必修3中几何概型的典型题型

必修3中几何概型的典型题型
必修3中几何概型的典型题型

必修3中几何概型的典型题型

彭彤彬

一、长度比(包括弧长比):

如:1、A、P分别是一圆上的定点和一动点,求AP线段长超过此圆内接正三角形的边长的概率。

作圆内接等边三角形ABC,可知满足条件的点落在劣弧BC上,故概率等于弧长比,等于1/3。

2、P为三角形ABC的边BC上任一点,求使三角形APC的面积大于三角形ABC的面积的三分之一的概率。

取BC边靠近C点的三等分点M,则满足条件的P点组成线段AM,故概率等于长度比,等于2/3。

二、角度比(转化为角所在区间长度比):

如:一被三等分成三个相等的扇形的质地均匀的圆盘,被过圆心的轴固定。现用力转动圆盘,求从圆心指向外的一固定指针落在其中指定的一个扇形内的概率。

这个题中可设指针与圆中的某个扇形的一边所在的半径为始边,指针所在的射线为终边形成一个角。将圆盘转动的整圈数去掉,只考虑最后不大于一圈的情况,指针可能落在这最后一周角内的任意位置,其角度分布区间为[0,360](单位为度),但要指针落在其中一个扇形中,其对应角范围如[120,240](单位为度),则所求的概率为(240-120)/(360-0)=1/3。

三、面积比:

如:1、一组平行线,任两相邻的两条相距3cm,现向其所在平面任投一枚半径为1cm 的硬币,求硬币与平行线不接触的概率。

先简化为只有两条平行线,投的硬币所在圆心落在这两条线围成的条形区域中。

现要求不与两线接触,则圆心到两线的距离应试大于1cm,故圆心应落在两线中间的条形区域中加两条与它们平等行的直线且将已知和区域等分成三等份的中间的一个区域中,故所求概率等于面积比,等于1/3。

2、向一三角形ABC内任意投一点P,求三角形PBC的面积小于等于三角形ABC面积一半的概率。

由于两三角形同底BC,故只要求三角形PBC的高小于等于三角形ABC的相应高的一半,即P点到BC的距离小于等于原高的一半,故P点组成三角形ABC内与BC平行的一条中位线与BC边之间的部分。故概率等于面积比,等于3/4。

3、两人约定在某处会面,每人到某处的时间都在10到11点之间,约定先到的在那里等待10分钟,然后离去。问两人能会面的概率。

解答方法见课本。答案:11/36。

4、长为a的线段被随机的两点分成三段,求此三段能组成三角形有概率。

解答用上一题的方法步骤,可得结论为:1/4。

四、体积比:

如:在正三棱锥P-ABC内任取一点M,则点M落在其内切圆内的概率。

这个问题中概率等于体积比。

五:随机摸拟应用题:

如:在某一区域内任取一点,求此点恰在已知区域内的特定区域内的长度(面积或体积)。

解:用机器产生(0,1)的随机数,再用y=kx+m变换到相应区间,去得到在已知区域内的N个点的坐标,数出落在特定区域内的点数为M,则所求的概率为P=M/N。

用这个原理可在已知一个大的区域的面积时,求其内的一个不规则区域的面积。

六、易错题辨析:

如:一个直角三角形ABC中,角C=90度,角A=30度,过C点随机地作与斜边相交的射线,与斜边交点设为P点。求使得AP>AC的概率。

设想射线CP匀速绕C点转动,与AB的交点P在AB上的动不匀速--这是关键点。可见射线AP是均匀分布在角C内的,但点P不均匀分布在AB上。故要求概率,不能用满足条件时的P点组成的线段长除以AB的长去求。而应该如下去求:

因射线CP在角C内分布均匀,故角ACP的取值a在[0,90](单位为度)内取值均匀,而可以求得满足条件AP>AC的a在[75,90](单位为度)内取值,故所求概率为(90-75)/(90-0)=1/6。

