2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量

(1)均值:称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)D (X )=∑n

i =

1 (x i -E (X ))2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质

(1)E (aX +b )=aE (X )+b

(2)D (aX +b )=a 2D (X )

(a ,b 为常数).

3.

4.正态曲线的特点

(1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称;

(3)曲线在x =μ处达到峰值1

σ2π

(4)曲线与x 轴之间的面积为1;

(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移;

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

[做一做] 1.(2015·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都为2

3,且甲、乙两人能否通过面试相互独立,则面试结束后通过人数ξ的数学期望E (ξ)

的值为________.

解析:由题意可知,ξ~B (2,23),所以E (ξ)=2×23=4

3.

答案:4

3

2.(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ=0)=1

5,E (ξ)=1,则D (ξ)=

________.

解析:设P (ξ=1)=a ,P (ξ=2)=b ,

则?????15+a +b =1,a +2b =1,解得???a =3

5,b =15,

所以D (ξ)=15+35×0+15×1=2

5.

答案:2

5

1.辨明两个易误点

(1)理解均值E (X )易失误,均值E (X )是一个实数,由X 的分布列唯一确定,即X 作为随机变量是可变的,而E (X )是不变的,它描述X 值的取值平均状态.

(2)注意E (aX +b )=aE (X )+b ,D (aX +b )=a 2D (X )易错. 2.正态分布的三个常用数据 (1)P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6; (2)P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4; (3)P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.

3.求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b 的均值、方差和标准差,可直接用ξ的均值、方差的性质求解;

(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.

[做一做]

3.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )=________.

解析:两封信投入A ,B ,C 三个空邮箱,投法种数是32=9,

A 中没有信的投法种数是2×2=4,概率为4

9,

A 中仅有一封信的投法种数是C 12

×2=4,概率为4

9

, A 中有两封信的投法种数是1,概率为19,故A 邮箱的信件数X 的数学期望是49×0+4

1+19×2=2

3

. 答案:23

4.已知ξ~N (0,σ2)且P (-2≤ξ≤0)=0.4,则P (ξ>2)=________. 解析:因为P (0≤ξ≤2)=P (-2≤ξ≤0)=0.4,

所以P (ξ>2)=1

2×(1-2×0.4)=0.1.

答案:0.1

考点一__离散型随机变量的均值与方差(高频考点)___

离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,多为中档题. 高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度: (1)已知离散型随机变量符合条件,求其均值与方差; (2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值; (3)已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断.

(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率

分别为23和3

5.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

[解] 记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E )=2

3,

P (E -)=13,P (F )=35,P (F -)=25

,且事件E 与F ,E 与F -,E -与F ,E -与F -

都相互独立.

(1)记H ={至少有一种新产品研发成功},则H -=E -F -, 于是P (H -)=P (E -)P (F -)=13×25=2

15,

故所求的概率为P (H )=1-P (H -

)=1-215=1315

.

(2)设企业可获利润为X 万元,则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X =0)=P (E -

F -)=13×25=215

P (X =100)=P (E -

F )=13×35=315,

P (X =120)=P (E F -)=23×25=4

15,

P (X =220)=P (EF )=23×35=6

15,

故所求的分布列为

数学期望为E (X )=0×

215+100×315+120×415+220×615=300+480+1 32015=2 10015

=140.

[规律方法] 求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法: (1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)求ξ取每个值的概率; (3)写出ξ的分布列;

(4)由均值的定义求E (ξ); (5)由方差的定义求D (ξ).

1.(1)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,

3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

①求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率; ②在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.

(2)(2015·沈阳市教学质量监测)为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.

①求这3人选择的项目所属类别互异的概率;

②将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.

解:(1)①设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则P (A )=

C 12C 35+C 22C 25

C 47

=6

7

. 所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为6

7.

②随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X =1)=C 33

C 47=135,

P (X =2)=C 34

C 47=435,

P (X =3)=C 35C 47=2

7,

P (X =4)=C 36C 47=4

7

.

所以随机变量X

随机变量X 的数学期望E (X )=1×135+2×435+3×27+4×47=17

5

.

(2)记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、

C i ,i =1,2,3.

