安徽省合肥皖智高考复读学校2014届高三数学上学期第一次半月考试试题 理 新人教A版

合肥皖智第一次半月考 理科数 学 试 题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1.设全集,I R =集合{}(){}

2

22,log 3A y y x B x y x ==-==-，则()I C A B = （ ）

A. {}

23x x -≤< B. {}2x x ≤- C. {}3x x < D. {}

2x x <-

2.向量()1,tan ,cos ,13a b αα??== ???

，且a ∥b ，则锐角α的余弦值为（ ）

A.

13 B. 23

D. 3 3.6

21x x ?

?- ??

?的展开式中，常数项等于（ ）

A. 15

B. 10

C.15-

D.10- 4.在等差数列{}n a 中每一项均不为0，若1220131007a a a ta +++= ，则t =（ ） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014

5.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15 6.在ABC ?中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ?一定是（ ）

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 正三角形

D. 等腰直角三角形 7.若定义在R 上的函数()f x 的导函数是()()

'

1f

x x x =-+，则函数

()()()log 01a g x f x a =<< 的单调递减区间是（ ）

A. []1,0-

B. (]1,,0,1a ??+∞????

C. 11,a ??????

D. 11,,,a a ????-∞+∞ ???????

8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值。若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( ) A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 9 已知正数,,x y z 满足2

2

2

1,x y z ++= 则2

1

2S xyz =

的最小值为（ ）

A. 2

B. 4

C.

92 D. 94

10过双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点()(,0)0F c c ->，作倾斜角为6π的直线FE 交

该双曲线右支于点P ，若()

12

OE OF OP =+ ，且0,OE EF =

则双曲线的离心率为（ ）

11 第Ⅱ卷（非选择题，共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在复平面内，复数

()1ai

a R i

+∈对应的点位于虚轴上，则a = 12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．是_______. 13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3， ，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。

14.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,

3π?? ???、4,6π??

???

，则AOB ?（其中O 为极点）的面积为

15 . 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①若ab >c 2

，则C <π3； ②若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2

；

③若a 3＋b 3＝c 3

，则C <π2；④若a ＋b >2c ，则C <π3

；

⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2

，则C >π3

.

三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置） 16．（本小题满分12分）

已知向量()()()()sin ,2,1,cos a x b x ω?ω?=+=+ ，0,04πω??

?><< ??

?，函数

()()()

(),f x a b a b y f x =+-=

图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为

1，且经过点71,

2M ??

???

。 （1）求函数()f x 的解析式

（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的单调区间。

17 （本小题满分12分）

设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为

35，甲胜丙的概率为34，乙胜丙的概率为2

3

。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。

（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；

（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望E ξ。

18 （本小题满分13分）

已知函数()(1)e (0)x

a

f x x x

=->，其中e 为自然对数的底数.

（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为5

e ， 求a 的值.

19 （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 中，BCD ?为正三角形，2==AB AD ，

32=BD ，AC 与BD 交于O 点．将ACD ?沿边AC 折起，使

D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ?内． （Ⅰ）求证：⊥AC 平面PBD ；

（Ⅱ）若3

π

θ=

时，求二面角D PB A --的余弦值。

20（本小题满分13分）

中心在坐标原点，焦点在x Q ? ??

。 若分别过椭圆的左右焦点1F 、2F 的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆

分别交于A 、

B 与

C 、

D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满

足

4321k k k k +=+． （1）求椭圆的方程；

（2）是否存在定点M 、N ，使得||||PN PM +为定值．若存在，

D

B

C

O

P

（第19题）

求出M 、N 点坐标；若不存在，说明理由．

21 （本小题满分13分）

已知各项均为正数的数列}{n a 满足：*12323(1)()3

n n n

a a a na a a n N n +++++=∈ 。

（1）求n a 的通项公式 （2）当2n ≥时，求证：()12112111

ln 111

ln ln ln ln ln n n n a a a a a a a a ---???+++≤

?

理科数学答题卡

一.选择题.(每小题5分,共50分)

二.填空题.(每小题5分,共25分)

11. 12. 13.

14. 15.

三.解答题.(共75分)

16.(12分)

17.(12分)

18.(13分)

19.(12分)

20.(13分)

（第20题）

D

B

C

O

P

（第19题）

21.(13分)