知线段的作图活动，初步体会尺规作图的意义。 ⑵能用恰当的数学语言表达自己的操作过程，提高数学表达能力。 ⑶在尺规作图的过程中，培养学生的动手能力，积累数学活动经验。 3、过程和方法目标 ⑴教师运用演示法把实物模型、教具演示给学生看，使学生直观、具体、形象地感知图形。 ⑵在学生进行了自主探索之后，让他们进行小组讨论，使它们互相促进、共同学习，提高学生的合作交流能力。 ⑶教师运用练习法，精心设计随堂练习，巩固和提高学生所学知识。

MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角

MathStudio for iPad 使用方法入门（36）阿基米德螺线与三等分任意角 2016年6月16日

★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧

直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763

首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里再画出与3 个同心圆相交的阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498

P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O

初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。义务教育阶段学生首次接触的尺规作图是“ 1.3 线段的比较与画法一、重点、难点分析本节学习的重点是能够画出已知线段的和、差、倍、分．难点是相关概念的理解以及画法的掌握．1．线段和线段的长度 “线段”是一个几何图形，它具有其形状、位置和大小，对于两条线段来说，它们的形状相同，都是直线的一部分，但它们可能处在不同的位置，其大小也不一定相同，如长方形的相邻的两条边，它们都是线段，但所处的位置不同，且大小也不同；而正方形的相邻两边，它们虽处的位置不同，但大小是相同的，一条线段的大小，可以用它的“长度”来刻划，“线段的长度”是用长度单位度量而得到的，它是一个带着长度单位的正数，由此可见，“线段”和“线段的长度”是两个完全不同的概念，前者是一个图形，后者是一个数量． 2．线段的比较比较两个小朋友的高矮，可以让他们站在一块平地上，让他们的脚底平齐，再看他们的头项．比较两条线段时，也可用类似的方法，通过图形来比较，即将它们移至同一条直线上，使它们的一对端点重合，另一对端点落在重合端点的同侧，通过对这两个端点的位置的观察比较出这两条线段的大小． (1)(2)(3) 比较两条线段AB，CD的长短，首先将它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在直线A和C的同侧，如果点D和B重合(图1)就说线段AB和CD相等，记作AB=CD．如果点D在线段AB上(图2)就说线段AB大于线段CD记作AB＞CD，如果点D 在线段AB外(图3)，就说线段AB小于CD记作AB＜CD．比较两条线段的大小也可分别度量出它们的长度通过对数量的大小的比较来说明线段的大小，“两条线段相等”是说明这两条线段“长度相等”． 3．线段的中点在图中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点．这时有，AC＝2AB ＝2BC，AB＝BC＝AC．从图中，我们还可以看到点B和点C把线段AD分成三条相等的线段，点B和点C叫做线段AD的三等分点． 4．线段公理所有联接两点的线中，线段最短．这个公理也可简述成：两点之间、线段最短．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．这个公理在实际中的应用是很广泛的．例如为了节省材料，降低造价，从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．二、知识结构

尺规作图典型例题

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典型例题例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段已知：线段求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法：作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点即为所求作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点即为所求作法三：1、作线段BC＝

2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础，不要求写出基本作图的作法和证明。例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m；（2）延长线段CM至A，使MA=CM;

（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问

三等分角

题目：三等分任意角地点：北京师大二附中主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21 这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。

关于任意角的三等分问题

关于任意角的三等问题数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 105012007016 张成娇【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究. 【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；

一、前言《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明. 二、关于任意三等分角的历史在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否: ①将一个给定角三等分? ②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？ ③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题. 其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849

15.5 用直尺和圆规作图

§15.5用直尺和圆规作图（1）教学目标： 1、掌握尺规作图的基本技能，能完成两种基本作图：做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角。 2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法。教学重点：做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角教学难点：做一个角等于已知角教学过程：一、创设情境，引入新课课本166页图15-36，你能用不带刻度的直尺和圆规做一个和它同样形状、同样大小的图案吗？要想解决这个问题，我们先要学会用直尺和圆规做一条线段和一个角。二、合作交流，解读探究 1、做一条线段等于已知线段如图，已知线段a，用直尺和圆规作一条线段，使它等于线段a. 2：作一个角等于已知角