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型,是概率考查中的重点,下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理,以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰,条理分明。 一 基本知识剖析 1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 2.几何概型的概率公式: P (A )= 积) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积) 的区域长度(面积或体构成事件A ; 3.几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较:一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关,即试验结果具有无限性,是不可数的。这是二者的不同之处;另一方面,古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性,这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理,我们不难看出其要核是:要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点,无限性是指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的,这是区分几何概型与古典概型的关键所在;等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的,这是解题的基本前提。因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的,同属于“比例法”,即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二 常见题型梳理 1.长度之比类型 例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率. 例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面 积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率. 2.面积、体积之比类型 例3. (08江苏高考6).在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为 。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一.事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件,试写出下列事件的表达式: (1) ,,A B C 都不发生;(2),,A B C 不都发生;(3),,A B C 至少有一个发生;(4),,A B C 至多有一个发生。 解:(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解:()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=; ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥,()0.5P A =,()0.9P A B ?=,求(),()P B P A B -。 解:()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===,求(),()P A B P AB ?。 解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解:()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球,6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率; (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解:(1) 24210215C P C ==;(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字,求三个数字中最大数为5的概率。 解:12153 101 12 C C P C ==。

几何概型的常见题型

几 何 概 型 的 常 见 题 型 李凌奇2017-06-26 1.与长度有关的几何概型 例1.在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析:在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤,区间长度为3 2 , 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2.与面积有关的几何概型 例2.ABCD 为长方形,1,2==BC AB ,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A . 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型. 解:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -, 则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图

古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

知识点一:变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程:∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1:某种产品的广告费x (单位:百万元)与销售额y (单位:百万元)之间有一组对应数据如下表所示,变量y 和x 具有线性相关关系: x (百万元) 2 4 5 6 8 y (百万元) 30 40 6 50 70 (1)画出销售额与广告费之间的散点图;(2)求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争(1x ,1y )(i=1,2,…,10),得散点图左;对变量u ,v 有观测数据(1u ,1v )(i=1,2,…,10),得散点图右. 由这两个散点图可以判断( )

(A )变量x 与y 正相关,u 与v 正相关 (B )变量x 与y 正相关,u 与v 负相关 (C )变量x 与y 负相关,u 与v 正相关 (D )变量x 与y 负相关,u 与v 负相关 2.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是( ) (1) (2) (3) (4) A .(1)(2) B .(1)(3) C .(2)(4) D .(2)(3) 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表: 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系,则其关系式最接近的是( ) A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二:概率 一、随机事件概率: 事件:随机事件:可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件(概率为1)和不可能事件(概率为0) (1)必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件; (4)随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件; 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次,当实验的次数n 很大时,我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义,掌握几何概型中事件A 的概率计算公 式:积等) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积等)的区域长度(面积或体构成事件)(A A P = .其次要学会构造随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 1.几何概型的两个特征: (1)试验结果有无限多; (2)每个结果的出现是等可能的. 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域,事件A 的概率只与区域A 的度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关. 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度,把问题转化为几何概型求解. (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算. 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数,其中每一个数产生的机会是一样的,通过模拟一些试验,可以代替我们进行大量的重复试验,从而求得几何概型的概率.一般地.利用计算机或计算器的rand ()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a ~b 之间的均匀随机数的产生:利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand( ),然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ,b]上的均匀随机数,试验的结果是产生a ~b 之间的任何一个实数,每一个实数都是等可能的. 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率; (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积. 下面举几个常见的几何概型问题. 一.与长度有关的几何概型 例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少? 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型. 解 记 E :“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为30× 31=10米, ∴3 13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 二.与面积有关的几何概型 例2 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少? 思路点拨 此为几何概型,只与面积有关.

几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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3 几何概型的常见题型及典例分析 一.几何概型的定义 1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点: (1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式:.)(积) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积) 的区域长度(面积或体构成事件A A P = 说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二.常见题型 (一)、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析:在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4 区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤,区间长度为3 2 , 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少? 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型. 解 记 E :“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三 等分,由于中间长度为30×3 1 =10米, ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 例3、在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R 的概率。 思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。也就是说,样本空间所对应的区域G 是一维空 间(即直线)上的线段MN ,而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦, K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1

