高二数学圆的方程

高二数学圆的方程
高二数学圆的方程

12.2圆的方程

上海市控江中学 刘玉洁

一. 教学内容分析 ① 本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程的推导、掌握.进一步理解曲线方程的意义.

② 本节的难点是圆的标准方程的推导、圆的一般方程的结构特征,以及圆方程的求解和应用.

二. 教学目标设计

在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.进一步提高用解析法研究几何问题的能力;加深对数形结合思想和待定系数法的理解;增强用数学的意识.

三. 教学重点及难点

圆的标准方程的推导;圆的一般方程及其代数特征.

四. 教学流程设计

五. 教学过程设计

一. 圆的标准方程

问题1:已知一定圆C 的半径为r ,求此圆的方程. 课堂小结并布置作业

圆一般方程的

代数特征

圆的标准方程

圆的一般方程 问题引入

圆的方程

分析:设M 是圆上任意一点,根据圆的定义,可知点M 到圆心C 的距离等于r,所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}

如左图,以圆心C 原点建立平面直角坐标系,

设圆上任意一点),(y x M , 因为r MC =, 所以 r y x =+22

整理得: 222r y x =+ (1)

这里边我们要注意点M 的坐标与方程(1)的关系:

由方程(1)的推导过程可知,若点M 在圆上,则M 的坐标满足方程(1);

反之,若点M 的坐标是方程(1)的解,即222r y x =+,则有r y x =+22,即r MC =,

可知点M 在圆上.

综上可知,圆C 的方程是222r y x =+.

[说明]求圆的方程应需考察以下两个方面:首先应建立一个合适的平面直角坐标系(若没有给出直角坐标系);其次,所得方程是否为轨迹(圆)方程,可由曲线方程的定义验证. 问题2:若设一定圆C 的圆心在),(b a 半径为r ,求此圆的方程.

设圆上任意一点),(y x M ,因为r MC =,

所以r b y a x =-+-22)()(,

整理后得:222)()(r b y a x =-+-.

同问题1,可以验证方程222)()(r b y a x =-+-是圆心在),(b a 半径为r 的圆的方程.

可以看到只要知道了圆心坐标和半径,就可以得出其相应的圆方程.我们称方程222)()(r b y a x =-+- 是 圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程.

[说明]这种对应关系把圆和方程联系起来,我们把圆的定义从文字语言转化为数学语言,把圆的几何性质代数化,从而体现了解析几何的特点.

例1.根据圆的方程写出圆心和半径

(1)5)3()2(22=-+-y x ; (2)222)(a y a x =++ 0≠a ;

(3)

04222=-++y y x x . [说明]本题要求学生熟练掌握配方法来求圆的几何量:圆心及半径.

例2.写出下列各圆的方程:

(1)圆心在)4,3(C ,半径为5;

(2)经过点)1,5(P ,圆心)3,8(-C .

(3)直径的两个端点为A (3,-2)和B (-1,6)

(4)求以C (-1,2)为圆心,并且和直线2x-3y-5=0相切的圆的方程.

[说明]本例体现了求圆方程的方法之一:找出圆心和半径.

例3. 过点)32,2(且与圆422=+y x 相切的圆的方程;

[说明]利用圆相切的几何性质来解决该问题.

二.圆的一般方程

问题1:将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-展开后都可化到:022=++++F Ey Dx y x 这一形式,

反之对于任意的R F E D ∈、、,方程022=++++F Ey Dx y x (*) 是否就一定可以表示为圆的方程呢?

将方程(*)配方:4

4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ (1) 当0422>-+F E D 时,方程(*)表示的轨迹为圆心)2

,2(E D --,半径 F E D r 422-+=的圆;

(2) 当0422=-+F E D 时,方程(*)表示一个点)2,2(E D --

; (3) 当0422<-+F E D 时,方程(*)无解,无轨迹图形.

由此可知,当且仅当042

2>-+F E D 时,方程022=++++F Ey Dx y x 是圆的方程.

我们把方程022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )称为圆的一般方程. 例4.根据下列条件,求圆的方程:

1、 经过三点(2,2)、(1,0)、(3,0);

2、 过原点)0,0(O 和点()1,3-A ,且在y 轴上截得的弦长为2 ;

3、 过点A (5,2)和B (3,2),且圆心在直线032=--y x 上.

[说明]本题既可以通过几何的方法求出圆心、半径后写出圆的标准方程;也可通过设出圆的一般方程后,用待定系数法来求出圆的方程.可让学生在解题中体会下两种方程的各自特点. 小结:圆一般方程的代数特点:

①2

x 、2y 项的系数相同 、没有xy 项 ;

②F E D 、、是3个参量,因此只需3个独立的条件就可以列出一个三元一次方程组,解出未知数F E D 、、,得到圆的一般方程,这与圆标准方程中的3个参量r b a 、、意义上不同,但在代数方程中本质上完全相同.

例5.过圆O :1622=+y x 外一点M (2,-6)作直线交圆O 于A 、B 两点,求弦AB 的中点C 的轨迹.

[说明]例5要求学生进一步熟练掌握用圆的几何性质解决直线与圆相交位置关系下的各类问题.

三.课堂小结

1.圆的标准方程及圆方程下的圆心半径的求法;

2.圆的一般方程的代数特征; 3.在求圆方程的问题中,两类方程形式各有千秋:

(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和半径一目了然.

(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用

四.课后作业

书上第39页1、3、4 ; 第41页 3、4 ; 第42页 1、2、3.

六. 教学设计说明

(1) 圆是最基本的曲线.教材将其安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论,为后继学习做好准备.学生在运用方程来描绘出圆的轨迹的过程中,使学生建立起方程和轨迹的一种对应,这对以后圆锥曲线的学习非常重要.同时,有关圆的问题,特别是直线与圆的位置关系问题,也是解析几何中的基本问题,

这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

(2) 在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法,教学中应多总结.

(3) 解决有关圆的问题,要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和以前所学过的解析几何的基本知识,因此在教学中要注意多复习、多运用,培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高二数学圆的一般方程 人教版

高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数, D、E、F、 难点:圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授: 请同学们看出圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r、 把圆的标准方程展开,并整理:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、 我们把它看成下面的形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 这个方程是圆的方程、

反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示 (2)当D2+E2-4F=0时,方程②表示 (3)当D2+E2-4F<0时,方程②不表示任何图形 ∴当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同,不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现,x2和y2的系数相同,不等于0、且没有xy 这样的二次项,是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了、 (二)研究问题1,求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0、 把已知三点的坐标代入,得三个方程,解这三个方程组成的方程组

人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

(数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。

高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时) 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2 221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a . ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2 224)4()1022(=-++-y x . (2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2 221)14()2(=--+-a (无解),故622±=a . ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2 224)4()622(=+++-y x . 例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.

高二数学圆的方程练习

高二数学圆的方程练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2 -12=0总有两个不同交点,则a 的取值范围是( ) A.-3<a <7 B.-6<a <4 C.-7<a <3 D.-21<a <19 2.圆(x-3)2+(y-3)2 =9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.使圆(x-2)2+(y+3)2 =2上点与点(0,-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5,1) B.(3,-2) C.(4,1) D.(2 +2,2-3) 4.若直线x+y=r 与圆x 2 +y 2 =r(r >0)相切,则实数r 的值等于( ) A. 2 2 B.1 C.2 D.2 5.直线x-y+4=0被圆x 2 +y 2 +4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8 B.4 C.22 D.42 二、填空题 6.过点P(2,1)且与圆x 2+y 2 -2x+2y+1=0相切的直线的方程为 . 7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)|(x-a)2+y 2 ≤9},若M ∪N=M ,则实数a 的取值范围是 . 8.已知P(3,0)是圆x 2+y 2 -8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ,过点P 的最长弦所在直线方程是 . 三、解答题 9.已知圆x 2+y 2 +x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点,若OP ⊥OQ(O 是原点),求m 的值. 10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C :y=1+2 4x 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围. AA 级 一、选择题 1.圆(x-3)2+(y+4)2 =2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2 =2 C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2 =2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2 =1的内部,则实数a 的取值范围是( )

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解: 1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α=0°; ③范围:0°≤α<180° 。 2、斜率:①找k :k=tan α (α≠90°); ②垂直:斜率k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标:1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形(数形结合); ②斜率k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系:222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交:斜率21k k ≠(前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> 0211=⊥k k x l 不存在,则轴,即; <2> 斜率都存在时:121-=?k k 。 ②平行:<1> 斜率都存在时:2121,b b k k ≠=; <2> 斜率都不存在时:两直线都与x 轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时:2121,b b k k ==; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式:)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可; ②斜截式:b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可; ③两点式:),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中, 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可; ④截距式: 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可; ⑤一般式:0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可

高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程:(1)标准方程:2 22()()x a y b r -+-=(圆心为A(a,b),半径为r ) (2)圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 圆心(-2D ,-2 E )半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法:根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切,d>r 为相交,d0为相交,△<0为相离。利用这种方法,可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。 4.圆与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: 1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切; 3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交;4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切; 5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含; (2)代数法:由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切 或内切,△>0为相交,△<0为相离或内含。若两圆相交,两圆方程相减得公共弦所在直线方程。 5. 直线与圆的方程的应用:利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 题型一 求圆的方程 例1.求过点A( 2,0),圆心在(3, 2)圆的方程。 变式1求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 解:设所求的圆的方程为:02 2=++++F Ey Dx y x (也可设圆的标准方程求) ∵(0,0),(11A B φ,),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组. 即??? ??=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组,可得:0,6,8==-=F E D 王新敞 ∴所求圆的方程为: 0682 2=+-+y x y x 王新敞

高中数学圆的方程专题复习

1 / 4 高一数学辅导资料 内容:圆与方程 本章考试要求 一、圆的方程 【知识要点】 1.圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为:)0()()(222>=-+-r r b y a x 0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为:222r y x =+. 2.圆的一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x ,圆心为点,2 2D E ?? -- ???,半径2 r = , 其中0422 >-+F E D . 3.圆系方程:过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ), 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一 求圆的方程 问题1. 求满足下列各条件圆的方程: ()1以两点(3,1)A --,(5,5)B 为直径端点的圆的方程是 ()2求经过)2,5(A ,)2,3(-B 两点,圆心在直线32=-y x 上的圆的方程; ()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ,则圆C 的方程是? 考点二 圆的标准方程与一般方程 问题2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是 考点三 轨迹问题

问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4.设两点()3,0A -,()3,0B ,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2,求P 点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 1.直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为△,圆的半径为r ,圆心C 到直线l 的距离为d 则直线与 圆的位置关系满足以下关系: 2.直线截圆所得弦长的计算方法: 利用垂径定理和勾股定理:AB =r 为圆的半径,d 直线到圆心的距离). 0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是 4.相切问题的解法: ①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-(或一条直线存在斜率,另一条不存在) ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即0=?来求解. 特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为 【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系 问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能 ()2直线l :1mx y m -+-与圆C :() 2 211x y +-=的位置关系是 .A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定,与m 的取值有关. ()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦,则所作的弦中最短的弦长为

高中数学 圆的标准方程教案

第 四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标: 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程: 1、情境设置 : 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: 2、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程,得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例(1):写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程,并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

专题:直线与圆 1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .内切 D .相离 2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y -2)2=1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 C .x 2+y 2-2y =0 D .x 2+y 2+4y +6=0 7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2 D .(a +b )2=2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2+y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A . 4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 11.若直线3x -4y +12=0与两坐标轴的交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________. 12.已知直线x =a 与圆(x -1)2+y 2=1相切,则a 的值是_________. 13.直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长为_________. 14.若A (4,-7,1),B (6,2,z ),|AB |=11,则z =_______________. 15.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形P ACB 面积的最小值为 . 三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线y =0上,且圆过两点A (1,4),B (3,2);(2)圆心在直线2x +y =0上,且圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1).

高中数学必修2圆的方程练习题

第四章 圆与方程 一、选择题 1.圆C 1 : x 2 +y 2 +2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2 +y 2 -4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .切 D .相离 2.两圆x 2+y 2 -4x +2y +1=0与x 2 +y 2 +4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2 +(y -1)2 =1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2 +(y +1)2 =1 B .(x -2)2+(y -1)2 =1 C .(x -1)2 +(y +2)2 =1 D .(x +1)2 +(y -2)2 =1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2 +y 2 -2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2 +y 2 +4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2 +y 2 -2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2 +y 2 +4y -6=0 B .x 2+y 2 +4x -6=0 C .x 2 +y 2 -2y =0 D .x 2 +y 2 +4y +6=0 7.圆x 2 +y 2 -4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2 +(y -b )2 =r 2 和(x -b )2 +(y -a )2 =r 2 相切,则( ). A .(a -b )2 =r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2 =r 2 D .(a +b )2 =2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2 +y 2 =10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 二、填空题

高中数学必修二:圆的方程

2019-2020学年高一数学必修二 第三节:圆的方程 1.圆的定义及方程 2.点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程(x -a )2+(y -b )2=t 2(t ∈R)表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( ) (3)方程x 2+y 2+4mx -2y =0不一定表示圆.( ) (4)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey +F >0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a =( ) A .-4 3 B .-3 4 C. 3 D .2 解析:选A 因为圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax +y -1=0的距离d = |a +4-1|a 2+1 =1,解得a =-4 3.

3.(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (-1,2),B (1,4),则圆C 的标准方程为________. 解析:设圆心C 的坐标为(a ,b ), 则a =-1+12=0,b =2+42=3,故圆心C (0,3). 半径r =12|AB |=1 2[1-(-1)]2+(4-2)2= 2. ∴圆C 的标准方程为x 2+(y -3)2=2. 答案:x 2+(y -3)2=2 4.若方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是________. 解析:方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0可化为????x +a 22+(y +a )2=-3 4a 2-a +1,因为该方程表示圆,所以-34a 2-a +1>0,即3a 2+4a -4<0,所以-2

高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结

高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结 Jenny was compiled in January 2021

第四章 圆 与 方 程 ★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆定长为圆的半径。 设M (x,y )为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | = r } ★2 (1 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系: 当2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内; (2 (x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 (0422>-+F E D ) 当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为?? ? ??--2,2 E D ,半径为 F E D r 42 1 22-+= 当0422=-+F E D 时,表示一个点; 当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆的方程的方法: 待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ; 直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 ★3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线0:=++C By Ax l ,圆()()222:r b y a x C =-+-,圆心()b a C ,到l 的距离为 ,则有相离与C l r d ?>;相切与C l r d ?=;相交与C l r d ?< (2)过圆外一点的切线k , ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线) (3) 22=r 2,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为22 2)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 )4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++== AC r . 故所求圆的方程为20)1(22 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高二数学讲义:圆与方程

讲义:圆与方程 圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程:222 ()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 的圆的方程222 x y r +=。 2、圆的一般方程:()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> (1)当2240D E F +->时,表示以,22D E ??-- ???为半径的圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ??- - ??? ;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形. 特点:(1)①2x 和2 y 的系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样的二次项 (2)确定圆的一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 (3)与圆的标准方程比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标 准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 3、过圆上一点的切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 的切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 的圆的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题 例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8),求该圆的方程。

例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。 例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切的圆的方程. 例4、已知圆的方程是2 22r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。 例5、求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

圆与方程知识点 1.圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是 222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2.点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d,圆半径为r:a.点在圆内 d<r; b.点在圆上 d=r; c.点在圆外 d>r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内2 2020)()(r b y a x <-+-?②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? (③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-?(3)涉及最值: 1 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+2 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==-

max PA AM r AC ==+思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3.圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1)当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心?? ? ??--2,2 E D C ,半径 2 422F E D r -+= . (2)当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ? ?-- 2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形. 注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且 0422 AF E D -+. 4.直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离2 2B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ;2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交??

(完整word版)高中数学圆的方程专题复习

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即

………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则 ,解之可得 又满足方程①,则 故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得,

高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结

第四章 圆 与 方 程 ★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 设M (x,y )为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | |MA| = r } ★2、圆的方程 (1 点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的位置关系: 当2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2 r ,点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2 r ,点在圆内; (2 (x+D/2)2 +(y+E/2)2 =(D 2 +E 2 -4F)/4 (042 2>-+F E D ) 当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为? ? ? ??--2,2E D ,半径为F E D r 42122-+= 当042 2=-+F E D 时,表示一个点; 当042 2 <-+F E D 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆的方程的方法: ①待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ; ②直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 ★3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线0:=++C By Ax l ,圆()()222:r b y a x C =-+-,圆心()b a C ,到l 的距离为 相离 与C l r d ?>;相切与C l r d ?=;相交与C l r d ?< (2)过圆外一点的切线 k , ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线) (x-a)2+(y-b)2=r 2 ,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为

高中数学圆的方程专题讲解

圆的方程 考纲解读 1.利用圆的几何要素,求圆的标准方程和一般方程;2.利用代数法、几何法处理圆的问题. [基础梳理] 1.圆的定义、方程 2. 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2

4.不等式组? ???? x 2+y 2≤1 y ≤x 表示的区域面积为________. 答案:π 2 考点一 求圆的方程|方法突破 [例1] (1)(2018·南昌检测)圆心在y 轴上,且过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( ) A .x 2+y 2+10y =0 B .x 2+y 2-10y =0 C .x 2+y 2+10x =0 D .x 2+y 2-10x =0 (2)圆心在直线x -2y -3=0上,且过点A (2,-3),B (-2,-5)的圆的方程为________.(此题可用多种方法求解) [解析] (1)根据题意,设圆心坐标为(0,r ),半径为r ,则32+(r -1)2=r 2,解得r =5,可得圆的方程为x 2+y 2-10y =0,故选B. (2)法一:设所求圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,由题意得???? ? (2-a )2+(-3-b )2=r 2,(-2-a )2+(-5-b )2=r 2,a -2b -3=0, 解得???? ? a =-1, b =-2, r 2=10, 故所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10. 法二:设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则圆心坐标为(-D 2,-E 2 ). 由题意得 ????? ????-D 2-2×??? ?-E 2-3=0, 4+9+2D -3E +F =0,4+25-2D -5E +F =0, 解得???? ? D =2, E =4, F =-5. 故所求圆的方程为x 2+y 2+2x +4y -5=0.

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