新课标解读四

高中数学课程标准解读（四）

四、实验调查的一些结果与思考

从人教社国家级社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”教材使用情况的调查与分析（高中部分）所反映出来的情况看，新课程带来了新的变化：

首先是认识上的变化，越来越多的教师认可“课标”的改革理念和课程的设计意图；越来越多的教师认识到数学和数学教育的价值：数学是有用的，数学离我们很近，尤其是在育人方面的价值，数学能培育人们理性的思维方式，促进人们有条理地思考，表达清楚，有效地进行交流；使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养，更好地理解、领略和创造现代社会的文明。其次是在课堂教学方面的变化，我们的教师历来在课程的实施中敬业精神强；基于“大纲”的要求，教学中关注数学思想方法的教学，关注“三大能力”的培养；有一批优秀的教师数学素养好，能按科学的教学规律进行课堂教学；在新课程的实验过程中，有越来越多的教师认识到课堂教学必需从数学上把握好教学内容，必需遵循教学规律，必需研究学生的认知水平，教学研究逐渐深入，一些实验区在人教社中数室的课题“数学核心概念思想方法教学设计的理论与实践研究”带动下，研究型的教学骨干队伍在原有基础上正在不断扩大和成长，老师们深切地感受到：能自如应对不断前进、不断变化的数学教育最有效的途径是不断提高自身的双专业素养——数学素养和教学素养。

在实验进程中积累了一些经验，也不可避免地也暴露了不少问题，这是课程改革进程中必然会出现的现象，重要的是需要我们进行认真的思考，分析主、客观原因，对有关部门提出建议，也对自身的行为作出相应的调整，以促进新课程的健康发展。这里，我们侧重以下几个方面的问题作一些分析。

（一）对原有内容处理变化的调查与思考

1．关于先讲函数后讲映射的反映与思考

从人教社课题调研的数据看，三分之二的老师认为，函数教学应该“先讲映射再讲函数”。但“课标”建议先学习函数再学习映射，这是考虑到函数是一个不易理解的概念，从多数中学生的认知水平来看，先学函数后学映射有助于他们把注意力集中到函数本身，体会函数概念的本质，也有助于与初中函数学习的衔接。

从数学发展史看，函数思想源于运动、变量和曲线的数学描述，函数概念于16——17世纪逐渐形成。

函数一词是由莱布尼兹于1673年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。如：曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等。其后，伯努利把函数看作一个变量和一些常数组成的表达式。欧拉在伯努利之后把函数看作是含变量和常数的任何方程和公式。不难看出，他们对函数的界定都没跳出“表达式”的范围。

函数记号f（x）是克雷罗和欧拉在1734年前后引进的。狄利克雷在1837年给出了函数定义，直至此时，才开始注意到函数的本质——对应关系，跳出了“表达式”的框框，把函数定义为：“如果两个变量x、y有这样的关系：每当给x指定一个值，根据某种规则，就自动地给y指定一个值，则我们说y是x是的函数，x可取的允许值构成函数的定义域，y所取的值构成函数的值域”。现行初中教材中的函数定义就是由此而来的。一般把这种定义方式叫函数的“变量说”。

到20世纪初，取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质特征——对应关系，用集合论的语言定义为：“设A、B为两个集合，如果按照某个确定的对应关系，对于集合A中每一个

元素x，总有集合B中唯一确定的元素y与之对应，那么这个对应关系就叫做一个映射，当A、B为数集时，称为函数”。这是高中数学中函数的定义方式，一般把这种定义方式叫做函数的“对应说”或“映射说”。

除了上述两种定义方式外，还可以用关系来定义，把函数作为一种特殊的关系：“一个二元关系

f若满足：（x1，y1）f，（x1，y2） f ，则y1=y2，就称f为函数。”这种定义方式即函数的“关系说”。

“变量说”的优点是形象、直观、自然，通俗易懂。但没有突出函数的本质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学的语言，普适性强，更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。