概率论例题

概率论例题 例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数。试求(1)(X,Y )的联合概率分布律;(2)求Y 的分布律(列)。 解:X 可能的取值是0,1,2,…..,k ,…,n ,... P{X =k }= ! k e k λ λ- Y 可能的取值是0,1,2,…,r ,…,k P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}= ! k e k λ λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k 当r>k 时,P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布 P{Y = r }=∑+∞ ===0 },{k r y k x P =∑+∞ ====0 }/{}{k k x r y P k x P =∑ +∞ =--r k r k r r k k q p C e k λλ! =∑+∞ =--+--r k r k r q r r k k k k p e )(!) 1()1(! 1) (λλλ =∑+∞=---r k r k r rq r k r p e )()! (1!1)(λλ =rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律 ∑+∞ ==0 }{r r y P = 1 ? 例2. 解 因为η只取非负值,所以当0y ≤时, 2()() () F y P y P y ηηξ=<=< = 当 0y >时

2()()()) F y P y P y y y ηηξξ=<=<=< 2 2 2 2 12()t t t dt dt dt ξ--=== 2 20 u u y y e - -= =? ? 所以 20 ,0()0,0u y y F y y η-?>?=??≤?? 1 y --?

几何概型的经典题型与答案

几何概型的常见题型及典例分析 一.几何概型的定义 1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或 体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.特点: (1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限 多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等. 3.计算公式:.)(积) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A A P = 说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应 的几何图形,并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系: (1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的. (2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无 限的; ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二.常见题型 (一)、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析:在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的 发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间]1,1 [-上随机取一个数x,即[1,1] x∈-时,要使cos 2 x π 的值介于 0到 2 1 之间,需使 223 x πππ -≤≤-或 322 x πππ ≤≤ ∴ 2 1 3 x -≤≤-或 2 1 3 x ≤≤,区间长度为 3 2 , 由几何概型知使cos 2 x π 的值介于0到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 = = = 度 所有结果构成的区间长 符合条件的区间长度 P. 故选A. 例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的 概率是多少? 思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限 多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型. 解记 E:“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB三 等分,由于中间长度为30× 3 1 =10米, ∴ 3 1 30 10 ) (= = E P. 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型 就可以用几何概型来求解. 例3、在半径为R的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R的概率。 思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以, 题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能 地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。 也就是说,样本空间所对应的区域G是一维空 间(即直线)上的线段MN,而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF与E 1 F 1 是长度等于R的两条弦, K K K1 图1-2 图1-1 O O E F E F E1F1

概率论习题及答案

概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币,则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率 . 3、一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机的抽取一件,试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币,至少出现一个正面的概率为 .. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立,则().P B = 8、设,A B 为两事件,11 ()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立,且2 (),1,2,3,3 i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概 率是. 10、某人射击三次,其命中率为0.8,则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次,记事件A =“第一次掷出正面”,事件B =“第二次掷出反面”,事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是( ) .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-?=??=? ?-=-?=若且则

人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 基本知识 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)=积) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较 一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关,即试验结果具有无限性,是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面,古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性,这是两者的共性. 通过以上对几何概型的基本知识点的梳理,我们不难看出其要点是:要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点,无限性是指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的,这是区分几何概型与古典概型的关键所在;等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的,这是解题的基本前提.因此,用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的,同属于“比例法”,即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示. 常见题型 1.长度之比类型 例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率. 分析 因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型. 解 设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟.因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61,即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6 1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方 形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率. 分析 正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ,求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率. 解 记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ,事件A 的概率等价于“长度介于 6cm 与9 cm 之间”的概率,所以有P(A)= 9612-=14. 小结 本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别,而是将正方形的面积关系转化为边长的关系,从而将问题归为几何概型中的长度类型,这是本题的关键所在.同时,本题也体现了数学上的化归思想的作用. 2.面积、体积之比类型 例3 在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟,若另一人仍不到则可以离去,试求这人能相见的概率。 解:设x 为甲到达时间,y 为乙到达时间.建立坐标系,如图15||≤-y x 时可相见,即阴 影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与A 连接,求弦长超过半径2倍的概 率。 解:R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过 2 1 的概率。 解:设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为y x --1,则基本事件 组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ,即图中黄色区域,此区域面积为 2 1。 事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ,}2 1 1,21,21<--<

下午3:00张三在基地正东30km 内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km 内部处,向基地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。 解:设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ,]40,0[∈y ,以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ,表示区域总面积为1200,可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,,运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均 为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解:(1)利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a (2)变换 121-*=a a ,121-*=b b (3)从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m (4)n m P = (n 为总组数) [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ,求?ABC 是锐角三角形的概率。 解法1:记?ABC 的三内角分别为αβ,,παβ--,事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”,则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。 因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知,所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。 解法2:如图3所示建立平面直角坐标系,A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点,当?ABC 为锐角三角形,记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时,?ABC 即为锐角三

经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型 题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布(主要在于如何分类) 六、综合算法 高考真题 2010年 22、(本小题满分10分)(相互独立事件) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 (1)记X (单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X 的分布 列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分10分。 (1)由题设知,X 的可能取值为10,5,2,-3,且 P (X=10)=0.8×0.9=0.72, P (X=5)=0.2×0.9=0.18, P (X=2)=0.8×0.1=0.08, P (X=-3)=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为: (2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件,则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥,解得14 5 n ≥, 又n N ∈,得3n =,或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

几何概型习题

E D O B A C 3.3 几何概型 重难点:掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型,并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题. 考纲要求:①了解几何概型的意义,并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题. ②了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 经典例题:如图,60AOB ∠= ,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C , 试求:(1)AOC ?为钝角三角形的概率; (2)AOC ?为锐角三角形的概率. 当堂练习: 1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85](g )范围内的概率是( ) A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 2.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ,并以线段AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于25 cm 2 与49 cm 2 之间的概率为( ) A . 310 B . 15 C . 25 D . 45 3.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y ,构成数对(x ,y ),则所有数对(x ,y )中满足xy =4的概率为( ) A .1 B . 216 C . 3 D . 14 4.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( ) A . 34 B . 38 C . 14 D . 18 5.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的概率为( ) A .13 B . 49 C . 59 D . 710 6如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为( ) A .2 π B . 1 π C . 23 D . 13

高二数学几何概型知识与常见题型梳理.doc

学习必备欢迎下载 几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型,是概率考查中的重点,下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理,以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰,条理分明。 一基本知识剖析 1. 几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 2.几何概型的概率公式: 构成事件 A的区域长度(面积或体积)P(A)= 的区域长度(面积或体; 试验的全部结果所构成积) 3.几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较:一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关, 即试验结果具有无限性,是不可数的。这是二者的不同之处;另一方面,古典概型与几何概 型的试验结果都具有等可能性,这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理,我们不难看出其要核是:要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点,无限性是指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的,这是区分几何概型与古典概型的关键所在;等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均 等的,这是解题的基本前提。因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的,同属于“比例法”,即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形 的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二常见题型梳理 1. 长度之比类型 例 1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察, 时一班,求小赵等车时间不多于10 分钟的概率. 已知该站发往各站的客车均每小 例 2 在长为 12cm的线段 AB上任取一点 M,并以线段 AM为边作正方形,求这个正方形的面积 介于 36cm2与 81cm2之间的概率. 2.面积、体积之比类型 例 3.(08江苏高考6) . 在平面直角坐标系xoy 中,设D是横坐 标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距 离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的 概率为。

几何概型题型讲解【典例及难题 精选】

几何概型 课题1:题型讲解 几何概型中事件A 的概率计算公式: 积等) 的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积等) 的区域长度(面积或体构成事件)(A A P = .其次 要学会构造随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 1.几何概型的两个特征: (1)试验结果有无限多; (2)每个结果的出现是等可能的. 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域,事件A 的概率只与区域A 的度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关. 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度,把问题转化为几何概型求解. (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算. 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数,其中每一个数产生的机会是一样的,通过模拟一些试验,可以代替我们进行大量的重复试验,从而求得几何概型的概率.一般地.利用计算机或计算器的rand ()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a ~b 之间的均匀随机数的产生:利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand( ),然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ,b]上的均匀随机数,试验的结果是产生a ~b 之间的任何一个实数,每一个实数都是等可能的. 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率; (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积. 6.几何概型与古典概型的比较: 一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关,即试验结果具有无限性,另一方面,二者的试验结果都具有等可能性。

