高考数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数 题组训练5 函数的定义域与值域 理
题组训练5 函数的定义域与值域
1．下列函数中，与函数y ＝
13
x
定义域相同的函数为( )
A ．y ＝
1
sinx
B ．y ＝lnx x
C ．y ＝xe x
D ．y ＝sinx x
答案 D 解析 因为y ＝
1
3
x
的定义域为{x|x≠0}，而y ＝1sinx 的定义域为{x|x≠k π，k ∈Z }，y ＝
lnx
x 的定义域为{x|x>0}，y ＝xe x
的定义域为R ，y ＝sinx x 的定义域为{x|x≠0}，故D 项正确．
2．(2017·山东)设函数y ＝4－x 2
的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．(1，2] C ．(－2，1) D ．[－2，1)
答案 D
解析 由4－x 2
≥0，得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.
3．函数f(x)＝－x 2
－3x ＋4
lg （x ＋1）的定义域为( )
A ．(－1，0)∪(0，1]
B ．(－1，1]
C ．(－4，－1]
D ．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数f(x)有意义，应有????
?－x 2
－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1 4．若f(x)的定义域是[－1，1]，则f(sinx)的定义域为( ) A ．R B ．[－1，1] C ．[－π2，π 2] D ．[－sin1，sin1] 答案 A 5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A ．(－∞，3 2) B ．(－∞，3 2] C ．(3 2，＋∞) D ．[3 2 ，＋∞) 答案 B 解析 设1－2x ＝t ，则t≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 2 2－t ＝12(－t 2 －2t ＋3)＝－12(t ＋1)2 ＋2，因为t≥0，所以y≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为(－∞，32 ]，故选B. 6．(2018·东北三校联考)若函数f(x)＝? ????－x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x>2，(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)， 则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(0，2] C ．[2，＋∞) D ．(1，22] 答案 A 解析 ∵当x≤2时，－x ＋6≥4，f(x)的值域为[4，＋∞)，∴? ????3＋log a 2≥4， a>1，解得1 ∴a ∈(1，2]，故选A. 7．(2018·河北衡水武邑中学月考)若函数y ＝x 2 －3x －4的定义域为[0，m]，值域为[－254， －4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4] B ．[－25 4，－4] C ．[3 2，3] D ．[3 2 ，＋∞) 答案 C 解析 函数y ＝x 2 －3x －4的图像如图所示． 因为y ＝(x －32)2－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标3 2开始，一直到点(0， －4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是[3 2 ，3]． 8．(2018·人大附中月考)下列四个函数：①y＝3－x ；②y＝2 x －1 (x>0)；③y＝x 2 ＋2x －10； ④y＝?????x （x≤0），1x （x>0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ①y＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2 x －1 (x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(1 2 ， ＋∞)，③y ＝x 2 ＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝?????x （x≤0），1x （x>0），的定义 域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B. 9．(2018·湖南长沙一中)设函数f(x)的定义域为D ，若f(x)满足条件；存在[a ，b]?D ，使f(x)在[a ，b]上的值域是[a 2，b 2]，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数f(x)＝log 2(2x ＋t) 为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1 4) B ．(0，1) C ．(0，1 2) D ．(1 4 ，＋∞) 答案 A 解析 由题设可得log 2(2a ＋t)＝a 2且log 2(2b ＋t)＝b 2，故方程log 2(2x ＋t)＝x 2有两个不等的 实数根，即2x 2＝2x ＋t 有两个不等的实数根．令2x 2＝r>0，则t ＝r －r 2 在(0，＋∞)上有两个不等的实数根．因为t max ＝14，所以当t∈(0，14)时，函数y ＝r －r 2 (r>0)的图像与直线y ＝t 有两个不同交点．故选A. 10．已知函数f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f(x)]2 ＋f(x 2 )的值域为( ) A ．[6，10] B ．[2，13] C ．[6，13] D ．[6，13) 答案 C 解析 ∵f(x)＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，∴要使[f(x)]2 ＋f(x 2)有意义，则?????1≤x≤9， 1≤x 2 ≤9， ∴1≤x ≤3，即y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的定义域为[1，3]．又y ＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2 ＝(log 3x ＋3)2 －3，x ∈[1，3]，log 3x ∈[0，1]，∴y min ＝(0＋3)2 －3＝6，y max ＝(1＋3)2 －3＝13，∴ 函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2 )的值域为[6，13]． 11．(2018·福建连城一中期中)函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ＋d 的部分数值如下： 答案 (－1，1)∪(2，＋∞) 解析 依题意有f(x)>0，由表格可看出，在区间(－1，1)，(2，＋∞)上f(x)的函数值是大于零的． 12．若函数f(x)＝e x x 2＋ax ＋a 的定义域为R ，求实数a 的取值范围________． 答案 (0，4) 解析 ∵f(x)的定义域为R ， ∴x 2 ＋ax ＋a≠0恒成立．∴Δ＝a 2 －4a<0， ∴0 x ＋1的值域为________． 答案 (－∞，2)∪(2，＋∞) 解析 ∵f(x)＝2x ＋1x ＋1＝2（x ＋1）－1x ＋1＝2－1x ＋1，1 x ＋1≠0，∴f(x)≠2，∴函数f(x)的值 域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 14．函数y ＝10x ＋10 －x 10x －10－x 的值域为________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 解析 由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得 y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0，∴y ＋1y －1>0.∴y<－1或y>1. 即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 15．函数y ＝x x 2＋x ＋1(x>0)的值域是________． 答案 (0，1 3 ] 解析 由y ＝x x 2＋x ＋1(x>0)，得0 x ＋1 x ＋1≤ 12x·1x ＋1＝1 3 ，当且仅当x ＝1时，等号成立，因此该函数的值域是(0，1 3 ]． 16．(2018·福州市质检)定义新运算“⊕”：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a .设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x ∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________． 答案 [－4，6] 解析 由题意知， f(x)＝? ????x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]， 当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]； 当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]． 故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]． 17．已知函数y ＝x 2 ＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围． 答案 {a|a≥4＋23或a≤4－23} 解析 令t ＝g(x)＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)?{y|y ＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2 －4(2a －1)≥0，即a 2 －8a ＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a 的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}． 18．设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a. (1)当a ＝5时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)(－∞，1] 解析 (1)由题设知：|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|和y ＝5的图像，知f(x)定义域为(－∞，－4]∪[1，＋∞)． (2)由题设知，当x∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x ＋2|－a≥0，即|x ＋1|＋|x ＋2|≥a，又由(1)，|x ＋1|＋|x ＋2|≥1，∴a ≤1. 1．若函数y ＝f(x)的值域是[1，3]，则函数f(x)＝1－2f(x ＋3)的值域是( ) A ．[－5，－1] B ．[－2，0] C ．[－6，－2] D ．[1，3] 答案 A 解析 ∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x ＋3)≤3. ∴－6≤－2f(x ＋3)≤－2，∴－5≤f(x)≤－1. 2．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[1，3] 答案 A 解析 由题意，得? ????0≤2x≤2， 8－2x ≥0，解得0≤x≤1.故选A. 3．函数y ＝|x|（x －1）的定义域为( ) A ．{x|x ≥1} B ．{x|x ≥1或x ＝0} C ．{x|x ≥0} D ．{x|x ＝0} 答案 B 解析 由题意得|x|(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x|＝0. ∴x ≥1或x ＝0. 4．(2018·江苏金陵中学模拟)已知函数f(x)＝ 2x x ＋2 ，函数g(x)＝－(x －1)2 ＋a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0，2] 解析 f(x)＝ 2x x ＋2＝2（x ＋2）－4x ＋2＝2－4 x ＋2 ，则函数f(x)在[0，2]上为增函数，则f(0)≤f(x)≤f(2)，即0≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域是A ＝[0，1]．又g(x)＝－(x －1)2 ＋a 在[0，2]上的值域是B ＝[a －1，a]，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，则A∩B≠?，若A∩B＝?，则a<0或a －1>1，即a<0或a>2，所以实数a 的取值范围是[0，2]． 5．函数y ＝ 1x ＋1 ＋ 1 1＋x －1定义域是________． 答案 (－1，0)∪(0，＋∞) 解析 ? ????x ＋1>0，1＋x －1 ≠0??????x>－1，x ≠0，x ≠－1 ?－1 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 【命题规律】 1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式 2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围. 【真题展示】 1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为 m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 n n a +.如果一个人对两种交易(卖 出或买进)的满意度分别为 1h 和2h .现假设甲生产A 、B 两种产品的 单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为 A m 元和 B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为 h 乙(1)求h 甲和h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式；当 35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35 A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当 选取 A m 、 B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析； (2) 20,12B A m m == 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5 (3) 不能 故当1120 B m =即20,12B A m m ==时， （3）由（2）知：0h 由05 h h ≥=甲得： 12552A B A B m m m m ++?≤， 所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边 界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ， ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值； （2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 新定义问题（一）（讲义） 知识点睛 新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。 此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解． 精讲精练 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为 顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE． （1）请直接写出抛物线的解析式． （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标． 2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛 物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线． （1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ； （2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 去伪存真 巧解函数模型应用题 新课标加大了对应用问题的考查，而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材，因此也成为了高考命题的热点，本文通过比较建立不同的数学模型，来探讨如何建立效果最好的函数模型。 例：某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双， 1.3万双，1.37万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量。 分析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型。 解：由题意知：可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。 解法一：用一次函数模拟 设模拟函数为y ax b =+，以,B C 两点的坐标代入函数式，有2 1.23 1.3 a b a b +=??+=? 解得 0.11a b =??=? ，所以得0.11y x =+。 评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不可能的。 解法二：用二次函数模拟 设2 y ax bx c =++，将,,A B C 三点的坐标代入，有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=??++=??++=? 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-??=??=? 所以2 0.050.350.7y x x =-++。 评价：有此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双。而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴方程是 3.5x =），这显然不符合实际情况。 解法三：用幂函数模拟 设y b =，将,A B 两点的坐标代入，有1 1.2 a b b +=??+=解得0.48,0.52.a b =??=? 所以0.52y =。 评价：以3,4x x ==代入，分别得到 1.35, 1.48y y ==，与实际产量差距较大。这是因为 函数中的新定义问题 一、填空题 1、定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数 f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差 2 为 . 2、（2015余杭区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x；②f（x）= x2；③f（x）=2；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为． 3、（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?，均有f?x1??f?x2?kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x?? 4、（2012格致三模）已知全集为U，P??U，定义集合P的特征函数为x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。 ??1,x?P,fP?x???，对于A??U， B??U，给出下列四个结论： 0,x?eP.?U? ①对任意x?U，有feUA?x??fA?x??1； ②对任意x?U，若A??B，则fA?x??fB?x?； ③对任意x?U，有fAIB?x??fA?x??fB?x?； ④对任意x?U，有fA?B?x??fA?x??fB?x?。 其中，正确结论的序号是__________。 5、定义运算：a*b=，对于函数f（x）和g（x），函数|f（x）﹣g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（sinx*cosx，1）= ． 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式. 三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）. 与函数有关的新定义题型 1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”． (1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6 x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4， 求此“路线”L 的解析式； (3)当常数k 满足1 2≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴， y 轴所围成的三角形面积的取值范围． 2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．称之为“中国结”． (1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与 相应“中国结”的坐标； (3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？ 3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比 例函数的解析式； (2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题 ?类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用 图4－ZT－1 1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________. 2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________． 3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”． (1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点． (2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式． 图4－ZT－2 ?类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究 4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答． 5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点． (1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标． 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 函数模型应用题例析3 函数模型应用问题，是常见的数学知识的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等现实生活中的实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型． 一、二次函数模型问题 例1 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 50 30003600-= 12，所以这时租出了88辆车． (Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： )(x f = (100－503000-x )(x －150)－503000-x ×50 =－502x + 162x －21000 =－50 1(x －4050)2+ 307050． 所以，当x = 405时，)(x f 最大，最大值为)4050(f =307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 评析：此例主要考查一元二次函数等知识综合解答实际问题的能力，以函数为主线的联系实际的应用问题正是近几年高考的热点和重点题型． 二、分段函数模型问题 例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但 专题突破(十) 新定义问题 1． 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图． (1)当⊙O 的半径为1时． ①分别判断点M (2，1)，N (3 2，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其 坐标； ②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围． (2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－ 3 3 x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围． 图Z10－1 2． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y ＝1 x (x >0)和y ＝x ＋1(－4 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 3 实数b的取值范围． 变式 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 例3．如图1，抛物线y =ax 2 +bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高． （1）抛物线2 12 y x = 对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2 +3（a ＞0）对应的碟宽为 ； （2）抛物线2 543 y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1， F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1 2 ，且F n 的碟顶 是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式； ②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。 2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}2020年高考数学三角函数专题解题技巧
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