二轮立体几何专题

二轮立体几何专题
二轮立体几何专题

二轮高三文科数学专题复习立体几何

【基础题训练】

复习提醒:立体几何选择填空题主要考查三视图、表面积和体积、点线面位置关系的内容。 做题过程中要学会使用数形结合的思想、空间问题平面化的思想来解题。

1、若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 A .6 B .6π C .π53 D .π56

2、如左下图所示,一个空间几何体的主视图和左视图 都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆, 那么这个几何体的表面积为 A .3π B .2π C .

π2

3

D .4π

3、一空间几何体的三视图如右上图所示,该几何体的体积为3

5

812+

π,则正视图中x 的值为

A.5

B.4

C.3

D.2 4、(惠州2011高三第三次调研考试)设α表示平面,a ,b 表示直线,给定下列四个命题: ①a//α,α⊥?⊥b b a ; ②a//b,αα⊥?⊥b a ;

③a ⊥α,α//b b a ?⊥; ④a ⊥α,b a b //?⊥α.其中正确命题的个数有( )

A.1个 B .2个 C .3个 D .4个

5、设a ,b 是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b 的一个充分条件是( ) A.a⊥α,b//β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α//β C .α?a ,b⊥β,α//β D.α?a ,b//β,α⊥β

6、若m 、n 为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 个数是( )

①若m 、n 都平行于平面α,则m 、n 一定不是相交直线; ②若m 、n 都垂直于平面α,则m 、n 一定是平行直线;

③已知α、β互相垂直,m 、n 互相垂直,若m⊥α,则n⊥β; ④m、n 在平面α内的射影互相垂直,则m 、n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4

7、已知α、β、γ是三个互不重合的平面,l是一条直线,下列命题中正确命题是( ) A.若α⊥β,l⊥β,则l//α B.若l上有两个点到α的距离相等,则l//α

C.若l⊥α,l//β,则α⊥β D.若α⊥β,α⊥γ,则γ⊥β

【大题训练】

复习提醒:想做好立体几何的大题,前提条件是熟悉所有的判定定理和性质定理,并能够懂得使用它们。证明题主要证明平行和垂直的关系,解答题主要求解面积、体积、距离等

几何体的特征。考题的载体可以是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥等。

8、(中山2011届高三上期末统考)如图,在棱长为2的正方体

ABCD-A1B1C1D1中,

E、F分别为DD1、DB的中点.

(1)求证:EF//平面ABC1D1;

(2)求证:EF⊥B1C

9、(2011)在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形,AB=2,O,D分

别是AB,PB的中点.

(I)求证:OD∥平面PAC;

(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面ABC;

(Ⅲ)求三棱锥P-ABC的体积.

10、(珠海2011届高三上期末考试题)如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD ,NB⊥平面ABCD ,且MD=NB=1,(1)以向量AB 方向为侧视方向,

侧视图是什么形状?

(2)求证:CN//平面AMD ;

(3)(文)求该几何体的体积.

11、(2009深圳一模)图,AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,AB//EF ,矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1. (I)求证:AF ⊥平面CBF ;

(Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证:OM//平面DAF :

(Ⅲ)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F-ABCD ,V F-CBE ,求

CBE F ABCD F V V --: .

【高考真题训练】 (2010年)18.(本小题满分14分)

如图4,弧AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为弧AC 的中点,点B 和点C 为线

段AD 的三等分点,平面AEC 外一点F 满足FC⊥平面BED ,a FB 5=.

(1)证明:EB⊥FD;

(2)求点B 到平面FED 的距离

(2009年)17.(本小题满分13分)

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH ,下半部分是长方体ABCD-EFGH 。图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线BD⊥平面PEG.

(2008年)18.(本小题满分14分)

如图5所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆

的直径,∠ABD=600,∠BDC=450

,△ADP~△BAD。 (1)求线段PD 的长;

(2)若R PC 11 ,求三棱锥P-ABC 的体积。

参考答案

【基础题训练】 1、C 2、C 3、C 4.【解析】考虑α?a 的情形,则排除①③,故正确命题有②、④,故 选B 。 5、C 6、①为假命题,②为真命题,在⑤中n 可以平行于β,也可以在β内,是假命题,④中,m 、n 也可以不互相垂直,为假命题;故选A 。 7、C 【大题训练】

8、证明:(1)连接BD 1E 、F 分别为DD 1、DB 的中点,则EF//BD 1, 又?1BD 平面ABC 1D 1,?/EF 平面ABC 1D 1,∴EF//平面ABC 1D 1 (2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB⊥平面BCC 1B 1,则AB⊥B 1C

正方形BCC 1B 1中,B 1C⊥BC 1,又AB∩BC 1=B ,AB 、?1BC 平面ABC 1D 1, 则B 1C⊥平面ABC 1D 1,?1BD 平面ABC 1D 1,

所以B 1C⊥BD 1又EF//BD 1,所以B 1C⊥EF.

9、(I)∵O,D 分别为AB,PB 的中点,∴OD//PA 又?PA 平面PAC ,?/OD 平面PAC ∴OD//平面PAC . ........5分 (Ⅱ)连结OC ,OP 2.

==CB AC ,O 为AB 中点,AB=2, ∴OC⊥AB,OC=1.

同理,PO⊥AB,PO=1.又2=

PC ,∴PC 2=OC 2+PO 2=2,∴∠POC=900. ∴PO⊥OC.

∵PO⊥OC,PO⊥AB,AB∩OC=0,∴PO⊥平面ABC.?PO 平面PAB ∴平面PAB⊥平面ABC. .....10分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知OP 垂直平面ABC ∴OP 为三棱锥P-ABC 的高,且OP=1

OP S V ABC ABC P ?=

∴?-313

1

1122131=????= .....14分 10、解:(1)因为MD⊥平面ABCD ,NB⊥平面ABCD ,

BC=MD=NB ,所以侧视图是正方形及其两条对角线;……4分 (2)∵ABCD 是正方形,BC//AD ,BC//平面AMD ;…6分

又MD⊥平面ABCD ,NB⊥平面ABCD ,NB⊥平面ABCD ,∴MD//NB,∴NB//平面AMD ,

所以平面BNC//平面AMD ,故CN//平面AMD ;………8分 (3)连接AC 、BD ,交于O 点, ∵ABCD 是正方形,∴AO⊥BD, 又NB⊥平面ABCD ,AO⊥NB,

∴AO⊥平面MDBN ,……………10分 因为矩形MDBN 的面积2=?=BD MD S ,

所以四棱锥A-MDBN 的体积3

1

31=?=AO S V …………12分 同理四棱锥C-MDBN 的体积为3

1

……………13分 故该几何体的体积为

3

2

…14分

11、(I)证明: ∵平面ABCD⊥平面ABEF ,CB⊥AB, 平面ABCD∩平面ABEF=AB , ∴CB⊥平面ABEF ,

?AF 平面ABEF ,∴AF⊥CB,………2分

又∵AB 为圆O 的直径,∴AF⊥BF, …………4分 ∴AF⊥平面CBF 。 ………5分 (Ⅱ)设DF 的中点为N ,则CD MN 21//

,又CD AO 2

1

//, 则AO MN //,MNAO 为平行四边形, …………8分 ∴OM//AN,又?AN 平面DAF ,?/OM 平面DAF , ∴OM//平面DAF 。 …………10分

(Ⅲ)过点F 作FG⊥AB 于G ,∵平面ABCD⊥平面ABEF , ∴FG⊥平面ABCD ,FG S V ABCD ABCD F ?=∴-31FG 3

2

= ........... 12分 ∵CB⊥平面ABEF ,

BFE C CBE F V V --=∴CB S BFE ?=

?31CB FG EF ???=2131FG 6

1

=, …………13分 1:4:=∴--CBE F ABCD F V V 14分

【高考真题训练】

(2010年)解析:(1)∵FC⊥平面BED,?BE 平面BED ,∴EB⊥FC. 又点E 为AC 的中点,B 为直径AC 的中点,

∴EB⊥BC.

又∵FC∩BC=C, ∴EB⊥平面FBD.

?FD 平面FBD ,∴EB⊥FD.

(2)方法一:如图,在平面BEC 内过C 作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED 知,ED⊥ 平面FCH.

∵Rt△DHC∽Rt△DBE,

BE

CH

DE DC =∴

在Rt△DBE 中,=+=

22BD BE DE a BC BE 5222=+,

a

a

a DE BE DC CH 5?=?=

∴a 55=. ,5a FB = BC=a,∴FC=2a.

在平面FCH 内过C 作CK⊥FH,则CK⊥平面FED.

∵FH 2

=FC 2

+CH 2

=2

22

5

2154a a a =+,a FH 5105=∴.

=?=

∴FH

CH

FC CK a a a

a 212125

105552=?

∵C 是BD 的中点,∴B 到平面FED 的距离为a CK 21

21

42=

. 方法二:∵EB⊥平面FBD,?BF 平面FBD,∴EB ⊥FB. 在Rt△FBE 中,a FB 5=

,EB=a ,a EF 6=∴.

又∵FC⊥平面BED,∴FC⊥BD. ∵BC=CD ,a FB FD 5==∴. 在Rt△EBD 中,a BD BE ED 522=+=

在△EFD 中,a DE DF 5==,a EF 6=

由余弦定理得5

2

cos =

∠EDF ,521sin =∠∴EDF . EDF DF DE S EFD ∠??=

∴?sin 2

1

2221a =. 设B 到平面FED 的距离为h,

FC S V EBD EBD F ?=

?-31 a a a 222131????=33

2

a =,且EFD B EBD F V V --=, h a a 2

32213

132?=∴,a h 21214=∴,

即点B 到平面FED 的距离为

a 21

21

4. (2009年)【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为:V=V P-EFGH =V ABCD-EFGH

204060403

1

22?+??=

640003200032000=+= )(2cm (3)如图,连结EG,HF 及BD ,EG 与HF 相交于O ,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH , ∴PO⊥HF 又EG⊥HF ∴HF⊥平面PEG 又BD⊥HF ∴BD⊥平面PEG ;

(2008年)【解析】(1)∵BD 是圆的直径 ∴∠BAD=900

又□ADP~□BAD ,

AD

DP BA AD =∴,==BA AD DP 2

=)30sin ()60sin (2

BD BD o R R R 32

1243

42=?

?

; (2)在Rt△BCD 中,R BD CD 245cos =

=

2222221129PC R R R CD PD ==+=+ CD PD ⊥∴ 又∠PDA=900

∴PD⊥底面

ABCD

2

4

13R +=

三棱锥P-ABC 的体积为V P-ABC

=3

4

13R +=

.

高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求: ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲: 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( ) A . 6π B .3 π C .32π D .65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A .π2 B .π2 3 C .π332 D .π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. (1)求V (x )的表达式; (2)当x 为何值时,V (x )取得最大值? (3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 (二)基础训练: 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度0 75东经0120,则甲、乙两地球面距离为( ) (A )3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

高中数学(文科)立体几何知识点总结

l立体几何知识点整理(文科)l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系:一.αl 1. 线面平行 方法二:用面面平行实现。l//l //αl符号表示: 2. 线面相交βl lαAα方法三:用平面法向量实现。符号表示:

n 为平若面线在面内3. 的一个法向量,ln n l ll //且。,则l αα符号表示: 二.平行关系:线线平行:1.方法一:用线面平行实现。3. 面面平行:l mβl //l方法一:用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二:用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二:用线面平行实现。 方法三:用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。,则l l , m且相交mβ方法四:用向量方法:m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合,则α 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。1/11

l C A方法三:用向量方法: Bα l m l m ,则的数量积为和向量若向量0。三.垂直关系:

夹角问题。三.线面垂直:1.异面直线所成的角:一)(方法一:用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围:(1) ACl ABl 求法:(2)P n l ABAC A方法一:定义法。AθO AC, ABα:平移,使它们相交,找到夹角。步骤1 方法二:用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2:解三角形求出角。( 余弦定理:βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直:2.方法二:向量法。转化为向量 方法一:用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl:)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二:计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直:3. 上任取一点(1) 定义:直线l ,作(交点除外)P方法一:用线面垂直实现。 内,则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影,m

立体几何练习题及答案

… 数学立体几何练习题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点,A 1M ==,则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .垂直 D .不能确定 2.将正方形沿对角线折起,使平面⊥平面,E 是中点,则AED ∠的大小为( ) A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3.,,是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线 与平面所成的角的余弦值为( ) A .12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4.正方体—A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是1与1的中点,则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A .15 B 。13 C 。12 D 。 3 5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面的中心,E 、 F 分别是1CC 、的中点,那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A . 5 10 B .32 C . 5 5 D . 5 15

6.在正三棱柱1B 1C 1中,若2,A A 1=1,则点A 到平面A 1的距离为( ) A . 4 3 B . 2 3 C . 4 33 D .3 : 7.在正三棱柱1B 1C 1中,若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 ( ) o B. 90o o D. 75o 8.设E ,F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对 角线中,与截面A 1成60°角的对角线的数目是( ) A .0 B .2 C .4 D .6 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在正方体-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱1和1的中点,则 〈CM ,1D N 〉的值为. 10.如图,正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点, A 、B 、M 是顶点, 那么点M 到截面的距离是 . 11.正四棱锥的所有棱长都相等,E 为中点,则直线与截面所成的角为 . 12.已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . : 13.已知边长为的正三角形中,E 、F 分别为和的中点,⊥面, 且2,设平面α过且与平行,则与平面α间的距离 A B | D C

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.

不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD .

空间立体几何知识点归纳(文科)教学内容

第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使''' x O y ∠=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式: h S V ?=柱体;h S V ?=31锥体 ; ()1 3 V h S S =+下台体上 ⑸球的表面积和体积: 323 4 4R V R S ππ==球球,.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。

立体几何专题训练

专题一 立体几何 班级: _____ 姓名: _____ 学号: _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1.直线12,l l 和α,12//l l ,a 与1l 平行,则a 与2l 的关系是 A .平行 B .相交 C .垂直 D .以上都可能 2.若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍,则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A .1 3 B . 3 C .2 D .23 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A .15o B .30o C .45o D .60o 4.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 A .②③ B .①②③ C .①③ D .②③④ 5.有一山坡,倾斜度为300,若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里,则升高了 A .米 B . 米 C .米 D . 500米 6.已知三条直线,,a b l 及平面,αβ,则下列命题中正确的是 A .,//,//b a b a αα?若则 B .若,a b αα⊥⊥,则//a b C . 若,a b ααβ?=I ,则//a b D .若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7.已知P 是△EFG 所在平面外一点,且PE=PG ,则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A .∠FEG 的平分线上 B .边EG 的垂直平分线上 C .边EG 的中线上 D .边EG 的高上 8 .若一正四面体的体积是3,则该四面体的棱长是 A . 6cm B . C .12cm D .9.P 是△ABC 所在平面α外一点,PA ,PB ,PC 与α所成的角都相等,且PA ⊥BC ,则 △ABC 是 A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 10.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为3的正方形,EF//AB ,EF= 32 ,C D E F

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)

数学竞赛中的立体几何问题 立体几何作为高中数学的重要组成部分之一,当然也是每年的全国联赛的必然考查内容.解法灵活而备受人们的青睐,竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中,考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算.解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法. 一、求角度 这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角. 立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种.其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角,再构造一个包含该角的三角形,解三角形即可以完成;直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影,一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到,其角度范围是[]0,90??;二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角,三种方法:①作棱的垂面和两个半平面相交;②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线;③根据三垂线定理或逆定理.另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=?得到.式中S '表示射影多边形的面积,S 表示原多边形的面积,θ即为所求二面角. 例1 直线OA 和平面α斜交于一点O ,OB 是OA 在α内的射影,OC 是平面α内过O 点的任一直线,设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=,求证:cos cos cos αβγ=?. 分析:如图,设射线OA 任意一点A ,过A 作 AB α⊥于点B ,又作BC OC ⊥于点C ,连 接AC .有: cos ,cos ,cos ;OC OB OC OA OA OB αβγ=== 所以,cos cos cos αβγ=?. 评注:①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用.过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线,如果斜线和角的两边所成的角相等,那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上.利用全等三角形即可证明结论成立. ②从上述等式的三项可以看出cos α值最小,于是可得结论:平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中,斜线与它的射影所成的角最小. 例、(1997年全国联赛一试)如图,正四面体ABCD 中,E 在棱AB 上, α O C B A E A

(完整版)2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

(2019全国1文)16.已知90ACB ∠=?,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案: 2 解答: 如图,过P 点做平面ABC 的垂线段,垂足为O ,则PO 的长度即为所求,再做,PE CB PF CA ⊥⊥,由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥,在Rt PCF ?中,由2,3PC PF ==,可得出1CF =,同理在Rt PCE ?中可得出1CE =,结合90ACB ∠=?,,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==,2OC =,222PO PC OC =-= (2019全国1文)19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2AA AB ==,60BAD ∠=o , ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. (1)证明://MN 平面1C DE (2)求点C 到平面1C DE 的距离. 答案: 见解析 解答: (1)连结1111,AC B D 相交于点G ,再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ,再连结GH ,NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ,//GH DE , 于是得到平面//NGHM 平面1C DE , 由MN ?Q 平面NGHM ,于是得到//MN 平面1C DE

(2)E Q 为BC 中点,ABCD 为菱形且60BAD ∠=o DE BC ∴⊥,又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱,1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥,又12,4AB AA ==Q , 1DE C E ∴=,设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE (2019全国2文)7. 设,αβ为两个平面,则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案:B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. (2019全国2文)16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分.)

立体几何练习题

数学立体几何练习题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点,A 1M =AN = 2a 3 ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .垂直 D .不能确定 2.将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使平面ABD ⊥平面CBD ,E 是CD 中点,则AED ∠的大小为( ) A.45 B.30 C.60 D.90 3.PA ,PB ,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为( ) A . 12 B C D 4.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点,则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A . 15 B 。13 C 。 12 D 5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点,那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A .510 B .3 2 C .55 D .515 6.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2,A A 1=1,则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A . 4 3 B . 2 3 C . 4 3 3 D .3 7.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ( ) A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8.设E ,F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A .0 B .2 C .4 D .6 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点,则 sin 〈CM ,1D N 〉的值为_________. 10.如图,正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点, A 、B 、M 是顶点, 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C

高中数学立体几何习题精选精讲

例谈立体几何中的转化 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重要的就是转化的思想方法,它贯穿立体几何教学的始终,在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化,具体从以下几个方面入手。 1、 位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容,其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化,平行与垂直问题不但能横向转化,而且可以纵向转化。 例1 已知三棱锥S -ABC 中,∠ABC =90°,侧棱SA ⊥底面ABC ,点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E 、F 。求证EF ⊥SC 。 分析:∵A 、E 、F 三点不共线,AF ⊥SC , ∴要证EF ⊥SC ,只要证SC ⊥平面AEF , 只要证SC ⊥AE (如图1)。 又∵BC ⊥AB ,BC ⊥SA ,∴BC ⊥平面SAB , ∴SB 是SC 在平面SAB 上的射影。 ∴只要证AE ⊥SB (已知),∴EF ⊥SC 。 例2 设矩形ABCD ,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,以EF 为棱将矩形 折成二面角A -EF -C 1(如图-2)。求证:平面AB 1E ∥平面C 1DF 。 分析一(纵向转化): ∵AE ∥DF ,AE ?平面C 1DF , ∴ AE ∥平面C 1DF.同理,B 1E ∥平面C 1DF , 又AE ∩B 1E =E ,∴平面AB 1E ∥平面C 1DF 。 分析二(横向转化): ∵AE ∥EF ,B 1E ⊥EF ,且AE ∩B 1E =E ,∴EF ⊥平面C 1DF 。 同理,EF ⊥平面C 1DF 。平面AB1E ∥平面C 1DF 。 2、降维转化 由三维空间向二维平面转化,是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一 个平面中去,用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。 例3 如图-3,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=BC= 2,BB 1=2, ο90=∠ABC ,E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点,沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 . 22 3 分析:这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。 又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算,最终都是转化为平面上两 相交直线成的角来进行的。 B E A D1 C F C 1 图-2 D 图-1 E S F C B A 图-3

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别为AB 、PC 的中点; (1)求证:MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点. (1)求证://EF 平面PAB ; (2)若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=?, 求证:平面PEF ⊥平面PBC . P A C E B F

(1)证明:连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点, //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ,?AB 平面PAB , ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 (2)PA PC = ,E 为AC 的中点, PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点, //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC ,点D 是AB 的中点。 (1)求证:BC 1//平面CA 1D ; (2)求证:平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、PC 的中点. (1) 求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:EF ⊥CD ; (3) 若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.

2013高中数学精讲精练第七章立体几何初步

2013高中数学精讲精练第七章立体几何初步

2013高中数学精讲精练第七章立体几何初步 【知识图解】 【方法点拨】 立体几何研究的是现实空间,认识空间图形,可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体,对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系,几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点: 1.注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意:将文字语言转化为图形,并明确已知元素之间的位置关系及度量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系;能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系,并借助直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算。 2.归纳总结,分门别类。从知识上可以分为:平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。 3.抓主线,攻重点。针对一些重点内容加以训练,平行和垂直是

(2)如图,E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心,则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ (要求:把可能的图的序号都. 填上). 【范例导析】 例1.下列命题中,假命题是 (1)(3) 。(选出所有可能的答案) (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 (2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 (4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体 分析:准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。 (1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。 例2.C B A '''?是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 C B A ' ''?的面积为3,那么△ABC 的面积为_______________。 解析:62。

高中文科数学立体几何知识点总结材料

立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二:用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量l和向量m共线且l、 m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l

方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)

立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1.(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2.(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A.①②B.①③C.①④D.②④ 3.如下图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 4.(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15 5.(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A .2π+2 3 B .4π+2 3 C .2π+233 D .4π+23 3 二、填空题 6.在下列图的几何体中,有________个是柱体. 7.(2009年全国卷)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于__________. 8.一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6,这个长方体对角线的长是________. 三、解答题 9.如右图所示,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =3,AA 1=4,M 为AA 1的中点,P 是BC 上一点,且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29,设这条最短路线与CC 1的交点为N.求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和NC 的长. 10.一几何体的表面展开图如右图,则这个几何体是哪一种几何体?选择适当的角度,画出它水平放置时的直观图与三视图.并计算该几何体的体积. 参考答案 1.C 2.解析:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为D.

文科立体几何知识点方法总结高三复习

立体几何知识点整理(文科) 一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法 用线 直实 现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且l、m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 3.线线垂直: 方法一:用线面垂直 实现。 方法二:三垂线定理及其逆定理。 方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则m l⊥。 三.夹角问题。 (一)异面直线所成的角: (1) 范围:] 90 , 0(? ? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: (计算结果可能是其补角 ) θ c b a l

方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围:]90,0[?? 当?=0θ时,α?l 或α//l 当?=90θ时,α⊥l (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出线面角,并证明。 步骤2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围:]180,0[?? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤1:如图,若平面POA 同时垂直于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2:解三角形,求出二面角。 方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一:计算121212 cos n n n n n n ?= ? 步骤二:判断θ与12n n 的关系,可能相等或者互补。 四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。 步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。 步骤2:计算线段PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。 如图,m 和n 为两条异面直线,α?n 且α//m , 则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。 如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段, '//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为: 高考题典例 考点1 点到平面的距离例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ;(Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.考点2 异面直线的距离 A B C D O F

