2017-2018学年第一学期烟台市高三期末数学试题(理)

2017—2018学年度第一学期高三期末自主练习

理 科 数 学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书出的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.已知全集为R ，集合{}{}()2=11

24=230R M N x x x M C N ---≤?=，，，，，则 A. {}112-，， B. {}12， C. {}4 D. {}

12x x -≤≤ 2.已知01b a <<<，则下列不等式成立的是 A. 11a b > B. 1122a b ????> ? ????? C. ()()22lg lg a b > D. 11lg lg a b

< 3.已知函数()()()1,0,0sin ,0,2x e x f x f f x x π-?>?==???-≤ ???

??则 A.0 B.1 C.e D. 1e

4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为

A.3

B. 4-

C. 5-

D.6

5.若将函数()sin 24f x x π??=+

???的图象向左平移()0??>个单位长度，所得图象关于原点对称，则?的最小值是

A. 8π

B. 4π

C. 38π

D.

34π

6.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“sin cos 2x x +≥

”发生的概率为 A. 12 B. 13 C. 712 D. 23

7.函数2cos y x x =-的图象大致为

8.在ABC ?中，已知,1,3,,AB AC AB AC AB AC M N +=-== 分别为BC 的三等分点，则AM AN =

A. 109

B. 209

C. 89

D. 83 9.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于

A.12

B.18

C.20

D.24

10.已知()()12,0,,0F c F c -为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的两个焦点，若双曲线上存在点P 使得2

122

c PF PF =- ，则双曲线离心率的取值范围为

A. ()1,+∞

B. [)2,+∞

C. )+∞

D. )

+∞ 11.数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为()

,,n n n n n n n n n S T c a T b S a b n N *=?+?-?∈记，若201820181,2018S T ==，则数列{}n c 的前2018项和为

A.2017

B.2018

C.

D. 20192

12.定义在区间[],a b 上的函数()y f x =，()f x '是函数()f x 的导函数，若存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为函数()[],f x a b 在上的“中值点”.下列函数：①()sin f x x =②()x f x e =③()()ln 3f x x =+④()31f x x x =-+.其中在区间[]2,2-上至少有两个“中值点”的函数的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4 二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分. 13. ()()52x y x y --的展开式中33x y 的系数是（用数字作答）

14.设变量,x y 满足约束条件20,23x y y x z x y x y -≥??≥=+??+≥?

则的最小值为 15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi ē n ào ）.若三棱锥P ABC -为鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，PA=2，AB=3，AB BC ⊥，该鳖臑的外接球的表面积为29π，则该鳖臑的体积为

16.过抛物线()2

20y px p =>的焦点F 的一条直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，给出以下结论：①12y y ?为定值；

②若经过点A 和抛物线的顶点的直线交准线于点C ，则//BC x 轴；

③存在这样的抛物线和直线AB ，使得OA OB ⊥（O 为坐标原点）；

④若以点A,B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.

17.（12分）已知函数(

)221sin 242f x x x ππ+????=-++- ? ?????

. （1）求函数()f x 在区间0,2π??????

上的最大值及相应x 的值； （2）在ABC ?中，若()()1,2BC A B f A f B AB <==

且，求的值.

18. （12分）某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B.已知甲车间执行标准A ，乙执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准.

（1）已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表：若1X 的数学期望()1 6.4,E X a b =，求的值；

（2）为了分析乙车间的等级系数2X ，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7. 用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X 的概率分布列和均值；

（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率.

19. （12分）已知四棱锥S ABCD SA -⊥，平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，

//,90,2,AB DC DAB AB DC AD ∠=== ，M 是SB 的中点.

（1）求证：CM//平面SAD ；

（2）若直线DM 与平面SAB ，F 是SC 中点，求二面角C AF D --的余弦值.

20. （12分）已知点A,B 是椭圆()22

2210x y L a b a b

+=>>：的左右顶点，点C 是椭圆的

上顶点，若该椭圆的焦距为AC,BC 的斜率之积为14

-

. （1）求椭圆L 的方程；

（2）是否存在过点()1,0M 的直线l 与椭圆L 交于两点P ,Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

21. （12分）已知函数()()ln 1a f x x x a a R x =+

-+-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若存在()11x x f x x x

->+<，使成立，求整数a 的最小值.

（二）选考题：共10分.在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4，坐标系与参数的方程]（10分）已知曲线C 的参数方程

为12x y θθ

?=+??=+??（θ为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其轨迹；

（2）若曲线1C 的极坐标方程为3sin cos θθρ-=

，曲线C 与1C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长度.

23. [选修4—5，不等式选讲]（10分）已知函数()()21,123f x x g x a x =+=---.

（1）当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；

（2）若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.