如图，已知∠AOB,用直尺和圆规作∠A’B’C’，使 ∠A’B’C’=∠AOB 当堂训练 1、如图，在射线AB上作线段AC使线段AC等于已知线段a。 2、如图作在∠AOB内作射线OC使∠AOC=∠BOC。 3、已知线段a，线段b，作线段c为线段a、线段b的和。教学小结： 1.我掌握的知识： 2.我不明白的问题： 15.5 用直尺和圆规作图（2）教学目标：1、能利用尺规在已知两角夹边，两边夹角或三边的条件下作出三角形 2、会表述根据已知条件用尺规作出三角形的过程。

3、把自己的语言与教科书的规范几何语言做对比，体会数学语言的准确和简洁，逐步使自己的语言规范化。教学过程前置准备：如何利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段？如何利用直尺和圆规作一个角等于已知角？预习教材P168 的内容。准备好直尺和圆规。掌握如何利用两种基本作图按要求作三角形。自主学习合作共建任务一：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。已知：∠1，∠2，线段m如图求作：△ABC,使∠B= ∠1，∠C=∠2, BC=m. 任务二：已知三角形的两边及夹角，作三角形已知：线段a ,c ，∠α 求作：△ABC,使BC= a ,AB=c, ∠ABC= ∠α

利用圆设计图案教学设计(供参考)

《利用圆设计图案》教学设计教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。教学重点：利用圆设计图案。教学难点：确定圆心与半径。教学准备：课件。教学过程：一、创设情境，导入新课师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片）师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。二、教学例题，探究画法 1．出示例题。用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2．探究画法。师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？生：他画的圆太大了。师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？生：半径。师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。师：如何画出圆内的最大的正方形呢？师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）师：除了确定圆的半径，还要确定什么？生：圆心的位置。师：如何确定圆心的位置？

尺规法三等分任意角

学习尺规法三等分任意角 [正文摘要] 本文主要论述有关仅用尺规作图法来三等均分一个任意角的问题，以及它的来历，还有著名数学家的解答此几何问题的方法。还有本人对此题的理解，最后用事实论述到尺规作图是不能把一个任意角三等均分的。 [关键词] 尺规法任意角三等均分 [正文] 当我在数学上学会了用尺规作图法去作平分线平分一个任意角的时候，我就会提出另一个问题：“那么如何用尺规法把一个任意角三等均分呢？”我觉得这个问题很有趣。我也曾经向我的数学老师讨论过这个问题，于是我翻查了一些资料，就发现：其实，“如何用尺规法三等均分一个任意角”这个问题，是属于古希腊的三大数学难题之一，也称“三等分角”。它是来源于：“据说在公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城，他深深懂得发展科学文化的重要意义，就吸引了当时许多著名的希腊数学家都来到这个城市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。”①这好像是把这个“三等分角”问题给解决了，但是实际上，阿基米德在利用尺规作图时擅自在本来没有刻度的尺上标上了一个刻度，这一举动正好违背了尺规法作图的原则------当然当所有人都称赞阿基米德了不起的时候，“阿基米德却说：‘这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。’②阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规做图法中则是不允许的。”④ 那么这道题目应该怎样理解呢？阿基米德曾经想过：预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C，对于任意画的一个角，就以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆的两条边相交于A、B两点，然后，就移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使P点在圆周上移动.当直尺正好通过B点时停止移动，将CPB三点连接起来，接下来，将直尺沿直线CPB 平行移动，使C点正好移动到O点，并作直线OD，可以检验AOD正好是原来角AOB的三分之一。③但上面已经说过，他这样做是不行的。那么就是说阿基米德也无法真正地利用尺规法解决了“三等分角”。接着似乎有人把这个问题给解决了，那就是：海倍阿斯利用了他自己给出的超越曲线；尼克米德利用了他的蚌线；牛顿利用离心率为2的双曲线……⑤但后来直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！” 尽管是利用牛顿的方法还是尼克米德的，都是只能接近地把一个任意角分为三等份，并

用圆规和直尺求作三等分之角

受一位耄耋老人----笔名义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作方面有所建树,撰写了几百首古体和现代体诗词,特别在古代数学几何作图难题之一----求作三等分之角方面，他潜心钻研十余年,其成绩能否得到专家们的肯定,请审查、验证。用圆规、直尺求作∠O的三等分湖南省临湘市坦渡乡敬老院义墨 2012.7.18 用圆规直尺求作∠O的三等分湖南省临湘市坦渡乡敬老院义墨一、作法（一）求“ D ”如下图