由题意知A 1、A 2、A 3、B 1、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3均相互独立. 则P (A i )=3060=12,P (B i )=2060=13,P (C i )=1060=1

6,i =1,2,3,

①3人选择的项目所属类别互异的概率: P 1=A 33P (A 1B 2C 3)=6×12×13×16=1

6

. ②任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率: P 2=30+1060=23,

由X ~B (3,23

),

得P (X =k )=C k 3(23)k (1-23)3-k

(k =0,1,2,3), ∴X 的分布列为

其数学期望为E (X )=3×2

3

=2.

考点二__均值与方差的实际应用________________

(2014·高考湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去

50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下关系:

800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

[解] (1)依题意,p 1=P (40<X <80)=10

50=0.2,

p 2=P (80≤X ≤120)=35

50=0.7,

p 3=P (X >120)=5

50

=0.1.

由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p =C 04(1-p 3)4+C 14(1-p 3)3

p 3=

????9104+4×????9103

×???

?110=0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y =5 000,E (Y )=5 000×1=5 000.

②安装2台发电机的情形.

依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5 000-800=4 200,因此P (Y =4 200)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当X ≥80时,两台发电机运行,此时Y =5 000×2=10 000,因此P (Y =10 000)=P (X ≥80)=

所以,E (Y )=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安装3台发电机的情形.

依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5 000-1 600=3 400,因此P (Y =3 400)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,两台发电机运行,此时Y =5 000×2-800=9 200,因此P (Y =9 200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X >120时,三台发电机运行,此时Y =5 000×3=15 000,因此P (Y =15 000)=P (X >120)=p 3=0.1,

由此得Y

所以,E (Y )=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.

综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. [规律方法] 均值与方差的实际应用

(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度,D (X )越大表明平均偏离程度越大,说明X 的取值越分散;反之,D (X )越小,X 的取值越集中在E (X )附近,统计中常用D (X )来描述X 的分散程度.

(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

2.(2015·山西省四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6

道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为2

3,且每题正确完成与否互不影

响.

(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;

(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?

解:(1)由题意知ξ的可能取值为1,2,3,

P (ξ=1)=C 14C 22

C 36=15,

P (ξ=2)=C 24C 12

C 36=35,

P (ξ=3)=C 34C 02

C 36=15

所以,考生甲正确完成题目数的分布列为:

所以E (ξ)=1×15+2×35+3×1

5

=2.

(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η,

因为η~B (3,23),其分布列为:P (η=k )=C k 3(23)k ·(13)3-k

,k =0,1,2,3, 所以E (η)=3×2

3

=2.

又因为D (ξ)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=2

5,

D (η)=3×23×13=2

3,

所以D (ξ)<D (η).

又因为P (ξ≥2)=35+15=0.8,P (η≥2)=1227+8

27

≈0.74,

所以P (ξ≥2)>P (η≥2).

①从做对题数的数学期望来看,两人水平相当;从做对题数的方差来看,甲较稳定; ②从至少完成2题的概率来看,甲获得通过的可能性较大,因此,可以判断甲的实验操作能力强.

考点三__正态分布____________________________

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)

等于( )

A .0.6

B .0.4

C .0.3

D .0.2

(2)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.

[解析] (1)因为ξ~N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8, 所以P (ξ≥4)=1-P (ξ<4)=0.2, P (ξ≤0)=P (ξ≥4)=0.2.

P (0<ξ<2)=1

2P (0<ξ<4)

=1

2×[1-P (ξ≥4)-P (ξ≤0)]=0.3. (2)由题意知P (ξ≥2)=0.8,P (ξ≥6)=0.2, ∴P (ξ<2)=P (ξ>6)=0.2.

∴正态分布曲线的对称轴为ξ=4.即P (ξ≤4)=1

2,即每个摄像头在4年内都能正常工作

的概率为1

2

.

∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=1

4.

[答案] (1)C (2)1

4

[规律方法] 关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法:

(1)熟记P (μ-σ<X ≤μ+σ),P (μ-2σ<X ≤μ+2σ),P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.

①正态曲线关于直线x =μ对称,从而在关于x =μ对称的区间上的概率相同. ②P (X <a )=1-P (X ≥a ),P (X ≤μ-a )=P (X ≥μ+a ).

[提醒] 在利用对称性转化区间时,要注意正态曲线的对称轴是x =μ,而不一定是x =0.

