2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测32 等比数列及其前n项和]

课时跟踪检测(三十二) 等比数列及其前n 项和

第Ⅰ组：全员必做题

1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )

A.1

3

B ．－1

3

C.19

D ．－1

9

2．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．(2013·郑州质量预测)在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

4．(2013·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )

A ．150

B ．－200

C ．150或－200

D ．400或－50

5．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )

A ．{a n }是等比数列

B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列

C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列

D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.

7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n

＝________.

8．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m

a m

＝a n ，则a 3＝________；{a n }

的前n 项和S n ＝________.

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；

(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．

10．(2013·东北三校联考)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．

第Ⅱ组：重点选做题

1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )

A ．12

B ．14

C ．15

D ．16

2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1

2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

1．选C 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)

1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1

＝1

9

，故选C. 2．选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2

n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定

成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…

3．选A 依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18， 则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1，选A.

4．选A 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2

＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，

因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.选A.

5．选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1

＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3

a 1，

A 3A 2＝a 4

a 2

，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列．且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2

a n ＝q ，从而{A n }

为等比数列．

6．解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，

所以S 5＝1×[1－(－2)5]

1－(－2)＝11.

答案：11

7．解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋1

3，即a 1＝1；当n ≥2时，由已

知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝????23a n ＋13－????23a n －1＋13＝23a n －2

3a n －1, 所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，

所以a n ＝(－2)n －

1.

答案：(－2)n －

1

8．解析：∵a n ＋m

a m ＝a n ，∴a n ＋m ＝a n ·a m ，

∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8； 令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，

∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.

答案：8 2n ＋

1－2

9．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.

因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝4

3

a n －1.

又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为4

3的等比数列．

(2)因为a n ＝????43n －1

，

由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)， 得b n ＋1－b n ＝????43n －1

.

可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－????43n －1

1－

43

＝3·????43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·???

?43n －1－1. 10．解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2， ∵q >0，∴q ＝2.

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －

1(n ∈N *)．

(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，

则b n ＝2n －λ·2n －

1＝(2－λ)2n －

1，

若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；

若λ≠2，则b n ＋1

b n ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，

此时S n ＝(2－λ)

1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)，

∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1. 第Ⅱ组：重点选做题 1．选D

a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4

＝q 4

＝2，

由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1， 得a 1·1－q 4

1－q ＝1，∴a 1＝q －1，

又S n ＝15，即a 1(1－q n )

1－q

＝15，

∴q n ＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.

2．解析：由条件得：f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1＝a n ·1

2，所以数列{a n }是首项与公比均为

12的等比数列，求和得S n ＝1－????12n ，所以1

2

≤S n <1. 答案：????12，1