以O为圆心，作一圆，联弦AB。则AB线的中点，即“ D ” 二、作法（二）求“ F ”如下图 1、以B为圆心，BO之长为半径。取BE 弧等于60度

则△BOE为等边△ 2、联ED延长交圆O于F点，则F为角∠O的三等分点。（这是作法，求证在后）三、成图

1、联FOK，与FB之后叫成图° 2、车成图里∠F=∠X+∠Y。 3、求∠Y用公式，叫∠Y守恒的公式，即∠Y=(180-∠2) ÷2-(180-∠3) ÷3 4、如此类推用公式里的∠Y一律等于30°不变四、求证用图 (一)、三等角图联AF=FF=FB联AO,FO,FO,BO则此图叫三等角图。故三等角图的定义就是三个角都相等。 (二)、三不等角

在三等角图里，图左一个等角叫∠1.图中与图右共两个个等角叫∠2. ∠1+∠2叫∠3（故∠3即∠O）以故三不等角的定义是∠1 ：∠2 ：∠3=1 ：2 ：3 五、等腰△FOB

联FB,则∠F=∠B=(180-∠2) ÷ 2六、成图

用尺规作图解决任意角的三等分

用尺规作图解决任意角的三等分引言：通常来说，尺规作图的方法是不能三等分任意角的。如果继续使用原有的尺规作图的方法，我也不能解决这个几何问题。原因在于传统的尺规作图停留在二维的范围，而我现在要用的方法是在三维的参考系中使用直尺、圆规、铅笔、作图纸解决三等分任意角。首先，介绍所需的工具，本方法中所使用的圆规不是以铅笔画圆，而是以刀“划圆”。至于直尺和铅笔就是传统的工具（没有刻度）。至于白纸，我将利用它实现二维到三维的转换。方法介绍：下面利用图解的方法来阐述我的思路。 1、首先我们在纸面上任意画一个∠AOB 2、我们以顶点O 3、利用另一张白纸啮合在步骤2得到的圆上并利用铅笔在白纸上标记弧A ’B ’(X,Y)的位置。

4、展开被标记的白纸，连接XY 得到直线XY ，再利用尺规作图（方法见下图）三等分此直线。方法简述：作XY 垂线XC;和平行线QP; 在QP 上作三个等圆如图（三直径相加不等于XY ）；如图连接即可三等分XY （简单相似三角形即可证明） X Y C Q P C J

5、将白纸贴回圆O（XY对准弧A’B’）即可三等分弧A’B’ 6、利用等弧对应的圆心角相等的原理，简单可证三等分了∠AOB。总结：也许大家会争议步骤3（同理的步骤5），在同指导教员（刘俊红教员）讨论时，我们也意识这一点也许会存在争议，利用了纸面的可重塑性到底算不算尺规作图？我们思考了很久，如果从单从操作的角度来讲，的确借助了“捷径”，但是如果从理论来讲，利用这种方法可以在三维的坐标系（不需要它的坐标刻度）中只借助直线方程和圆的方程（也就是圆规和直尺）就可以三等分任意角，大致思路是利用我们可以精确三等分直角和特殊角的原理（见下图），在弧面中三等分弧（本质来说是与前述方法一致的，但在弧面中三等分弧的方法是利用中垂线的方法）。在三维坐标系中平分是在理论上不需要借助其它工具的，但是如果没有其他工具的帮助的话会有很大的误差，所以我利用白纸为辅助的工具，增加它的精度。当然如果利用这个方法制作出模具的话就可以精确三平分角了。借此想表明我的一个观点：在一维或者二维难以解决的问题，也许可以在更多维的坐标系内轻易解决（多维到少维也许也存在此类现象……）。举一个简单的例子：人类在长时间