3.设随机变量X ~N (1,52),且P (X ≤0)=P (X ≥a -2),则实数a 的值为( )

A .4

B .6

C .8

D .10

解析:选A.由正态分布的性质可知P (X ≤0)=P (X ≥2),所以a -2=2,故a =4.

交汇创新——随机变量的期望与函数的交汇

(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品.以X (单位:t ,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T 表示为X 的函数;

(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率;

(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X ∈[100,110),则取X =105,且X =105的概率等于需求量落入[100,110)的频率).求T 的数学期望.

[解] (1)当X ∈[100,130)时,

T =500X -300(130-X )=800X -39 000. 当X ∈[130,150]时, T =500×130=65 000.

所以T =?

????800X -39 000,100≤X <130,

65 000,130≤X ≤150.

(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.

由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得

所以E (T )=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.

[名师点评] 本题是概率、统计与函数的交汇创新题目,解答本题的思路是首先由题意写出分段函数,然后再利用概率与统计的知识解决所涉及的问题.

(2015·长春市第二次调研)据IEC(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险.根

假设投资A 项目的资金为x (x ≥0)万元,投资B 项目的资金为y (y ≥0)万元,调研结果是:未来一年内,位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.

(1)记投资A ,B 项目的利润分别为ξ和η,试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ),E (η);

(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A ,B 项目,且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目,根据(1)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和z =E (ξ)+E (η)的最大值.

解:(1)A 项目投资利润ξ

E (ξ)=0.18x -0.08x =0.1x, B 项目投资利润η

E (η)=0.21y -0.01y =(2)由题意可知x ,y 满足的约束条件为????

?x +y ≤100x ≥y x ,y ≥0

由(1)可知,z =E (ξ)+E (η)=0.1x +0.2y ,

当x =50,y =50时,z 取得最大值15.

∴对A ,B 项目各投资50万元,可使公司获得最大利润,最大利润是15万元.

1.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,一人的上班途中有3

个交通岗,则此人遇红灯的次数的期望为( )

A .0.4

B .1.2

C .0.43

D .0.6

解析:选B.∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布,即X ~B (3,0.4),∴E (X )=3×0.4=1.2.

2.(2015·潍坊质检)已知随机变量X 服从正态分布N (3,σ2),且P (X <5)=0.8,则P (1<X <3)=( )

A .0.6

B .0.4

C .0.3

D .0.2

解析:选C.由正态曲线的对称性可知,P (X <3)=P (X >3)=0.5,故P (X >1)=P (X <5)=0.8,所以P (X ≤1)=1-P (X >1)=0.2,P (1<X <3)=P (X <3)-P (X ≤1)=0.5-0.2=0.3.

3.(2015·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X 为这3支签的号码之中最大的一个,则X 的数学期望为( )

A .5

B .5.25

C .5.8

D .4.6

解析:选B.由题意可知,X 可以取3,4,5,6,

P (X =3)=1C 36=120,P (X =4)=C 23

C 36=320,

P (X =5)=C 24C 36=310,P (X =6)=C 25

C 36=12

.

由数学期望的定义可求得E (X )=3×120+4×320+5×310+6×1

2

=5.25.

4.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,

则停止发球,否则一直发到3次为止,设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0),发球次数为X ,若X 的数学期望E (X )>1.75,则p 的取值范围是( )

A .(0,7

12)

B .(7

12,1)

C .(0,1

2

)

D .(1

2

,1)

解析:选C.X 的可能取值为1,2,3,∵P (X =1)=p ,P (X =2)=(1-p )p ,P (X =3)=(1-p )2,∴E (X )=p +2p (1-p )+3(1-p )2=p 2-3p +3,由E (X )>1.75,即p 2-3p +3>1.75,解得p <12或p >52(舍去),∴0<p <1

2

.

5.口袋中有n 个白球,3个红球,依次从口袋中任取1球,如果取到红球,那么继续

取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为X ,若P (X =2)=7

30

,则下列结论错误的是( ) A .n =7 B .P (X =3)=7

120

C .E (X )=11

8

D .D (X )=1

2

解析:选D.由P (X =2)=730,得C 13C 1

n

C 1n +3C 1n +2=730,即3n (n +3)(n +2)=730

,整理得90n

=7(n +2)(n +3),解得n =7.X 的所有可能取值为1,2,3,4,则P (X =1)=C 17

C 110=710

,P (X

=3)=C 13C 12C 17C 110C 19C 18=7120,P (X =4)=C 13C 12C 11C 17

C 110C 19C 18C 17=1120,所以E (X )=1×710+2×730+3×7120

4×1120=118,D (X )=710×(118-1)2+730×(118-2)2+7120×(118-3)2+1120×(118-4)2=77192. 6.设整数m 是从不等式x 2-2x -8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ=m 2,则ξ的数学期望E (ξ)=________.

解析:S ={-2,-1,0,1,2,3,4},的分布列为

所以E (ξ)=0×17+1×27+4×27+9×17+16×1

7=5.

答案:5

7.随机变量X 的分布列为

若E (X )=1,则当a 2+b 2+c 2________.

解析:由题意可知?????a +b +c =1b +2c =1,∴?

????b =1-2c

a =c ,

∴a 2+b 2+c 2=c 2+(1-2c )2+c 2=6c 2-4c +1, 若a 2+b 2+c 2取最小值,则c =1

3,

∴D (X )=13×1+13×0+13×1=2

3.

答案:2

3

8.(2015·上海浦东质检)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则随机变量ξ的数学期望E (ξ)=________(结果用最简分数表示).

解析:随机变量ξ只能取0,1,2三个数,因为P (ξ=0)=C 25C 27=1021,P (ξ=1)=C 15C 1

2C 27=10

21

P (ξ=2)=C 22

C 27=121

所以E (ξ)=1×1021+2×121=4

7.

答案:4

7

9.(2015·广东广州三校联考)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23

.

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

解:(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知,X ~B (6,2

3),

P (X =k )=C k 6·(23)k ·(13)6-k

(k =0,1,2,3,4,5,6).

故E (X )=1729(0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64)=2 916

729=4.

(或因为X ~B (6,23),所以E (X )=6×2

3=4.)

(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A , 则P (A )=C 2

4·(13)2·(23)4+C 14·13·(23)5+(23)6=3281, 即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281

.

1.(2015·石家庄市第一次模拟)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》,若甲应聘成功的概率为12,乙、丙应聘成功的概率均为t 2(0<t <2),且三个人是否应聘

成功是相互独立的.

(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t 的值; (2)记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ为2时概率最大,求E (ξ)的取值范围.

解:(1)由题意得2×t 2×(1-t 2)=1

2,解得t =1.

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3, P (ξ=0)=(1-12)(1-t 2)(1-t 2)=(2-t )

2

8

P (ξ=1)=12×(1-t 2)×(1-t 2)+2×(1-12)×t 2×(1-t 2)=4-t

28

P (ξ=2)=2×12×t 2×(1-t 2)+(1-12)×t 2×t 2=4t -t

2

8;

P (ξ=3)=12×t 2×t 2=t 2

8.

故ξ的分布列为:

所以E (ξ)=t +1

2

.

由题意得:P (ξ=2)-P (ξ=1)=t -12>0,P (ξ=2)-P (ξ=0)=-t 2+4t -2

4>0,P (ξ=2)-

P (ξ=3)=2t -t 2

4

>0,

又因为0<t <2,

所以t 的取值范围是1<t <2. 所以32<E (ξ)<52

.

2.(2013·高考湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)

的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.

(1)求p 0的值; (参考数据:若X ~N (μ,σ2),有P (μ-σ

(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?

解:(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502), 故有μ=800,σ=50,P (700

2

P (700

(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ,y ,则相应的营运成本为1 600x +2 400y .依题意,x ,y 还需满足x +y ≤21,y ≤x +7,P (X ≤36x +60y )≥p 0.

由(1)知,p 0=P (X ≤900),故P (X ≤36x +60y )≥p 0等价于36x +60y ≥900.

于是问题等价于求满足约束条件?????x +y ≤21,y ≤x +7,

36x +60y ≥900,x ,y ≥0,x ,y ∈N ,

且使目标函数z =1 600x +2 400y 达到最小的x ,y .

作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12),Q (7,14),R (15,6). 由图可知,当直线z =1 600x +2 400y 经过可行域的点P 时,直线z =1 600x +2 400y 在y 轴上截距z

2 400

最小,即z 取得最小值.

故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.

3.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该

顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率;

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

解:(1)设顾客所获的奖励额为X .

①依题意,得P (X =60)=C 11C 13

C 24=12

即顾客所获的奖励额为60元的概率为1

2.

②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X =20)=C 23

C 24=12,P (X =60)=12,

即X 的分布列为

所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )=20×12+60×1

2

=40(元).

(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可

能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况,同理,可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.

以下是对两个方案的分析:

对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的分布列为

X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×1

6

=60,

X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 600

3

.

对于方案2,即方案(20X 2,则X 2的分布列为

X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×1

6

=60,

X2的方差为D(X2)=(40-60)2×1

6+(60-60)

2×2

3+(80-60)

2×1

6=

400

3.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.

离散数学必备知识点总结

离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;

2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;

离散数学复习要点

离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是()

屈婉玲版离散数学课后习题答案【2】

第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x 错误!未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解: F(x): 错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x 错误!未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?,在(a )(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快

命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误!未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误!未找到引用源。(x,y)=x错误!未找到引用源。y,x,y D ∈错误!未找到引用源。. (d) 特定谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y,错误!未找到引用源。(x,y):x

离散数学重点笔记

第一章,0命题逻辑 素数 = 质数,合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r),(p∧q)∧┐r,p∧(q∧┐r)等都是合式公式,而pq→r,(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式 (┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值 第二章,命题逻辑等值演算 (1)双重否定律??A?A (2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A (3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A (4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C) (6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B (7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A (8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0 (9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A (10)排中律 A∨?A?1 (11)矛盾律 A∧?A?0 (12)蕴涵等值式 A→B??A∨B (13)假言易位 A→B??B→?A (14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A) (15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A (16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A

A i(i=1,2,…,s)为简单合取式,则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真,∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*) = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下: ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式, 00,01,10,11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式

离散数学知识点整理

离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。

谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证

二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。

离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析

离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

离散数学题库及复习资料

《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y,x))z C(y,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z(考察定义在公式x A和x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x 为自由变元) 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧!

离散数学笔记(特级教师精心整理)

离散数学笔记(特级教师精心整理) 第一章命题逻辑 内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点: 1.命题的概念及判断 2.联结词,命题的翻译 3.主析(合)取范式的求法 4.逻辑推理 教学难点: 1.主析(合)取范式的求法 2.逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。 1.2命题联结词

(1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P; (2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 (1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P;

(2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q; (3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P 是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如,下面的符号串都是公式: ((((﹁P)∧Q)→R)∨S) ((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R 以下符号串都不是公式: ((P∨Q)?(∧Q))(∧Q) 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项: (1)确定所给句子是否为命题。 (2)句子中联结词是否为命题联结词。 (3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。 本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1,P2,…,P n是出现在命题公式G中的全部命题变元,指定P1,P2,…,P n的一组真值,称这组真值为G的一个解释或赋值,记作I,公式G在I下的真值记作T I(G)。 例如, 是G的一个解释,在这个解释下G的真值为1,即T I(G)=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G的真值表。 构造真值表的方法如下: (1)找出公式G中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P1,P2,…,P n。

离散数学复习题及答案

离散数学复习题及答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1. 写出命题公式 ﹁(P →(P ∨ Q ))的真值表。 答案: 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立: 答案: 4. 写出下列式子的主析取范式: 答案: 5. 构造下列推理的论证:p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案: ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明:p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化: 所有鱼都生活在水中。 ) ()(R P Q P ∨∧∧?

答案: 令F( x ):x是鱼 W( x ):x生活在水中 8. 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( x ):x 是有理数 R ( x ):x 是实数 9. 请将下列命题符号化: 尽管有人聪明,但并非一切人都聪明。 答案: 令M(x):x 是人 C(x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化: 对于所有的正实数x,y,都有x+y≥x。 答案: 令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x 11. 请将下列命题符号化: 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x):x是人 Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化: 某些人对某些药物过敏。 答案:

令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求) ( )) ( ) ( (y yR y Q x P y? → → ?的对偶式: 答案: 14. 求下列谓词公式的前束范式: 答案: 15. 证明: 答案: 16. 用反证法证明: x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x) 答案: 17. 证明: 前提: x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)). 结论: x(Q(x)∧R(x)). 答案: (1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入 (2) C(a)∧Q(a) (1)ES (3) C(a) (2)化简规则 (4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入 (5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US (6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理 (7) R(a) (6)化简规则 (8) Q(a) (2)化简规则 ) , , ( )) , ( ) , ( (u y x uQ z y P z x zP y x? → ∧ ? ? ?

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明:

《离散数学》综合复习资料

《离散数学》综合复习资料参考答案 一、判断题 1.命题逻辑中任何命题公式的主析取范式如果存在一定是唯一的。() 2.A、B、C是任意集合,如果A?B及B∈C,则A?C。() 3.整数集是不可数集。() 4.代数系统中,如果二元运算*是封闭的、可结合的,则是半群。()5.任意平面图最多是四色的。() 6.A、B是任意命题公式,如果?A??B,一定有A?B。() 7.R是集合A上的二元关系,若R是反自反的,则R c也是反自反的。() 8、命题逻辑中任何命题公式的主合取范式一定存在。() 9、A、B、C为任意集合,已知A?B=A?C,必须有B=C。() 10、自然数集合是无限的。() 11、命题联结词{?,∧,∨}是最小联结词组。() 12、任一无限集必含有可数子集。() 13、有限整环必是域。() 二、基本题 1.判断公式(P→Q)→(?Q→?P)的类型(重言式、矛盾式、可满足) 2.设A={1,{1}},计算P(A)-{?} 3.设树T有17条边,除树根外有12片树叶,4个4度结点,1个3度结点,求树根的度数。 4.设P:“天下雨”,Q:“他骑自行车上班”,R:“他乘公共汽车上班”,试符号化下列命题: 1)除非下雨,否则他就骑自行车上班 2)他或者骑自行车上班,或者乘公共汽车上班 5.判断公式? (P?Q)→? (P∧Q)的类型(重言式、矛盾式、可满足) 6.设代数系统,其中A={a,b,c},*是A上的二元运算,运算表如下表,求该代数系统的幺元,所有可逆元素的逆元。

7. 设树T 有17条边,有12片树叶,2个3度结点,求4度结点数。 8. 设A={1,2},试构成集合P(A)?A 。 9. 设*运算是有理数集Q 上的二元运算,对于任意的a,b ∈Q ,a*b=a+b-a ?b ,问运算*是否可交换、可结合的? 10.试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图。 11、将下列命题符号化 (1)他即聪明又用功。(P ∧Q ) (2)仅当你走我才留下。(Q → P ) (3)所有老的国家选手都是运动员。((?x)(R(x)→Q(x))) (4)某些教练是年老的,但是健壮的。((?x)(P(x)∧Q(x) ∧R(x))) 12、设A 是一个非空集合,*是A 上的二元运算,对于任意a,b ∈A ,有a*b=b ,判定*运 算是否可结合的、可交换? 13、试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图 三、证明题 1. 设是一个独异点,并且对于G 中的每一个元素x 都有x*x=e ,其中e 是幺元,证明是一个阿贝尔群。 2. 设G 是具有n 个结点的简单无向图,如果G 中每对结点的度数之和均大于等于n-1,那么G 是连通的。 3. 试用推理规则证明:A →B ,(?B ∨C) ∧?C ,?(? A ∧D)? ? D v1 v2 v4 v3 v1 v3 v2 v5 v4

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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^;

3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性;

大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)

