圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

圆锥曲线经典性质总结及证明!!!
圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论

一、椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质)

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径

的圆,除去长轴的两个端点.(中位线)

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直

径的圆内切.(第二定义)

4. 若000(,)P x y 在椭圆22

22

1x y a b

+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导)

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点

弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=.(结合4)

6. 椭圆22

221x y a b

+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2

F PF S b γ

?=.(余弦定理+面积公式+

半角公式)

7. 椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的焦半径公式:

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义)

8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF

9.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q

交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

MN其实就在准线上,下面证明他在准线上

根据第8条,证毕

10. AB 是椭圆22

221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则

2

2OM AB b k k a ?=-,

即020

2y a x b K AB -=。(点差法)

11. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22

00002222x x y y x y a b a b +=+.(点差法) 12. 若000(,)P x y 在椭圆

22

22

1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b

+=+.(点差法) 二、双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.(同上)

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为

直径的圆,除去长轴的两个端点.(同上)

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.(同上)

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:

P 在左支)(同上)

5. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y

a b

-=.(同上) 6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切

线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.(同上)

7. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意

一点12

F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122

t 2

F PF S b co γ?=.(同上) 8. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--(同上) 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,

连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.(同上) 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,

A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.(同上)

11. AB 是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB

的中点,则0202y a x b K K AB OM =?,即020

2y a x b K AB =。(同上)

12. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的

方程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-.(同上)

13. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方

程是22002222x x y y

x y a b a b

-=-.(同上)

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直

线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

证明

2. 过椭圆

22

221x y a b

+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20

20

BC b x k a y =(常数).

3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,

12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 证法1(代数)

4. 设椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上

任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.(上条已证)

5. 若椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0

<e ≤21-时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,

则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.

(1)22

221111||||OP OQ a b

+=+;(2)|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是22

22

a b a b

+. 证

9. 过椭圆

22

22

1x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则

||||2

PF e

MN =. 证

(图片有误,ep=b^2/a )

10. 已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分

线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点

记12

F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ

=+.(2) 122

tan 2PF F S b γ?=. 12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,

PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有

(1)2222

2|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

22cot PAB a b S b a γ?=-. 13. 已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F

的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 证

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.(之前有类似的)

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率). (角分线定理+合比公式)

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.(角分线定理) 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.(角分线定理)

双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴

平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.(同

上)

2. 过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互

补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且20

20

BC b x k a y =-(常数).

(同上)

3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1,

F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则

t a n t 22

c a co c a αβ

-=+(或t a n t 22

c a co c a βα

-=+).(同上)

4. 设双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)

为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.(同上)

5. 若双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,

则当1<e ≤21+时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线

内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和

2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.

7. 双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条

件是22222

A a

B b

C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,

且OP OQ ⊥. (1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2

的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ

S ?的最小值是22

22

a b b a -.(同上)

9. 过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于

M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则

||||2

PF e

MN =.(同上) 10. 已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的

垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或22

0a b x a

+≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2

为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=-.(2) 122cot 2

PF F S b γ

?=.(同上)

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的

一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距

离心率,则有(1)22222|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-.

(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲

线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.(同上)

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.(同上)

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连

,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为

常数e(离心率).(同上)

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).(同上)

16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.

(同上)

17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.(同上)

18. 已知椭圆22

221x y a b

+=上一点000(,)P x y ,以直线与椭圆交于M,N 两点,恒有

P0M ⊥PON ,则直线横过),(2

22

2022

220b

a a

b y b a b a x +-?+-?