立体几何证明平行的方法及专题训练

D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜https://www.360docs.net/doc/1c10172608.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。 (2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4) 利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行的性质,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG.,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB =1,BC =2,CD =1+3, 过A 作AE⊥CD,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB (第1题图)

M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证: (Ⅰ)C 1D⊥BC; (Ⅱ)C 1D∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是 平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证: AM ∥平面EFG 。 分析:法一:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 法二:证平面EGF ∥平面ABC ,从而AM ∥平面EFG 6、如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=, 2,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M

立体几何综合训练

立体几何综合性训练 一、单选题 1.下列说法中不正确...的是( ) A .圆柱的侧面展开图是一个矩形 B .直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C .圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 D .圆台中平行于底面的截面是圆面 2.下列命题中错误的是:( ) A .如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β; B .如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β; C .如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β; D .如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ. 3.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面.在下列条件中,可得出αβ⊥的是( ) A .,,//m n m n αβ⊥⊥ B .//,//,m n m n αβ⊥ C .,//,//m n m n αβ⊥ D .//,,m n m n αβ⊥⊥ 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A . 10 3 B .3 C .8 3 D .73 5.用一个平面去截正方体,则截面不可能是( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .正方形 D .正六边形 6.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB ==,1AD =,点,,E F G 分别是1DD , AB ,1CC 的中点,则异面直线1A E 与GF 所成的角是 A .90o B .60o C .45o D .30o 7.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点,点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )条

立体几何练习题

E O A C B F D 立体几何练习题 1.在直四棱住1111D C B A ABCD -中,12AA =,底面是边长为1的正方形,E 、F 、 G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点. (Ⅰ)求证:平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证:1D E ⊥面AEC . 2.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,E 为AB 的中点. (1)求证: 1BDD AC 平面⊥(2)求点B 到平面EC A 1的距离. 3.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面,90ABC ACB ∠=,2AB =1BC =13AA =. (Ⅰ)求三棱锥111A AB C -的体积; (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,棱AB 的中点为E , 证明:11//C AB DE 平面 4.如图,在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中,设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ,若BF ⊥平面AEC , AB AE =. (1) 求证:AO ⊥平面FEBC ; (2) 求三棱锥B DEF -的体积. 5.如图,在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中,侧棱⊥1AA 底面ABC ,AB AC ⊥, 11==AA AC ,E 为线 段AB 上的动点. F E A B D C G 1 C 1 A 1 B 1D 1 B 1 C E D C B A 1 D 1 A A B C A 1 B 1 C 1 D C 1 C

(Ⅰ)求证: CA 1C CA 11⊥C 1E ; (2)线段AB 上是否存在一点E ,使四面体E-AB 1C 1的体积为 6 1 ?若存在,请确定点E 的位置;若不存在,请说明理由. 6.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示,其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1 均为矩形,其中AA 1=4。俯视图ΔA 1B 1C 1中,B 1C 1=4,A 1C 1=3,A 1B 1=5,D 是AB 的中点。 (1)求证:AC ⊥BC 1; (2)求证:AC 1∥平面CDB 1; (3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。 7.如图,在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中,AC AB ⊥, ABCD PA 面⊥,点E 是PD 的中点。 (Ⅰ)求证:PB AC ⊥(Ⅱ)求证:AEC PB 平面// 8. 如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD 是矩形,ABCD PA 平面⊥,3,1===AB AD PA , 点F 是PD 的中点,点E 在CD 上移动。 (1) 求三棱锥PAB E -体积; (2) 当点E 为CD 的中点时,试判断EF 与 平面PAC 的关系,并说明理由; (3) 求证:AF PE ⊥ 9.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,2PD AB ==,E ,F ,G 分别为PC 、PD 、BC 的中点. (1)求证:PA //平面EFG ; (2)求证:GC PEF ⊥平面; (3)求三棱锥P EFG -的体积. A B C D P E F

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