几何概型常见题型归纳

几何概型常见题型归纳 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。求解几何概型的概率问题,一定要正确确定试验的全部结果构成的区域,正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解。^_^天体运动,万有引力定律核心考点研读■安徽 张北春(特级教师) 《天体运动、万有引力定律》是高中物理的重要章节。主要考点有:开普勒定律、天体运动、万有引力定律、估算天体的质量和密度、揭示天体运行规律等。近几年高考试题中的天体运动问题多为匀速圆周运动模型,大多数试题可直接运用开普勒第三定律进行分析或计算,有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。下面通过典型例题解读这些核心考点,希望对同学们的学习有所帮助。 考点1:开普勒定律 【考点研读】开普勒行星运动定律具体表述如下。第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳

的连线在相等时间内扫过相等的面积。第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 温馨提示:古人把天体的运动看得十分神圣,他们认为天体的运动不同于地面物体的运动,天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。开普勒则认为行星做椭圆运动。他发现假设行星做匀速圆周运动,计算所得的数据与观测数据不符,只有认为行星做椭圆运动,才能解释这一差别。 温馨提示:我们预期太阳对行星的引力与太阳到行星的距离有关,希望通过行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力求出这个引力,通过两次数学代换得到了太阳对行星的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式;通过类比得到了行星对太阳的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式;综合概括得到了太阳与行星间引力的数学表达式。 例2(2014年新课标全国卷I)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。对于地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日”。据报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日;4月9日火星冲日;5月11日土星冲日;8月29日海王星冲日;10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示,则下列判断正确的是(

高中数学例题:与面积有关的几何概型问题

高中数学例题:与面积有关的几何概型问题例1.如图,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠xOT内的概率. 【思路点拨】以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件. 【答案】1 6 【解析】记B={射线OA落在∠xOT内}. ∵∠xOT=60°,∴601 () 3606 P B==. 【总结升华】此题的关键是搞清过点O可以在平面内任意作射线OA,而且是均匀的,因而基本事件的发生是等可能的.例2.过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率. 【思路点拨】如图所示,ABCD是圆内接等边三角形,过 直径BE上任一点作垂直于直径的弦,显然当弦为CD时就是ABCD的边长,要使弦长大于CD的长,就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|. 【答案】1 2 【解析】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长},由几何 概型概率公式得 1 21 2 () 22 P A ? ==.

即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12 . 举一反三: 【变式1】如图,在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一个边长为2 cm 的小正方形,问在大正方形内随机投点,求所 投的点落入小正方形内的概率. 【答案】49 【解析】 记A={所投点落人小正方形内}, S 小正方形=22=4(cm 。), S 大正方形=32=9(cm 。), ∴4()9S P A S ==小正方形大正方形. 【变式2】在等腰直角三角形ABC 中,过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率. 【答案】34 【解析】 由题意知射线CM 在∠ACB 内是等可能分 布的. 如图所示,在线段AB 上取AC '=AC ,连接CC ',则 ∠ACC '=67.5°,设事件D={AM <AC},则事件D 的度量为∠ACC ',而随机事件总的度量为∠ACB . ∴'67.53()904 ACC P D ACB ∠?= ==∠?. ∴AM <AC 的概率为34.

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关,即 试验结果具有无限性,是不可数的。 这是二者的不同之处;另一方面, 古典概型与几何概型 的试验结果都具有等可能性,这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理, 我们不难看出其要核是: 要抓住几何概型 具有无限性和等可能性 两个特点,无限性是指在一次试验中, 基本事件的个数可以是无限的, 这 是区分几何概型与古典概型的关键所在; 等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均 等的,这是解题的基本前提。 因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的,同属于“比例法”,即随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的 长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之 比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二常见题型梳理 1. 长度之比类型 例1.小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时 一班,求小等车时间不多于 10分钟的概率. 例2在长为12cm 的线段AB 上任取一点 M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的 面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率. 2. 面积、体积之比类型 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型, 是概率考查中的重点, 下面就几何概 型的知识与常见题型做一梳理,以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰,条理分明。 一基本知识剖析 1. 几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 2. 几何概型的概率公式: 构成事件A 的区域长度(面积或体 积) P (A ) = —-~————- 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体 3. 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 事件出现的可能性相等. 4. 几何概型与古典概型的比较 :一方面,古典概型具有有限性, 积)’ 有无限多个; 2)每个基本 即试验结果是可数的;而几

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