湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测(数学理)word版

湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测

数学（理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.

方程x =

（ ）

A.双曲线

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.椭圆的一部分 【解析】C

2.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC

与的夹角为（ ）

A 0

30 B 0

45 C 0

60 D 0

90 【解析】C

3. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与

11D B 的交点。若a AB =，b AD =，c AA =1则下列向量中

与相等的向量是（ ）

A. ++-2121

B.++21

21 C.c b a +--2121 D.c b a +-2

1

21

【解析】A

4. 已知363()

(3)2,()2,lim

3

x f x f f x x →-'==-=-则 ( )

A ．－4

B ．6

C ．8

D ．不存在

【解析】 B

5. 下列命题错误的是 （ ） A.对于命题p ：若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零，则p ?是：若xy ≠0，则x ，y 都不为零

B.对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2

＋x ＋1<0，则p ?是：?x ∈R ，均有x 2

＋x ＋1≥0

C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“若方程x 2

＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”

C1

A 11

D.“x ＝1”是“x 2

－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 【解析】 A

6．椭圆

22

11612

x y +=的长轴为1A 2A ，短轴为1B 2B ，将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得1A 点在平面1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）. A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【解析】B

7．已知点P 的双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左、右焦点，

若（22)0OP OF F P +=

（O 为坐标原点）

，且△PF 1F 2的面积为2ac （c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 （ ）

A

B

．

1

2

C ．

1

D

．

1

2

+ 【解析】A

8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面 BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1

的距离相等，则动点P 的轨迹所在的 曲线是 （ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【解析】D

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.

9.已知双曲线132

2=-m

y m x 的一个焦点为F （0，2），则m 的值是 . 【解析】-1

10．若向量,a b 的夹角为150?

，|||4=a b ，则|2|+a b 的值为 ．

【解析】∵222222|2|(2)444||4||||cos150||4+=+=++=+?+=

a b a b a a b b a a b b ，

∴|2|2+=a b ．

11.如果椭圆

19

362

2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。 【解析】082=-+y x

12．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则1AC 与平面C C BB 11所成角的余弦值

为 ．

13．已知非零向量AB 与AC 满足(||||AB AC AB AC +

)2BC =0且||||AB AC AB AC

= 1

2

， 则△ABC 的形状为___________． 【解析】等边三角形

14. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线

2

21x y a

-=的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于 .

解析：由题意可知：抛物线22(0)y px p =>的准线方程为48x p =-∴=，则点(1,4)M ，

双曲线221x y a -=

的左顶点为(A ，所以直线AM

19a =?=.

15. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB

PC 、、两两垂直，且3PA =，2PB =，1PC =，设M 是底面ABC 内一点，定义

()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积，若1

()(,,)2

f M x y =，且

18a

x y

+≥恒成立，则正实数a 的最小值为 .

解析：依题意可知，11

(32)1,32

m n p ++=????111,,22x y x y ∴++=∴+=

111()()()112a a y xa x y a a x y x y x y +=++=+++≥++

，122a

a x y

∴+≥++ 又18a

x y

+≥

恒成立，228a ∴++≥

3(≤-舍去）

1≥.故a 的最小值为1.

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、已知命题p ：向量a =（1，1，m ）与向量b =（-1，-1，m ）平行。命题q ：方程

13

122

2=-++m y m x 表示双曲线。若“p ?”和“q p ∨”都为真，求m 的取值范围。

()0,31

21)(3)0,362

""091

"-3,

2

0,312p m q m m m p p m p q q m ≤??????--<-

<??????∨∴∴<<∴?????? 解：若为真，则分

若为真，则（得分为真，为假，分

又“为真，只能为真，所求m 的取值范围为分 17.（本题满分12分）

已知函数b x ax x x f +-+=2

3

)( （1）若函数)(x f 在3

2

=

x 处的切线平行于直线0x y +=，求a 值。 （2）设函数[]

x

e x x

f x

g 3

)()(-=，且)(x g 在[]2,3-∈x 上单调递增，求实数b 的取值范围。

解：（1）123)(2-+='ax x x f 又1)3

2

(-='f

,1,113

434-=∴-=-+∴a a ……………………4分 （2）x

e b x x x g ?+--=)()(2

x x e b x x e x x g ?+--+?--='∴)()12()(2

=x

e b x x ?-+--)13(2

，……………………8分

又)(x g 在[]2,3-上单调递增，0132

≥-+--∴b x x 在[]2,3-∈x 上恒成立

即0132

≤-++b x x 在[]2,3-∈x 上恒成立。

令∴-++=,13)(2

b x x x h 只要?

??≤≤-0)2(0

)3(h h

1111

1

01640199≥∴???≥≥∴???≤-++≤-+-∴b b b b b ……12分

18.（本小题满分12分）

如图，已知平行四边形ABCD 和矩形

3,600==∠AF ADC .

