整除与整除的意义、倍数与因数学案

教师： 学生： 时间: 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析：

整数和整除的意义、倍数和因数

二、授课内容：

（一）、整数和整除的意义

1、 数的产生

你们知道自然数是怎样产生的吗？

自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。

在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。

以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4

1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。 相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。

2、 自然数的单位

任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。

任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。

自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。

3、 整数

整数； 正整数、零、负正整统称为整数。

正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……

负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。

4、 零

现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？

零的性质：

1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。

2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。

3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。

4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）

5）任何数与0相加，值不变。

6）任何数与0相乘，积等于0。

7）任何数减去0它的值不变。

8）相同的两个数相减，差等于0。

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9）0不能作除数。

10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。

11）0被非0的数除商等于0。

零的作用：

1）表示数位。如：304、0.07中“0”是表示数位的。

2）记帐的需要。如：5元通常记作5.00元，以防止错位。

3）用于编号。如：00045使人知道最大的号数是五位数。

4）0可以表示起点。如：刻度尺上的刻度以0为起点。

5）0可以表示精确度。如：近似数3.50表示精确到百分之一。

6）0可以作为某些数量的界限。如：数轴上它是界其左边的数（负数）与其右边的数（正数）的界限；在摄氏湿度计上，0上温度与0下温度的分界。

7）表示关节点。如：水结冰，这个关节温度用“0”表示。

5、 整除的意义

1） 思考：15名学生参加夏令营，他们想分成相等的几个小组进行活动，可以怎样分组呢？

2） 观察：下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有仕么不同？

① 24÷2=12 ② 6÷5=1.2

21÷3=7 17÷10=1.7

84÷21=4 35÷6=5 (5)

第①组算式中的商都是整数，余数为0。 第②组算式中的商是小数，或者除不尽。

整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。

确定整除的条件：（三整余零）

1、除数、被除数都是整数；

2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。

例如 21÷3=7，10÷8=1.25，0.3÷0.4=0.75，等等。

除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。

例如 4÷3=1.333……，24÷11=2.1818……，都是除不尽的例子。

6、 整除与除尽的区别

整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围

内，也未规定商必须是“整数而没有余数”。它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了。

例如 17÷4=4.25，24÷4=6，0.12÷0.04=3，这三个算式的被除数都能被除数

除尽。但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除。

练习：

1、在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”，不能整除的打“×”. 72和36 17和34 20和5 0.5和5

( ) ( ) ( ) ( )

18和3 19和38 0.2和4 17和3

( ) ( ) ( ) ( )

2、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有（ ）个

①34、17 ②3、6 ③5、2 ④1.5、0.5 ⑤18、1

A 1

B 2

C 3

D 4

整除

除尽

3、下列说法中正确的是（）

A 整数包括正整数和负整数

B 非负整数是自然数

C 若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除

D 若m÷n余数为0，则n一定能整除m

4、12÷4=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除

5、写出两个以13为除数的算式：

6、已知29能被正整数a整除，则a可能是（写出所有可能的数）

7、若一个自然数为a（a＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是。

8、正整数24能被正整数a整除，写出所有满足条件的a的值：

9、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除，商分别是m、n

（1）写出上面的两个整除算式

（2）它们的和与差也能被c整除吗？说明理由，并举例说明。

10、有三个自然数，其和为13，讲坛们分别填入下式的括号内，满足等式要求：

（）-1=（）÷5=（）+2，求这三个自然数。

（二）、倍数和因数

1、每千克梨要4元，买5千克梨需要多少钱？

根据算式5×4＝20 （元）可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；

4是20的因数；5是20的因数。

2、每千克苹果要6元，买3千克苹果需要多少钱？你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？

3、每千克葡萄3.6元，买2千克葡萄需要多少钱？

3.6×2＝7.2（元）

观察：具有倍数和因数关系的算式有什么特点？

4、小结：我们只在零除外的自然数范围内研究倍数和因数。也就是说，乘法算式中的三个数都是不为零的自然数。倍数与因数是两个数的相互关系，单独一个数不能说成倍数或因数。

问题：一个数有多少倍数？最大的是多少？最小的倍数是多少？一个数的倍数是（填有限或无限）一个数有多少因数？最大的是多少？最小的因数是多少？一个数的因数是（填有限或无限）找一个数因数的方法是什么？

例题：找出36的所有因数。

5、根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：

18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48

练习：1、口算下面个题：

15÷3＝7÷1＝10÷4＝36÷0.6＝6÷6＝

问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？

说一说7÷1＝7 6÷6＝1

2、10÷4＝2.5 36÷0.6＝60 为什么不是整除的算式？

3、找出能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10

总结：有倍数和因数关系的乘法算式或除法算式有什么特点？

4、写出100以内8的倍数、写出100以内6的全部倍数。

5、计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25=

25×3＝ 14×6＝ 20×9＝

6、下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些？

16和2 140和20 45和15

33和6 4和24 7.2和8

7、如果一个数既是30的倍数，又是120的因数，那么这个数可以是

8、能被48整除的数一定是下面（）的倍数。

A 18

B 24

C 36

D 96

9、一个自然数既是13的倍数，又是13的因数，这个数是。

10、一个数的最小的倍数是25，这个数所有的因数是。

11、一个正整数只有2个因数而且比10小，这个数是。

12、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是。

13、用16块1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形，它们的长分别是多少？

三、本次课后作业

整数和整除的意义、倍数和因数练习题

四、学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

五、教师评定：

1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差

教师签字

教务签字：___________

上海龙文教育源深体育中心校区教务处