从平面几何到立体几何学习过程中容易出现的问题

从平面几何到立体几何学习过程中容易出现的问题几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。立体几何在整个高中数学当中所处的地位非常重要,因为高考数学要考察学生的一项重要能力就是空间想象能力和逻辑思维能力，而结合高考试题，要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力一般都是从立体几何来做文章。与此同时，立体几何知识也是高中数学学习的一个难点, 学生普遍反映“几何比代数难学”，这由于从初中的平面图形知识过渡到空间图形知识，本身就是一个难点，加之立体几何一章的基本概念集中，抽象，要求学生有一定的空间想象能力和演绎推理能力，这反映在思维能力上有一个较高的要求，再加上客观上高中数学课堂教学容量大，进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的。

影响立体几何学习的障碍主要有以下几个方面的体现：

一、空间想象能力的欠缺

立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个“面”，而这多出的一个“面”，使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系（即点与点、点与直线、直线与直线）拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系。学生很难自然的将想象出的空间图形画在一个平面上，同时根据画在平面上的“立体”图形想象出原来空间图形的真实形状也存在问题。这就导致学生不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，从而反映在做题时不会画图或画出图来也不易辩认，甚至作出错误的图形来，误导了解题且不易查错，从而影响了解题。

针对这个问题的对策是：

学生刚开始学习立体几何时，要让他们动手做一些实物模型，如直线、平面、正方体、长方体等等。通过对模型中点、直线和平面之间位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力，想象这些空间图形画在纸上就是什么模样；同时要掌握画直观图的规则，掌握实践、虚线的使用方法，为正确地画图打好基础。培养自己的画图能力，可从简单的图形如直线和平面的各种位置关系、简单的几何体，如从正方体画起。由对照模型画图，逐步过渡到没有模型摆在面前，也能正确地画出空间图形的直观图，而且能由直观图想象出空间图形。在这个“想图、画图、识图”的过程中，不仅空间想象能力得到提高，抽象思维能力也可以得到很大提高。

二、逻辑思维能力的欠缺

学生在这个方面的问题主要集中在两个方面，一是对立体几何基本概念理解不透。学生对立体几何基本概念的理解仅仅停留在机械的识记上，不注意分析概念的内涵和外延以及易混概念间的区别和联系，以为记住了概念就掌握了概念。

二是对数学命题理解肤浅，不会灵活运用数学命题解决问题。对数学的命题的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。学生在具体的证明中常常出现逻辑推理不严密，运用定理﹑公理﹑法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。这表现在：忽视定理本身的证明；应用定理分析问题和解决问题的能力弱。这常常体现在学生拿到一个几何题以后，不知从何下手。

针对这个问题的对策是：

初学立体几何要重视看起来简单的那些基本概念、公理和定理，不仅要理解它们，还要熟练地记忆它们，掌握它们之间的联系。同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明过程，包括已知、求证、证明、作图等等，证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件要摆够、摆准。另外，对课本上定理的证明必须熟记，掌握定理证明的逻辑推理过程及其渗透的数学方法。

三、初中平面几何的负迁移

通过初中两年的学习,以及平常生活中对图形的直观认识,使得平面几何的知识理论体系在高中学生头脑中根深蒂固.但是,这对于立体几何的学习就并非完全是好事,而在某个程度上对立体几何的学习将产生一个负迁移影响.平面几何大量直观的图形和几何概念,对初中学生学习几何的入门,直观思维和形象思维的培养,都起着不可低估的作用.以至于在初中平面几何里所研究的图形的性质,绝大部分可以通过观察实验得到.但高中的立体几何学习,几何体系中的基本元素由”点﹑线”增加为”点﹑线﹑面”,从平面图形上升为空间图形,从“二维空间”变为“三维空间”,产生了与学生原有知识结构的认知冲突,反映在以下几个方面:

(1)识图与画图.表现在“看到的与想到的不一样”.例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中,正方形,矩形在水平放置后呈平行四边形,及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直等,初中平面几何的直观思维此时往往或多或少的起了负迁移的作用.

(2)平面几何的概念和定理在立体几何中的正确性的再认识与辨析.在平面几何中一些学生熟悉的,常用的直观,正确的概念和定理,在立体几何中却不成立.因而,平面几何中的概念和定理不是信手拈来就能在立体几何中应用的.而往往学生在证明判断中却以初中平面几何

的惯性思维来考虑立体几何问题,这正是反映了平面几何知识的负迁移影响.这种负迁移影响常体现在立体几何教学的入门难上,如果这一关过不好,将影响后面的深入学习.

针对这个问题的对策是：

虽然随着立体几何学习的深入，这种负迁移现象会略有所减.但仍应该在教学中引起足够的重视。例如在“空间直线与平面”教学中,提倡放慢进度,在到“三垂线定理”之前尽量出示直观模型,运用直观手段,通过感性认识完成对知识的描述,帮助学生逐步形成空间概念,有意识的培养空间想象能力及提高,尽量搞好初高中知识的衔接。

四、将立体几何问题转化为平面几何问题能力的欠缺

用平面几何的知识来研究解决立体几何的问题，是我们解决立体几何的基本思想，体现这一思想的方法是类比和转化。学生在学习立体几何基础知识的过程中，无法领会各种数学思想方法，从而无法体会把平面几何与立体几何完美的统一起来的乐趣，对很多立体几何问题也就束手无策。

针对这个问题的对策是：

1、在学习过程中注意平面几何与立体几何及立体几何本身各元素的位置关系的区别和联系，将空间问题转化为熟知的平面问题，及时进行对比和总结，掌握转化的规律。教学中的适时揭示与恰当运用转化的数学思想，确能强化学生的思维和目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。

2、在教学中，注意启发和诱导学生将空间问题和数量关系、位置结构与相似的平面几何问题进行类比，可以开拓学生的思路、诱发灵感，增强数学发现的能力，同时还可以沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。

立体几何的教学与平面几何的不能割裂开来，应统一起来。教师应该以平面几何为依托，利用类比、转化等思想方法，培养学生灵活处理立体几何问题的能力。在从平面几何到立体几何的学习过程中，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物，让学生体会数学的结构美﹑对称美﹑和谐美。正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美。”