“关系说”完全用集合论的语言叙述，是完全数学形式化的表述，便于计算机接受，但过于形式化，抽去了函数关系的生动直观——变量变化及相互依赖关系的特征，看不见对应关系的形式和规律，对初学者来说不易理解和掌握。“课标”建议先讲函数再讲映射，一是考虑到从特殊（函数）到一般（映射）更加符合中学生的认识规律，有利于学生把注意力集中到对函数的认识；二是有助于与初中知识的衔接。人教A版教材以较为直观的3个实例引入，既符合初中学习的函数定义，与学生在初中已有的知识经验有较好的衔接，又让学生经历从具体到抽象的概括过程，在初中学习的基础上提升对函

数的认识，用集合的语言给出函数形式化的定义，明确指出对应法则，并用抽象的符号表示。

因此，为了帮助学生把注意力集中在函数本身，更好地认识函数的实质，我们还是建议先讲函数后讲映射，在实践中进行思考和比较研究，不要简单地作出肯定或否定。

2．先概率后计数原理的反映和思考

从实验区的调查情况来看，反映不一，部分教师认为这样的安排有助于学生对概率本身的认识，但不少教师对这样的设计还不适应、不认可。

我们都知道，计数原理与概率是两个不同的概念，他们没有必然的关联，更没有因果关系。当然，讲了计数原理后，在讲古典概型举例子时局限性可以小一些、丰富些，计算也会方便些。但也许正是这样，在以往教学中不自觉的就把注意力放在概率的计算上，而忽视了对概率思想、对概率本身的认识和理解。“课标”要求先讲概率后讲计数原理的意图正是希望改变这种现象。更好的认识客观世界中的随机现象和概率的意义，尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识（如“中奖率为1/1000的彩票，买了1000张一定中奖）。

面对课程改革带来的变化，我们需要更多的思考，要在继承、借鉴中发展和创新，不要简单地肯定或否定。无论是按新的要求做，还是因袭原来的做法，都需要首先认真思考自己为什么这么做？原来的课程设计长处是哪些？存在哪些不足？有哪些问题？学生通过学习相应的内容能得到些什么？能留下些什么？“课标”为什么有新的变化和要求？如果我们能在认真思考的前提下、在实践一段时间后再去分析判断，或许我们的行为和结果就不一样了。

3．不讲极限讲导数的反映和思考

前面我们已提到，“课标”对微积分内容的调整进行了反复的研究与思考：为何在我国中学数学中微积分会出现几进几出的安排？如何使学生感受学习导数的必要性，帮助学生了解导数在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应用？

如何使学生较好地认识导数的本质，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习？如何更有效地学习导数的相关内容？等等。

从数学发展史看，早在公元前560—公元前480年，毕达哥拉斯（约公元前580—公元前500）关于不可公度的发现，以及对于数与无限的认识中，就已孕育了微积分的思想方法，约公元3世纪，我国刘徵的割圆术和公元5世纪祖冲之（429—500）计算圆周率π等问题中，也都包含了极限思想。经历了中世纪的黑暗和文艺复兴，直到17世纪，牛顿（1642—1727）和莱布尼兹（1646—1716）在继承前人工作的基础上，创立了微积分。但是直到19世纪前，对这门学科的逻辑基础仍然缺乏清晰的观念，又经过一批数学家的不懈努力，到了19世纪末，才把微积分建立在实数理论的坚实基础上，使之有了牢固的逻辑基础，形成了现在的微积分体系。柯西（1789—1857）、魏尔斯特拉斯（1815—1897）、戴德金（.1831—1916）、康托尔（1845—1918）等人是其中杰出的典型代表。

大家反映的集中问题是：极限是整个微积分的基础，不讲极限怎么讲导数，不讲极限不方便讲导数。

的确，极限是整个微积分的基础，连续、导数、定积分、微积分基本定理、级数、广义积分等都是不同形式的极限，而且，也必需在学习连续、导数、定积分、微积分基本定理、级数、广义积分等内容的过程中才能不断加深对极限的认识和理解。

