对二次函数图像平移的思考

对二次函数图象平移的思考

湖北省潜江市总口中学 罗先礼 （邮编433134）

在初三课本中讲二次函数图象的时候，课本上讲了有关平移的规律，但同学们在实际用起来时非常困难，而且常常出错，我们能不能给学生找一种既好记，又好用的规律呢？

我们先看看平移的本质，考察函数y = ax 与y = a (x －h)2（其中a < 0，h > 0）它们图象如图，在这两个函数中，

当函数值取得相同的一个y 1时，所对

应的自变量分别为x 1，x 2，

则y 1 = a x 12，y 1 = (x 2－h)2，则

a x 12 = a (x 2 －h)2，x 12 = (x 2 －h)2。

开平方都取正值x 2 = x 1

+ h 。即当这两个函数的函数值相同时， 相应的自变量增加h 个单位，由y 1 的 ①

任意性，图象整体向右平移h 个单位 ，而从这两个函数y = a x 2 与 y = a (x －h)2的形式上看，当函数y = a x 2 的自变量减少h 个单位（即由x →x －h ），图象向右平移h 个单位，记作“－”，如图①所示。再考察函数y = a x 与y=a (x+h)2(其中a <0，h >0)在这两个函数中，当函数值取相同的一个y 1时，所对应的自变量分别为x 1，x 3，则y 1=a x 12，y 1=a (x 3+h)2，所以a x 12=a (x 3－h)2，x 12=(x 3－h)2，开平方都取正值得x 3 = x 1－h ，即当这两个函数的函数值相同时，相应的自变量减少h 个单位，由y 1的任意性，图象整体向左平移h 个单位，再从这两个函数y = a x 12与y=a (x+h)2的形式上看，当函数y=a x 2的自变量增加h 个单位（即由x →x+h ），图象向左平移h 个单位，记作“＋”，如图所示。所以图象左右平移的规律是：向左移自变量增加（x →x+h ），向右移自变量减少（x →x －h ），称为左右平移的 “＋－”规律。

再看上下平移，考察函数y = a x 2 与 y = a x 2 +k (a >0，k >0)，这两个函数取 相同的自变量x 1时，设对应的函数值分别为y 1与y 2则y 1 = a x 12，y 2=a x 12+k 。 ∴y 2 = y 1 +k 即当自变量取相同时，函数y = a x 2+k 比函数y = ax 2的函数值大k 。 由x 1的任意性，图象向上整体平移k 个单位，从形式上看，y = a x 2与 y = a x 2

h)2

+k ，当函数值增加k 个单位，（即由y →

图象向上平移k 个单位，记作“＋”所示。用同样的方法考察y = a x 2与

y = a x 2－ k （其中a > 0，k > 0），

当这两个函数取相同的自变量

x 1时，

设对应的函数值分别为y 1与y 3，则

y 1=a x 12，y 3=a x 12－k ，∴y 3 = a x 12 － k ， 即当自变量取相同时，函数y = a x 2 －k 比函数y = a x 2的函数值小k ，由x 1的任意性，从而图象向下整体平移k 个单位。从形式上看y = a x 2与y = a x 2 －k ，当函数值减少k ，（即由y →y －k ），图象向下平移k 个单位，记作“－”，如图③所示，

所以图象上下平移的规律是：向上平移

k 个单位，函数值增加k 个单位（y →y+k ），

向下平移k 个单位，函数值减少k 个单位

（y →y －k ），称为上下平移的“＋－”规律， 左右平移与上下平衡的规律合称为“＋＋－－”的平移规律。 有了“＋＋－－”这个平移规律，我们可以很轻松地解决有关二次函数图象平移的问题。

1. 已知一个函数的解析式由平移规律马上可以得出平移后的函数的解析式。

①函数y = x 2 + x +1向左平移1个单位，(即x →x + 1)得y = (x+1)2 + (x+1) +1，即y=x 2+3x +3，再向上平移2个单位（即y →y+2）得y=x 2+3x+3+2，即y = x 2 +3x+5

②函数y = x + 1向左平移2个单位（x →x －2），得y= x －1，再向下平移3个单位（y → y －3），得y = x －1－3即y = x －4

③函数y = 1x 向右平移1个单位（x →x －1），得y = 1x －1

，再向上平移3个单位，得 y = 1x －1

+ 3 ④函数y=sinx 向左平移π3 个单位（x →x+π3 ），得y = sin(x +π3 )，再向下

平移1个单位（y → y －1），得y = sin(x +π3 ) －1

2.已知两个函数图象相同，只是位置不同，由平移规律可知是怎样进行平移的。如①y=2x2 +1与y = 2x2－4x +5，这两个函数图象相同，只是位置不同，将其变形为y = 2x2 +1与y = 2(x －1)2＋3，即y增加2，x减少1，由平移规律将y = 2x2 +1的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得y = 2x2－4x +5的图象。

②y = 1

x－1与y =

1

x+1+2，x→x +1，即x增加1，y增加3，由平移规律

将y = 1

x－1向左平移1个单位再向上平移3个单位得y ＝

1

x+1+2的图象。

运用这种“＋＋－－”的规律，不仅能解决有关二次函数图象的平移问题，对其它图象的平移同样适用，学生掌握起来既好记，又好用。

寻找教学规律，有助于思维上层次。在自主探索过程中，掌握数学思想方法，必要的系统归类有利于学生掌握和运用知识，有利于学生主动地从事观察、实验、猜测、推理、验证、归纳总结出一定的规律，然后去应用与拓展。