证明

19. 已知椭圆22

221x y a b

+=,不再椭圆上的一点P ,过P 做倾斜角互补的两直线,

与椭圆交于A,B,C,D 四点,则A,B,C,D 四点共圆 证

其他常用公式:

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:2

121221

11AB k

x x y y k

=+-=+

- 2、直线的一般式方程:任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。

3、知直线横截距

,常设其方程为

(它不适用于斜率为0的直线)

与直线垂直的直线可表示为。

4、两平行线间的距离为。

5、若直线与直线平行

则(斜率)且(在轴上截距)(充要条件)

6、圆的一般方程:,特别提醒:只有当

时,方程才表示圆心为,半径为

的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。

7、圆的参数方程:(为参数),其中圆心为,半径为。圆

的参数方程的主要应用是三角换元:;

8、为直径端点的圆方程

切线长:过圆()外一点所引圆的切线的长为()

9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解:;②过两圆、交点的圆(公

共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所

在直线方程.。

抛物线焦点弦性质总结30条

1.以AB为直径的圆与准线L相切;

2. 2

124

p x x = ;

3. 212y y p =- ;

4. '90AC B ∠= ;

5.

''90A FB ∠= ;

6. 123222()2sin p p AB x x p x α

=++=+=; 7.

112

AF BF P

+=; 8. A 、O 、'

B 三点共线; 9. B 、O 、'

A 三点共线;

10. 2

2sin AOB P S α= ;

11. 23()2

AOB S P

AB = (定值); 12. 1cos P AF α=-;1cos P

BF α

=+;

13. '

BC 垂直平分'B F ;

14. '

AC 垂直平分'A F ;

15. '

C F AB ⊥; 16. 2AB P ≥;

17. 11

'('')22

CC AB AA BB ==+; 18. AB 3

P K =

y ; 19. 2p 22

y

tan =x -α;

20. 2

A'B'4AF BF =?; 21. 1

C'F A'B'2

=

. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00

3、AB 是抛物线px y 22

=(p >0)焦点弦,Q 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,l AA ⊥1,

l BB ⊥1,过A ,B 的切线相交于P ,PQ 与抛物线交于点M .则有

结论6PA ⊥PB . 结论7PF ⊥AB . 结论8 M 平分PQ .

结论9 PA 平分∠A 1AB ,PB 平分∠B 1BA . 结论102

PF FB FA =?

结论11PAB

S ?2min

p = 二)非焦点弦与切线

思考:当弦AB 不过焦点,切线交于P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论12 ①p

y y x p 22

1=

,221y y y p +=

结论13 PA 平分∠A 1AB ,同理PB 平分∠B 1BA .

结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论16 2

PF FB FA =? 23.

圆锥曲线的几何性质及其解题应用

圆锥曲线的几何性质及其解题应用 一、正确掌握圆锥曲线的几何性质,提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如: ①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-,最近的距离为BF a c =+; ②Rt OFC ?中,2 2 2 a b c =+; ④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等,为4a . 例题1、如下图,椭圆中心为O ,F 是焦点,A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ,QF OA ⊥于F ① PF PD ② QF BF ③ AO BO ④ AF BA ⑤ FO AO ⑥ OF FC 能作为椭圆的离心率的是 (填正确的序号)2① 12OB OB b ==;12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线,垂足为P ,则 bc PF b c = = =, 又因为OF c =,故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ???. ⑥ A A B B ③当PQ x ⊥轴时,2 2b PQ a =?,叫椭圆的通径.

例题2.已知双曲线22 214x y b -=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 . 【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ,由抛物线方程x y 122 =易知其焦点坐标 为)0,3(,又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ,所以5= b . 【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论,可以在考试中节省许多宝贵的时间. 3、抛物线中一些线段的长度及其关系如: ① 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径,且2AB p =. ② 2DF p =,几何意义知道吗? ③ 由①②易知Rt ADF ? ④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质.

圆锥曲线经典性质总结材料及证明

圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求 导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上 根据第8条,证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。(点差法)

第五讲 圆锥曲线及其几何性质

回顾复习五:圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1.圆锥曲线的轨迹定义与统一定义. 2.圆锥曲线的标准方程及其推导. 3.圆锥曲线的几何性质:范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线.☆基础演练 1.如图,椭圆中心为O,A、B为左右顶点,F为左焦点, 左准线l交x轴于C,点P、Q在椭圆上,PD⊥l于D, QF⊥OA于F.给出下列比值: 其中为离心率的有_________________. 2.若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点,且 12 8 F F=,则m的 值为. 3.过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点,A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1,则 11 A FB ∠=____________. 4.经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________. 5.过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点,O为坐标 原点,若OA、AB、OB成等差数列,且BF,FA u u u r u u u r 同向,则离心率e=_________. 6.椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2,弦AB过F1,若 2 ABF ?的内切圆周长为π, ()() 1122 A x,y, B x,y,则 12 y y -=____________. ☆典型例题 1.椭圆的定义 例1.如图,已知E,F为平面上的两个定点,G为动点, 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点. ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程; ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB 的中垂线与EF(或EF的延长线)相交于一点C,线段EF 的中点为O,证明: 9 5 OC<. 2.中点弦问题 例3.直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点,点() 04 B,,若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点,则直线l的方程是_________________. 3.椭圆的几何性质 例2.已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点,右准线l,离心率e. ⑴若P为椭圆上的一点,且 12 F PF ∠=θ,则 12 PF F S ? =_____________. ⑵若椭圆上存在一点P,使得 12 PF PF ⊥,则e的范围是_____________. ⑶若椭圆上存在一点P,使得 12 PF ePF =,则e的范围是_____________. ⑷若在l上存在一点P,使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F,则e的范围是___________. ⑸若P为椭圆上的一点,线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q,则e=________. ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点,且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=,则k=___. 4.最值问题 例4.已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上,(,(2,0) A B. ⑴若2 PA PB +取最小值,则点P的坐标为____________; ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ,且0 PM BM= u u u u r u u u u r g,则| |的最小值是; ⑶PA PB +的取值范围是________________________. 例5.椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 3 两条准线间的距离为6.椭 圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C. ⑴求椭圆W的方程;⑵求证:CF FB λ = u u u r u u u r ;⑶求MBC ?面积S的最大值. ☆方法提炼 1.椭圆的标准方程有两种形式,有时需要就焦点位置进行讨论. 2.椭圆有两种定义方式,解题时要学会“回到定义去”. 3.椭圆有两个焦点、两条准线,解题时建议联系起来考虑. 4.解解析几何问题,“画个图”是个好建议;中点弦问题利用“点差法”可简化运算. 5.在处理直线与椭圆相结合的问题时,要学会利用韦达定理整体处理. P H E F G 第 1 页

圆锥曲线的经典性质总结

椭圆 必背的经典结论 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角 形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 222 2 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. A B 是椭圆 2222 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + .

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上,则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式: P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈,则椭圆的焦点角形的面积为S A:1PF2 = b2 tan—

|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点, A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ,则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上,则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0,__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦, M (x 0, y 0)为AB 的中点,_则k OM k AB = b 2 ~2 , a 12. F 0(X o , y o )在椭圆 2 2 7占=1内,则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆

高二数学 圆锥曲线的几何性质练习

圆锥曲线的几何性质 一、选择题(' ' 6636?=) 1. .设22221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆,F 、A 分别是它的左焦点和右端点,B 是它的短轴的一个端点,则ABF ∠=( ) A ,60 B ,75 C ,90 D ,120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ,右准线为l ,一直线交双曲线于P ,Q 两点,交l 于R 点,则( ) A ,PFR QFR ∠>∠ B ,PFR QFR ∠=∠ C ,PFR QFR ∠<∠ D ,PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ,使得AB BC ⊥,当点B 在抛物线上移动时,点C 的纵坐标的取值范围是 ( ) A ,(,0][4,)-∞+∞ B ,(,0]-∞ C ,[4,)+∞ D ,[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=,(0,1)A -为短轴的一个端点,M ,N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?,则直线MN 的斜率k 的取值范围是 ( ) A ,(1,1)- B ,[1,1]- C ,(1,0]- D ,[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任 意一点,若 2 12 PF PF 的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ,(1,)+∞ B ,(1,2] C , D ,(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点,记P 到此抛物线的准线的距离为1d ,P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ,则12d d +的最小值为 ( )

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆: 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2 OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。

圆锥曲线的概念与几何性质

第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质 考点一椭圆的标准方程和几何性质 1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(). A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,∪[4,+∞) 【解析】当03时,焦点在y轴上, 要使C上存在点M满足∠AMB=120°, 则≥tan 60°=,即≥,解得m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 故选A. 【答案】A 2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(). A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 【解析】因为△AF1B的周长为4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1,故选A. 【答案】A 3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(). A. B. C. D.

【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. (法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(). A.B.C.D. 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b, ∴=, ∴e==- =-= -=.故选A. 【答案】A 考点二双曲线的标准方程和几何性质 5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程- - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(). A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m20,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(). A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为-=1. 【答案】B 7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为().

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:

(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF

圆锥曲线几何性质总汇

圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 (以22a x +22 b y =1(a ﹥b ﹥0)为例) 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即2 4ABF C a = 2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b (2)(S ⊿PF1F2)max = bc (3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在 12AF F 中 ∵ 2 2 21212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ (2)(S ⊿PF1F2)max = max 1 22 c h bc ??= (3 ()()() 2 2 22 2 2 22 12002 2222 2 212 00 4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---= = =-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM x x x

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。

圆锥曲线的定义及几何性质

圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有( ) A .相同的离心率 B .相同的焦点 C .相同的顶点 D .相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若2 ABF ?是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的 取值范围是( )A .(01), B .1(0]2 , C .(02 D .1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若 1260F PF ∠=°,则椭圆的离心率为( ) A . 2 B . 3 C .12 D .1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ,且12||2F F c =,点A 在椭圆上,1120AF F F ?= ,2 12AF AF c ?= ,则椭圆的离心率e = ( ) A . 3 B . 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ,为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点,若 120 PF PF ?= , 121tan 2 PF F ∠= ,则此椭圆的的离心率为( ) A . 12 B . 23 C .1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为( ) A .3 B . 253 或3 C . D 8. 椭圆的长轴为12A A ,B 为短轴的一个端点,若∠012120A BA =,则椭圆的离心率为( ) A . 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 4 C 2 D 4 10. 设12F F ,分别是椭圆 222 2 1x y a b + =(0a b >>)的左、右焦点,若在直线2 :a l x c = 上存在P (其 中c =),使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .0, 2? ?? B .0, 3? ? ? C .,12????? D .,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角,设1AF 的延长线交椭圆于B ,又2||||AB AF =,则椭圆的 离心率e =( ) A .2-+ B . C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) 13. A .02? ? ? B .102? ? ?? ?, C .)11 , D .112 ???? ??, 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F 为 椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥,则该椭圆的离心率为 ( ) 224416. 在ABC △中,A B B C =,7cos 18 B =- .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离 心率e = . 17. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ,以点O 为圆心,a 为 半径作圆M .若过点20a P c ?? ? ?? ,作圆M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为 . 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ,该椭圆的离心率为_________. 19. 设12(0)(0)F c F c -,,,是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点,P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点,若12 21 2PF F PF F ∠=∠,则椭圆的离心率等于________. 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ,若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ,椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ,两点,若 2ABF △是正三角形,则这个椭圆的离心率是_________.

圆锥曲线几何性质总汇

,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 (以22a x +22 b y =1(a ﹥b ﹥0)为例) 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b (2)(S ⊿PF1F2)max = bc (3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ (2)(S ⊿PF1F2)max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x

,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明:取1PF 的中点M ,连接OM 。令圆M 的直径1PF ,半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ,连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣:∣IP ∣=e 证明:证明:连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<

二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N , 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

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