因此，我们要思考的是：从极限思想的孕育到极限理论的建立，经历了漫长的过程，从牛顿和莱布尼兹创立微积分到建立微积分的严密的逻辑基础，经历了200多年的时间。在中学学习极限，学生对极限的内涵能理解到什么程度？对理解导数概念能起到什么作用？学生离开学校后不再接触数学，能给他们留下些什么？如何讲导数能把学生的注意力集中到导数本身，使他们感到导数、数学与现实生活有着密切的联系。

“课标”要求不讲极限，直接通过实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想和内涵。其意图正是希望能把学生的注意力集中到导数本身，对导数概念本身有一个较好的认识，使学生离开学校后即便不再接触数学，也能给他们留下些东西，提到变化率、增长率能联想到数学与现实生活是有联系的。而不是象以往那样，更多的是把导数作为一种规则学习，注重的是导数的计算，一旦忘记了求导公式和法则，就留不下什么了。

综上分析，我们还是建议不要对“课标”的变化简单地肯定或否定，还是先尝试着：先讲函数再讲映射；先讲概率后讲计数原理；不讲极限直接分析实例，让学生经历从平均变化率过到瞬时变化率的过程，引出导数概念。这样的变化或许会使部分教师感到不适应，不习惯，尤其是对经验丰富的教师，更会感到自己积累多年的好经验用不上了、不顺了。但“课标”设计的课程作出这些处理变化的依据是：（1）前期的课程比较研究；（2）学生学习心理的分析研究；（3）研制过程中的反复研讨和局部实验；（4）吸收了包括一线教师在内的多方面人士的经验和建议。“课标”希望能通过这样的变化帮助学生把注意力集中到对函数本身、概率本身、导数本身的认识和理解上，希望能使多数学生即便以后不再接触数学，也能感受数学与社会、数学与生活是有联系的，数学是有用的，数学离我们很近。

（二）实验区教师的困惑与思考

对于实验区教师的困惑，我们归纳了以下几个方面，并对他们的困惑作一些分析。

1．内容多，课时不够，师生负担加重问题与思考

实验区教师普遍感到的一个困惑是新课程内容多，课时不够，师生负担加重，尤其是一开始接触新课程时，这一困惑更为突出。但是，从实验的情况看，这一困惑会随着实验时间的推移而逐渐得到逐步解惑。

由于新课程的确增加了新的内容，如：算法、推理与证明、框图、统计案例等，加强了统计和概

率的内容，尤其是选修系列3、4的专题。因此，刚一接触新课程感到内容多是自然的，加上对新课程的变化和要求还不很清楚，仍然按原来的想法去组织教学，因此，产生课时不够，师生负担加重的困惑是必然的。

——产生这些困惑有多方面的原因

其中，主要原因是还没有把握好“课标”的要求和变化，还没有从“大纲”课程中摆脱出来。如前面提到的函数的有关内容，新课程降低了对映射、反函数、不等式等的要求，删减了复合函数的内容。如果我们仍然按原来的方式教学，例如，大量补充不等式内容，因为按原来的理念和方式教学，不补充就不能做集合运算中的综合题、求定义域值域的综合题，涉及到参数讨论的综合题等。而新课程对集合的要求是把集合作为一种语言来学习，不仅在当前，而且要在以后的学习中帮助学生用集合语言简洁、准确地表达数学的一些内容，而不是在当前的学习中去做综合题，重点要放在对集合语言的运用上，在使用中熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行互换。对函数概念学习的重点是从整体上提升对函数本质的认识，而不是求定义域值域的综合题，尤其是要避免人为地编制一些求定义域值域的偏题和过于繁琐的技巧训练。此外，因为删减了复合函数，因此，在学习函数的单调性时就不要再进行过于繁琐的技巧训练，对函数单调性的进一步理解应在导数及其应用中进行，这也是“课标”螺旋上升的一个体现。因此，重要的是必须要从整体上去把握和看待新课程的变化。

新课程希望不仅把不等式作为一种工具，而且要了解他的几何意义、应用，以及现实背景，此外，也受到模块结构在课时上的限制，不等式的内容被安排在必修模快5中，这给教学带来一些不便，在具体教学中需要先补充有关不等式的一些内容，但是一定要控制难度和课时。关于不等式内容的安排，我们可以酝酿着提出建设性建议，在修订“课标”时提出来。

其次一个原因是在教学中做两个并集：一个是“大纲”内容与“课标”内容的并集。做这个并集的根源是对新课程高考的要求心理没底，生怕降低学生的高考成绩。另一个并集是把新课程分层次、分阶段完成的教学任务一步到位完成，还增加了很多的训练，反复训练，这主要是对新课程设计中螺旋上升的意图不清楚，按自己原有的观念进行教学造成的。

产生课时不够，师生负担加重的再一个原因是前紧后松，2年完成3年的教学任务。这个问题在“大纲”课程中也存在，但是对于新课程，由于不少学校对选修3、4专题只开设考纲要求的专题，甚至不开设，因此，后面的时间就显得更松了。造成这一问题的根源还是高考。但是，即便有了考纲，与“大纲”课程一样，高考对正常教学秩序带来的影响仍然是一个需要多方共同努力去研究的问题。

2．对高考心里没底问题与思考

高考给教学带来的影响一直是困绕我们的难题。客观的因素来自社会、各级行政主管部门，家长等方面，对教师造成了很大的压力，教学中普遍存在着：只要高考好，怎么做立竿见影就怎么做；高考考什么就教什么，以解题教学代替概念原理教学，大运动量机械训练等现象。

新课程对原有内容要求和处理有了变化，又增加了新的内容，教师自然就会产生不知道高考会怎么考、对高考心里没底的问题。因此，在实验一开始就瞄着高考，盼着早点出台“考纲”。担心“课标”和教材与高考不一致，虽然在某些方面的要求降低了，但是高考的要求不会降。于是，不仅原来的一些做法没有改变，而且做两个并集，大大加重了师生的负担，有悖于课改的初衷。

各个方面给教师造成的压力，使教师经常是“身不由己”，这是非常能理解的。这里我们要说的是，我们需要对自己的教学理念有一个反思：如何看待教师的价值？什么样的教师是一个合格的教师？为什么普遍存在着把会解题等同于数学学得好、数学能力强的看法，重视的只是会解题、考试能得高分，更多的老师关注的只是在解题上的提高，认为合格的数学教师就是解题高手。应该说，会解题是一个教师必须具有的能力，会解题与数学好的确有一定的联系，从一个侧面表现出他们的数学素养。但是，这样的着眼点，这样的教学理念是片面的，不仅是对数学的理解不到位，而且也是对数学教育育人功能认识不到位的表现，看不到这样的理念会使学生失去更多的理解数学的机会。更是日常教学以解题教学代替概念原理教学，大运动量机械训练等现象的重要原因所在。

事实上，即便一开始就瞄着高考，也未必就能解决问题，一个合格的教师应该会解题，但是会解题的教师未必就是合格的。同样，一个好的教师应该也是解题的高手，但是解题高手未必是一个好教师。在我们的教师队伍中，始终有一批中坚骨干，他们能站在一定的高度来看待数学教育的功能，对数学有较好的认识和理解，不断地提高自己的数学素养；他们有较为全面的教学理念，在教学中研究学生的认知规律，追求遵循科学的教学规律。因此，一个自然的结果是：他们培养的学生一般都不仅有较好的成绩，也有较好的能力。“课标”追求的目标之一正是希望有越来越多的教师成为这样的教师，希望通过“课标”对原有内容的要求和处理变化、通过新增内容和专题的设置，提高广大教师的数学素养，提高对数学的认识和理解，提高对数学教育功能的认识，提高教学水平，使广大学生受到高水平的数学教育。

我们还要说的是，学习数学没有一定量的训练是万万不行的，教师希望学生得到好成绩的愿望也是无可指责的。但是，简单重复的大运动量机械训练是低效的，尤其是对一些综合性较强的问题，而且这种训练会给学生的学习和对数学的认识带来很多负面的影响。因此，重要的是要思考以什么方式、怎样训练使学生获得好成绩才是科学的、高效的。解题过程中归纳题型是需要的，关键是如何归纳？归纳题型的着眼点在哪里？解题后还应作些什么？大家都知道波利亚解决问题的模式，很多教师也有自己的训练方法，有的教师还总结了“精选习题，高效训练”的方法。基于上述分析，我们认为，应该立项研究如何进行科学有效的训练，从一个侧面解决提高学生解题能力的问题。

3．关于传统优势降低问题与思考

在调查中，有不少教师认为我们的传统优势，如：抽象概括、推理论证、空间想象、运算求解等能力并没有提高，反倒是有所降低了，尤其是运算求解的能力，这是值得我们关注的问题。

应该说，出现这样的现象，原因是比较复杂的，我们建议大家要从整体上来看待这一现象。

能力的培养和提高需要经历一个过程，在新旧交替的过程中，教师对新课程的理念、变化、要求还不很了解，尤其是新课程虽然在某些内容上降低了要求，但是，新课程的模块和专题结构、对原有内容处理的变化、新增内容等，都对教师在数学上提出了更高的要求，需要教师从更高的层次上去把握教学内容，这就必然会使多数教师感到不适应，也就必然会影响到对教学内容的把握，影响到教学的效能。

此外，这一轮课改在义务教育阶段的改革中有很多合理的地方，但也确实存在一些需要改进的不足，这些不足直接影响到学生一些基本能力的形成，尤其是运算能力。在修订“义务教育数学课程标准（实验稿）”时已经作出了相应的修改。

再有，尽管教师认可“课标”和教材重视数学知识的学习过程，加强了启发性和探究性的意识和设计，但在实际教学中，由于班额普遍比较大，受升学、考试等的影响，往往难以落实，很多时候还是停留在“讲、练”的教学方式，当然，这种教师示范、学生模仿、适当练习的讲、练方式仍然是主要的教学方式，但是，缺乏启发的、，缺乏互动的讲、练方式，以及概念教学中一个定义几项注意式的、直接抛出概念的教学方式，也都是造成这种现象的原因。

随着新课程的推进和成熟，随着教师数学素养的提高和对教学规律研究的不断深入，相信这一问题会逐渐得当解决。

（三）关于“课标”的一些初衷没有达成的问题

1．学生的学习兴趣和学习自主性并没有明显的提高的问题

基于“课标”提倡自主、探究、合作等学习方式的要求，各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进，教材中都设计了一些引导学生思考、操作的栏目，注意留给学生探索与交流的空间，选材注重与学生现实生活的联系，等等。从调查结果来看，教师对教材的这些处理比较认可。但是，学生的学习兴趣和学习自主性并没有明显的提高。出现这样的现象是可以理解的，我们可从以下几个方面去分析。

——教师已经了解了“课标”的基本理念，教师对数学、对数学的教育价值、对如何进行有效的学习等问题有较好的认识，从自己以往的经历中有切身的体验。而学生就完全不同了，他们不知道“课标”，他们对数学、对数学的教育价值没有什么感觉，很少会有学生去思考教材的变化会给学习会有怎样的积极意义。

——关于探究性学习，并不是所有的知识都是适合的。像数、式运算等程序性的知识就不适合探究性学习；无理数、复数等超经验性知识也不适宜用探究性学习；为什么要使用弧度制、无理指数幂那样难以证明的知识也不适宜探究性学习。一般来说，容易引发争议的、有一定思维深度的、思辨性较强的知识比较适用于探究性学习，教材中设计了一些探究性学习的问题和拦目，供教学用，到底哪些内容适合探究性学习，用什么方式进行探究性学习能提高学生的学习兴趣和学习自主性，需要我们在实验中去探索。同样，对于合作学习的方式，也存在着到底哪些内容适宜合作学习，用什么方式进行合作学习是有效的等问题，需要我们在实验中去探索。

——随着时间的推移，随着研究的深入，相信这些问题都能逐步得到解决，学生的学习兴趣和学习自主性也能得到改善。

2．学生能力发展方面的问题

在学生能力的发展方面，不少教师认为，传统优势下降，中学数学比较重视的学生的抽象概括能力、推理论证能力、空间想象力、运算求解能力以及这次课改比较重视的数据处理能力并没有提高，反倒是有所降低了，并没有达到我们预期的结果。这一问题我们已在上面关于传统优势降低问题中作了分析。