1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={|x,y 属于A ,y 盖住x}; 9.极小元:集合A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一); 极大元:集合A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一); 最小元:比集合A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一); 最大元:比集合A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一); 10.前提:B 是A 的子集 上界:A 中的某个元素比B 中任意元素都大,称这个元素是B 的上界(若存在,可能不唯一); 下界:A 中的某个元素比B 中任意元素都小,称这个元素是B 的下界(若存在,可能不唯一); 上确界:最小的上界(若存在就一定唯一); 下确界:最大的下界(若存在就一定唯一); 6.函数 1.若|X|=m,|Y|=n,则从X 到Y 有mn 2种不同的关系,有m n 种不同的函数; 2.在一个有n 个元素的集合上,可以有2n2种不同的关系,有nn 种不同的函数,有n!种不同的双射; 3.若|X|=m,|Y|=n ,且m<=n ,则从X 到Y 有A m n 种不同的单射; 4.单射:f:X-Y ,对任意1x ,2x 属于X,且1x ≠2x ,若f(1x )≠f(2x ); 满射:f:X-Y ,对值域中任意一个元素y 在前域中都有一个或多个元素对应; 双射:f:X-Y ,若f 既是单射又是满射,则f 是双射; 5.复合函数:f og=g(f(x)); 5.设函数f:A-B ,g:B-C ,那么 ①如果f,g 都是单射,则f og 也是单射; ②如果f,g 都是满射,则f og 也是满射; ③如果f,g 都是双射,则f og 也是双射; ④如果f og 是双射,则f 是单射,g 是满射; 7.代数系统 1.二元运算:集合A 上的二元运算就是2A 到A 的映射; 2. 集合A 上可定义的二元运算个数就是从A ×A 到A 上的映射的个数,即从从A ×A 到A 上函数的个数,若|A|=2,则集合A 上的二元运算的个数为2*22=42=16种; 3. 判断二元运算的性质方法: ①封闭性:运算表内只有所给元素; ②交换律:主对角线两边元素对称相等; ③幂等律:主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同; ④有幺元:元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同; ⑤有零元:元素所对应的行和列的元素都与该元素相同; 4.同态映射:,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f 为由的同态映射;若f 是双射,则称为同构; 8.群 广群的性质:封闭性; 半群的性质:封闭性,结合律; 含幺半群(独异点):封闭性,结合律,有幺元; 群的性质:封闭性,结合律,有幺元,有逆元; 2.群没有零元; 3.阿贝尔群(交换群):封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律; 4.循环群中幺元不能是生成元; 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群; 10.格与布尔代数 1.格:偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界; 2.格的基本性质: 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5)最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b => c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12) 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13)模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格:满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc); 4.分配格的充要条件:该格没有任何子格与钻石格或五环格同构; 5.链格一定是分配格,分配格必定是模格; 6.全上界:集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素,则称a 为格的全上界,记为1;(若存在则唯一) 全下界:集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素,则称b 为格的全下界,记为0;(若存在则唯一) 7.有界格:有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格; 8.补元:在有界格内,如果a^b=0,avb=1,则a 和b 互为补元; 9.有补格:在有界格内,每个元素都至少有一个补元; 10.有补分配格(布尔格):既是有补格,又是分配格; 布尔代数:一个有补分配格称为布尔代数; 11.图论 1.邻接:两点之间有边连接,则点与点邻接; 2.关联:两点之间有边连接,则这两点与边关联; 3.平凡图:只有一个孤立点构成的图; 4.简单图:不含平行边和环的图; 5.无向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图; 有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图; 6.无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边; 7.r-正则图:每个节点度数均为r 的图; 8.握手定理:节点度数的总和等于边的两倍; 9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个; 10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和; 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路; 12.可达:对于图中的两个节点i v ,j v ,若存在连接i v 到j v 的路,则称i v 与j v 相互可达,也称i v 与j v 是连通的;在有向图中,若存在i v 到j v 的路,则称i v 到j v 可达; 13.强连通:有向图章任意两节点相互可达; 单向连通:图中两节点至少有一个方向可达; 弱连通:无向图的连通;(弱连通必定是单向连通) 14.点割集:删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的,则这些点组成的集合称为点割集; 割点:如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点; 15.关联矩阵:M(G),mij 是vi 与ej 关联的次数,节点为行,边为列; 无向图:点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2; 有向图:点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1, 关联矩阵的特点: 无向图: ①行:每个节点关联的边,即节点的度; ②列:每条边关联的节点; 有向图: ③所有的入度(1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵:A(G),aij 是vi 邻接到vj 的边的数目,点为行,点为列; 17.