任意角的尺规等分

任意角的尺规等分湖南娄底华达技校黄正洪从平面几何常识中，我们知道任何一段弧都是某个已知圆周的一部分，言下之意即为，每段弧都有相应的圆心角，且由此而知弧的任意等分即为相应圆心角的任意等分，而圆心角的任意等分即为任意角的任意等分。遗憾的是好几个世纪以来，关于角的等分情结，把个本就不怎么平静的数学港湾闹腾得沸沸扬扬，但尺规作图的业绩却仍然局限在无法将任意角进行3等分、5等分、7等分、9等分……面对解不开的迷团，叫人伤感不已，但天下不心服之士，一代接一代，弄得头昏脑胀于其间，累得疾病缠身于其后，辛然失落，不堪回首。有意思的是当我驻足于山重水复的大自然间，面对蓝的天，绿的地，灵感突然涌动，我想到，若把尺规作图的作业放入三维的空间，在多一个维度的配合下，多一份思绪的搓揉，也许比在二维的平面上更容易收获心中之苦果。巧的是我从遐想里真的觅到了“藏宝”，因感觉其表述还算清晰，如图之示的内容就留给有缘诸君。（一）、由于/2 ?……都是?的2n等分角、这 ?、/16 ?、/4 ?、/8 些角是我们能用尺规作图的方法画得出来的，而在?的2n等分角之间还存在诸如/3 ?、/7 ?……这些角是我们目前还不能用尺规?、/6 ?、/5 作图的方法画出来的。为解决此问题，本文把以隐形的1为分子，以连续的自然数为分母的?的分数系数都简称为?的真分数系数。（二）、在某平面上选取适当长的AB为底，分别以/2 ? ?、/8 ?、/4 为顶角，作各自独立的等腰三角形OAB、CAB、DAB。由于这组三角

形松散地处在平面上，既无规律，又无联系，人们实在不知如何对其进行利用，这就是本文考虑将其放入空间直角坐标系的原因。（三）、设顶角为/2 ?、底边长为AB的等腰三角形OAB的顶点O与坐标系的原点O重合，腰OA与OY轴重合，底边AB落在水平象限。定义此一特定位置的三角形为本文的基础三角形。定义过O且垂直于水平象限的OZ轴叫立轴。定义OX轴叫水平轴。如此操作之后，我们研究的对象便在空间直角坐标系中有了一个特殊的家。（四）、现在我们要将顶角为C，C为/4 ?的等腰三角形CAB移进空间特殊的家，移进的方法是：以基础三角形OAB的底AB不动作为三角形CAB的底边，以A为圆心，以独立的等腰三角形CAB的腰为半径，画弧交立轴于C，连接CA、CB（由于在立体几何中对 CA = CB的证明很是容易，故我们在此惜墨且加以认定），如此操作之后，顶角为/4 ?的等腰三角形CAB就移进了空间特殊的家，其顶角点C则同基础三角形的顶角点O的情形一样在立轴上进入攀升排队。（五）、与以上（四）的操作过程完全相同。现在我们要将顶角为/8 ?的等腰三角形DAB也移进空间特殊的家，此说即为，以上三个等腰三角形在水平象限都同底为AB，而其顶角点D则同顶角点O和C 的情形一样在立轴上进入攀升排队。由于底边相等的等腰三角形，顶角越小的其高越长，于是我们看到O、C、D在立轴上的位置一点比一点高。面对立轴上排队顶点之攀升，我们的心中产生了一种特别的数学想象，此想象即为，我们要把D到O之间的距离看成一个特殊弹簧，并将之向下压缩，且要压缩

小学6年级人教版数学学案第5单元课件用圆设计美丽的图案

《利用圆设计图案》教学设计教学内容:人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。教学目标: 1.通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2.在画图的过程中提高画圆的技能,发展学生的观察能力与操作能力。 3.学会欣赏数学的美,热爱数学学习的情感。教学重点:利用圆设计图案。教学难点:确定圆心与半径。教学准备:课件。教学过程: 一、创设情境,导入新课教师:一个人的力量很有限,一群人的力量可以很强大;一个圆很单调,一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片）教师:构成这些图案的基本图形都是圆,你想用圆来设计一个美丽的图案吗？【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案,通过图形的美激发学生的兴趣,使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单,易于学生观察图形的构成方式,有利于新知探究。二、教学例题,探究画法 1.出示例题。

用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2.探究画法。教师:请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。学生尝试后,教师选择典型性错误在黑板上展示,引导学生分析错误原因。教师:这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？学生:他画的圆太大了。教师:说明要完成图形,对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？学生:半径。教师:请看屏幕,通过观察分解图,你能确定圆的半径吗？学生:在圆内画一个最大的正方形,正方形的边长就是小圆的直径。教师:如何画出圆内的最大的正方形呢？教师:可以以圆心为交点,画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交,所形成的4个交点,就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来,先画两条互相垂直的线段,再以垂足为圆心画圆,圆与两条垂线分别相交,连接4个交点,即可得到圆内最大的正方形。）

初中尺规作图详细讲解(含图)

初中尺规作图详细讲解 (含图) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN