含参不等式恒成立问题的求解策略教学案

《含参不等式恒成立问题的求解策略》教（学）案

教学目标：

知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能． 过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．

情感、态度与价值观：通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦． 教学重点：

重 点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能． 教学难点：

难 点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题． 教学方法：诱导探究法 教学手段： 多媒体辅助教学

教学过程：

一、设置情境，感受生活

市二模考试结束了，几人欢喜几人愁！教室外面的那个同学考试成绩比我们班同学都低，用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？

二、了解高考，把握热点

简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。2008－2010高考试卷中恒成立的题目如下：

2008年 39套 安徽理第20题 文第21题 全国II 文第21题理第22题 陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I 第19题 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题 12套 2009年 39套 重庆理第5题 浙江文第21题理第22题 上海理第11题 辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题

北京理第18题文18题 湖南理第8题 上海春季招生第17题 11套 2010 39套

山东理第14题，全国II 文第22题理第20题 全国Ⅲ理第21题 湖北理第21题 海南文第20题理第21题 天津理第16题 湖南理第20题 安徽文第17题理第19题 四川理第22题 江西文第17题理第19题 福建文第22题理第21题 16套

三、感悟高考 明确考向

(2010·山东理14)若对任意x >0，x

x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是____________．

三、回归课本 提炼方法

例1 （新课标选修2-2第28页例题4，第30页例题5改编）已知函数3

1()43

f x x ax -+=

在区间[0,3]上的导数()0f x '≤，则实数a 的取值范围是

归纳总结，概括方法

从例1可以看出，解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法： （1）转化为求原函数的最值

()0f x >恒成立?min ()0f x >，()0f x <恒成立?max ()0f x <

变式1（2009重庆理第5题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）（新课标选修4-5第20页第9题改编）

A ．(,1][4,)-∞-+∞

B ．(,2][5,)-∞-+∞

C ．[1,2]

D ．(,1][2,)-∞+∞

变式2（2011年乌鲁木齐二模第17题（2））设1

122n n S -??

=- ?

??，对于n ?∈*

N ，总有

n S 4

3

m ->

成立，整数m 的最大值为 ． 变式3（2011年乌鲁木齐一模第21题）设函数()ln f x x ax =-，当0a >恒有f (x )≤－1，求实数a 的取值范围．

设计意图：越是高考最后的阶段越需要回过头来研读课本，近几年来恒成立问题的试题主要是基本初等函数的组合为主，在课本中都有原型。所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法，然后进行巩固、辨析、加深。

三、 化隐为显 突出重围

例2（2009北京理第18题）设函数()(0)kx

f x xe k =≠，若函数()f x 在区间(1,1)-内

单调递增，求k 的取值范围.

从例2可以看出，解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法： （2）变量分离法（转化为求新函数最值）

()()f x g a >（a 为参数）恒成立?min ()()f x g a > ()()f x g a <（a 为参数）恒成立?max ()()f x g a <

变式4若命题“2

,2390x R x ax ?∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为 。（新课标选修2－1第27页第3（3）题改编）

设计意图：学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立问题所迷惑，不知道是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题。

四、变形求解 提升思维

例3 (2010·全国课标卷理第21题)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2，若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．

变式5（2007年 全国Ⅰ第20题）设函数()x x f x e e -=-，若对任意的0x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围．

设计意图：学生在解决恒成立问题时首先想到的是直接用常规方法解决，当直接解法无法解决问题时，就要考虑变形求解。

五、 增加参数 体会深度

例4 （2011新疆自治区一模第21题）

已知432()216ln f x x ax x x b =---++，其中,a b R ∈.若对对任意[2,2]a ∈-，

4()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围．

分析思路：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．本题的实质还是通过函数求最值解决．

解：4

()f x x ≤-恒成立又(0,1]x ∈即 23

216ln x x b

a x

-++≤恒成立 由[2,2]a ∈-得2min 3

216ln ()2x x b

a x

-++≤=- 又(0,1]x ∈ ∴23

216ln 2x x b x -++≤-即32min (2216ln )b x x x ≤-+-

设32()2216ln g x x x x =-+-，则2

16()64g x x x x

'=-+-，(0,1]x ∈

()0g x '<，所以32()2216ln g x x x x =-+-在(0,1]x ∈递减min ()(1)0g x g <= 所以实数b 的取值范围是0b ≤

设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例4是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．

变式6 （08天津理第20题）已知函数()()0≠++

=x b x

a

x x f ，其中R b a ∈,.若对于任意的??

????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??

?

???1,4

1上恒成立，求b 的取值范围.

方法1：化归最值，10)(10)(max ≤?≤x h x h ；

方法2：变量分离，)(10x x a b +-≤或x b x a )10(2

-+-≤；

方法3：变更主元，0101)(≤-++?=b x a x a ?，]2,2

1

[∈a

六、课堂小结

通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这

些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理．

七、课后反思巩固

1．（2000上海理第19题）已知函数f （x ）＝x

a

x x ++22，x ∈［1，＋∞)．若对任

意x ∈［1，＋∞)，f （x ）＞0恒成立，实数a 的取值范围是 .

2．（2009江西卷文第17题）设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-．

对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，m 的最大值是 ；

3. 函数2()ln 21f x x x mx =+++在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为 。

4.（2010年天津理第16题）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????

，

24()(1)4()x f m f x f x f m m ??

-≤-+ ???

恒成立，则实数m 的取值范围是 . 5. (2008年新疆自治区二模第22题)设函数2()(4)8ln(4)f x x x =+-+，若当

1[4,4]x e e

∈--时，不等式|()|f x m <，求实数m 的取值范围。答案： m> 1

e 2 + 8

6.（2009年 浙江理第21题）已知函数322

()(1)52f x x k k x x =--++-，

22()1g x k x kx =++，其中k ∈R .（I ）设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)

上不单调．．．

，求k 的取值范围； 答案：()5,2k ∈-- 7．（2009年 陕西理第20题）已知函数1()l n (1),01x

f x a

x x x

-=++≥+，其中0a >

若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。 答案：[2,).+∞

8. （2008年 全国I 第19题）已知函数32

()1f x x ax x =+++，a ∈R ．设函数()f x 在区间2133??-- ???

，内是减函数，求a 的取值范围．

9．（2010湖北高考理第21题）已知函数)0()(>++

=a c x

b

ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为.1-=x y (I)用a 表示出b,c;(II)若[)+∞≥,1ln )(在x x f 上恒成立,求a 的取值范围; 答案：1

[,)2

+∞

10．（2010年海南理第21题）设函数)(x f =2

1x

e x ax ---.若当x ≥0时)(x

f ≥0，求a 的取值范围. 答案：1(,]2

-∞