3．多样性、选择性理念的初衷没有达成的问题

“课标”希望通过教材中习题编排的选择性；体现弹性内容的选学材料；课程的组合的灵活性，学生在作出选择后，可以根基自己的意愿和条件向学校提出调整的申请，经过测试获得相应学分可转换；以及选修系列3、4中专题的开设等，体现新课程的多样性、选择性这一基本理念。

但是，在实验过程中，因为习惯于“大纲”课程对习题的处理，一般都要求所有学生做所有的习题，这不仅体现不了多样性、选择性，更重要的是加重了部分学生的负担，也影响了部分学生的学习自信心。对于弹性内容的材料，不少教师还不适应这样的安排，认为没用，也就没有利用好这部分内容。至于课程组合的灵活性，更是“没有感觉”。而选修3、4中的专题，一般只开设高考要考的专题，甚至于不开设。随着对新课程设计理念认识的逐步加深，对教学内容要求熟悉程度的不断提高，随着自身数学素养的不断提升，随着客观环境的改善，这些问题都能不断得到改进。

（四）教师对“课标”中一些内容处理的变化比较认可引发的思考

在实验调查中，教师对于“立体几何、平面解析几何螺旋上升的安排”，从整体到局部“先学空间几何体，再到点、线、面”，“降低综合法的要求，用空间向量处理立体几何”等内容处理上的变化教师比较认可；对于教材渗透数学思想方法与数学文化的处理也都认可。这些调查结果引发了笔者的一些感触。

回忆在这一轮课改的前期研究中，“课标”研制组对学生的学习心理、认知规律、几何课程的教育功能和设计等方面作了研究。我们都知道推理能力在数学学习中的重要而基础的地位，强调几何课程是培养学生逻辑推理能力的良好载体。但是，无论是进入平面几何课程还是立体几何课程的学习时，多数学生都会感到困难，甚至成为造成学习分化的一个内容。究其原因，难教难学的重要原因之一是以往几何课程的内容是以论证几何为主线，立体几何是从局部到整体展开的，教材的编排过于形式化，与大多数学生的认知水平存在着较大的距离。针对上述问题，为了避免以往几何

课程中以论证几何为主线、从局部到整体展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生认知带来的困难，使学生在较为自然的探索过程中学习几何的探索过程，“课标”在立体几何内容处理上有了较大的变化：按照从整体到局部的方式展开立体几何内容，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程，并且注重三种语言的使用和转换训练。教材的编写依据“课标”的要求，并基于几何课程能将有关内容以“图”“文”并茂的形式生动形象地表示出来的重要特点，作了相应的研究和编排。这些变化在实验中得到了认可，从一个侧面说明“课标”的前期研究是必要的，是有成效的。

此外，回忆10多年前“大纲”的研制情况，开始时大家对于增加向量、尤其是用空间向量处理立体几何问题有很大的争议。之后，老师们在实验过程中逐渐适应了，也感受到了这样处理是有益的。可以说，这次立体几何课程的变化能得到认可与此也是有关的。

因此，新课程实验中出现种种问题是必然的，其中，有些问题会随着新课程的推进和成熟逐步得到解决，如上面提到的“传统优势下降”“课标”的一些初衷没有达成”等问题。有些问题需要在实验中继续关注，并提出改进建设性建议，如“不等式的内容选择和安排”“受模块结构课时限制，解析几何分划到必修、选修中进行”“不能按“课标”要求的课时进行教学”“选修3、4中专题的开设”等问题。同时，在实验过程中还会不断出现新的问题，需要我们去面对、去研究，有很多工作还需深入。

新课程实施的过程是一个不断学习、探索、研究和提高的过程，在这过程中，需要我们认真思考、交流探讨、学习研究、与学生平等对话，在实践和探索中不断前进。

相信在各个方面的通力合作下，一定能克服改革进程中遇到的各种困难，不断完善“课标”，建设具有中国特色的高水平的数学课程，不断提高教育水平，使我们的学生受到高水平的数学教育。