可达矩阵:P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列; P(G)=A(G)+2A (G)+3A (G)+4A (G) 可达矩阵的特点:表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路; A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为1的通路条数; 2A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为2的通路条数; 3A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为3的通路条数; 4A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为4的通路条数; P(G)中主对角线所有数的和:表示图中的回路条数; 18.布尔矩阵:B(G),i v 到j v 有路为1,无路则为0,点为行,点为列; 19.代价矩阵:邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0; 20.生成树:只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子图; 21.构造生成树的两种方法:深度优先;广度优先; 深度优先: ①选定起始点0v ; ②选择一个与0v 邻接且未被访问过的节点1v ; ③从1v 出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次; 广度优先: ①选定起始点0v ; ②访问与0v 邻接的所有节点v1,v2,……,vk,这些作为第一层节点; ③在第一层节点中选定一个节点v1为起点; ④重复②③,直到所有节点都被访问过一次; 22.最小生成树:具有最小权值(T)的生成树; 23.构造最小生成树的三种方法: 克鲁斯卡尔方法;管梅谷算法;普利姆算法; (1)克鲁斯卡尔方法 ①将所有权值按从小到大排列; ②先画权值最小的边,然后去掉其边值;重新按小到大排序; ③再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满足不能出现回路,然后去掉其边值;重新按小到大排序; ④重复③,直到所有节点都被访问过一次; (2)管梅谷算法(破圈法) ①在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图; ②在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图; ③重复②,直到所有节点都被访问过一次; (3)普利姆算法 ①在图中任取一点为起点1v ,连接边值最小的邻接点v2; ②以邻接点v2为起点,找到v2邻接的最小边值,如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值),直接连接,否则退回1v ,连接1v 现在的最小边值(除已连接的边值); ③重复操作,直到所有节点都被访问过一次; 24.关键路径 例2 求PERT 图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径. 解:最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 25.欧拉路:经过图中每条边一次且仅一次的通路; 欧拉回路:经过图中每条边一次且仅一次的回路; 欧拉图:具有欧拉回路的图; 单向欧拉路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路; 欧拉单向回路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路; 26.(1)无向图中存在欧拉路的充要条件: ①连通图;②有0个或2个奇数度节点; (2)无向图中存在欧拉回路的充要条件: ①连通图;②所有节点度数均为偶数; (3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件: ①除两个节点外,每个节点入度=出度; ②这两个节点中,一个节点的入度比出度多1,另一个节点的入;度比出度少1; (4)连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件: 图中每个节点的出度=入度; 27.哈密顿路:经过图中每个节点一次且仅一次的通路; 哈密顿回路:经过图中每个节点一次且仅一次的回路; 哈密顿图:具有哈密顿回路的图; 28.判定哈密顿图(没有充要条件) 必要条件: 任意去掉图中n 个节点及关联的边后,得到的分图数目小于等于n ; 充分条件: 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数; 29.哈密顿图的应用:安排圆桌会议; 方法:将每一个人看做一个节点,将每个人与和他能交流的人连接,找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图),即可; 30.平面图:将图形的交叉边进行改造后,不会出现边的交叉,则是平面图; 31.面次:面的边界回路长度称为该面的次; 32.一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍; 33.欧拉定理:假设一个连通平面图有v 个节点,e 条边,r 个面,则 v-e+r=2; 34.判断是平面图的必要条件:(若不满足,就一定不是平面图) 设图G 是v 个节点,e 条边的简单连通平面图,若v>=3,则e<=3v-6; 35.同胚:对于两个图G1,G2,如果它们是同构的,或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图,则称G1,G2是同胚的; 36.判断G 是平面图的充要条件: 图G 不含同胚于K3.3或K5的子图; 37.二部图:①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1,V2; ②图中每条边的一个端点在V1,另一个则在V2中; 完全二部图:二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接; 判定无向图G 为二部图的充要条件: 图中每条回路经过边的条数均为偶数; 38.树:具有n 个顶点n-1条边的无回路连通无向图; 39.节点的层数:从树根到该节点经过的边的条数; 40.树高:层数最大的顶点的层数; 41.二叉树: ①二叉树额基本结构状态有5种; ②二叉树内节点的度数只考虑出度,不考虑入度; ③二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1; ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度);握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立; ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1; ⑥位于二叉树第k 层上的节点,最多有12-k 个(k>=1); ⑦深度为k 的二叉树的节点总数最多为k 2-1个,最少k 个(k>=1); ⑧如果有0n 个叶子,n2个2度节点,则0n =n2+1; 42.二叉树的节点遍历方法: 先根顺序(DLR ); 中根顺序(LDR ); 后根顺序(LRD ); 43.哈夫曼树:用哈夫曼算法构造的最优二叉树; 44.最优二叉树的构造方法: ①将给定的权值按从小到大排序; ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大),去掉已选的这两个权值,并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值; ③重复②,直达所有权值构造完毕; 45.哈夫曼编码:在最优二叉树上,按照左0右1的规则,用0和1代替所有边的权值; 每个节点的编码:从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;

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