（1）求证：AC ⊥BF ；

（2）求二面角F —BD —A 的余弦值；

(3) 求点A 到平面FBD 的距离

2222

2

2

=2cos603,

,ACD AC AD CD AD CD AC AC CD AD CD CA ??+-∴=∴+=∴⊥⊥ 解：在中，又由已知易得CE 平面ABCD,

因此以CD 为x 轴,CA 为y 轴,以CE 为z 轴建立空间坐标系， ……2分 （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0, 3,3),B(-1,3,0),

()0,3,0=,()3,0,1=,()

3,3,1-=,BF AC ⊥=?,0……6分 （2）平面ABD 的法向量),,(),1,0,0(z y x m FBD

n ==的法向量平面 解出()

1,2,3--=,cos

=

42,所求二面角F —BD —A 的余弦值为4

2

……9分 (3)点A 到平面FBD 的距离为d,)0,3,1(--=

4

6

32

233=

=

=

d . ……12分

19．（本小题满分13分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛物线的

45 的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42=上是否存在一点M ，使得M 与1F 关

于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.

解：（1）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，……………2分 ∴ 122=-b a ① …………………3分

又椭圆截抛物线的准线1-=x

∴ 得上交点为)2

2

,

1(-， ∴ 1211

2

2=+b

a ②…………………4分 由①代入②得0122

4=--b b ，解得12=b 或2

1

2-

=b （舍去）， 从而212

2=+=b a …………………6分

∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为

22

121

x y += …………………7分 （2）∵ 倾斜角为45

的直线l 过点F ，

∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y ，即1-=x y ，…………………8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，…………9分

则得???????--+=+-=?+-1

2)1(2

0111

0000x y x y ……10分 解得???-==2100y x ，即)2,1(-M

又)2,1(-M 满足x y 42

=，故点M 在抛物线上。 …………………12分

所以抛物线x y 42

=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称。……13分

20.（本小题满分13分）

如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m ，要求通行车辆限高．．

5 m ，隧道全长 2.5 km ，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？

（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h 和拱宽l ？

（已知：椭圆22a x +22

b

y =1的面积公式为S = ab ，柱体体积为底面积乘以高.）

（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M 、N ，使它们所在位置的高度恰好是

限高．．

5m ，现以M 、N 以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l =30m ，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价与梯形顶部单位面积钢板造价相同且为定值，试确定M 、N 的位置以及h 的值，使总造价最少.

解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P （10， 2）在椭圆上，

令椭圆方程为22a x +22

b

y =1.将b =h -3=3与点P 坐标代入椭圆方程，得a

=l =2a

=

因此隧道的拱宽约为（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭 圆的面积最小即可．

由椭圆方程22a x +22

b y =1，得2210a +222b =1.因为2210a +2

22b

≥2102ab ??，即ab ≥40，

所以半椭圆面积S =

2

πab ≥40π

202=π. 当S 取最小值时，有2210a =222b =2

1

，得a =102，b

=此时l =2a =202， h =b

+3=故当拱高为

(、拱宽为202m 时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 （3）根据题意设(,2),(,2),1015M x N x x -≤<则

要使总造价最低，只要梯形的两腰长与上底长之和最短即可，令这个和为()f x

，则

()215)

()f x x x f x =+≤<= ，

()f x 的几何意义是点（x ，0）到点（0,0）和点（15,2）的距离和的两倍，

10()10,2-10,235

x f x M N h =∴=+数形结合可得时，最小，此时（），（），此时

答：10,2-10,23M

N h =当（），（），时，总造价最小。 21.已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2

＋y 2

－10x ＋20＝0相切.过点P (－4,0)作斜率为1

4的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满

足|PA |2|PB |＝|PC |2

.

(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；

(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴.如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分AB ，若P （x,y ）（y>0）为椭圆上一点，求当ABP ?的面积最大时点P 的坐标.

解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，

则由渐近线与圆x 2

＋y 2

－10x ＋20＝0相切可得

|5k |

k 2

＋1

＝5，

所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±1

2

x . ………………… 3分

(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2

＝m ， 把直线l 的方程y ＝1

4(x ＋4)代入双曲线方程，

整理得3x 2

－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m

3

.(*)

∵|PA |2|PB |＝|PC |2

，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2

，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.将(*)代入上式得m ＝28，

∴双曲线的方程为x 228－y 2

7

＝1. ………………… 7分

(3)由题可设椭圆S 的方程为x 2

28＋y 2

a

2＝1(a >27)，

设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，

则x 21

28＋y 21a 2＝1，x 2228＋y 22

a

2＝1， 两式作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0.

由于

y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0

a

2＝0， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4y

a

2＝0截在椭圆S 内的部分.

又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2

112＝12，即a 2

＝56，

故椭圆S 的方程为x 228＋y 2

56

＝1. ………………… 11分

由题意知满足条件的P 点必为平行于AB 且与椭圆相切的直线m 在椭圆上的切点，易得切

线m 的方程为12y x =

+x y ==则P 点的坐标为

(

33

………………… 13分