北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理工类） 2016．1

（考试时间120分钟 满分

150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．已知集合{}|11M x x =-<

2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为

A ．(1,1)

B ．(1,1)--

C ．(1,1)-

D ． (1,1)-

3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

第3题图

4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～

km/h ）

频率

120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆

第4题图

5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =?+在R 上单调递增”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6． 已知点)0,22(Q 及抛物线2

4x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是

A ．

1

2

B ．1

C ． 2

D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是

A ．27

B ．30

C ．32

D ．36

第7题图

8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有

()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的

奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是

A ．0a >

B ．5a

<

C ．10a <

D ．20a <

第二部分（非选择题 共110分）

侧视图

俯视图

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．函数2sin(2)16y x π

=++的最小正周期是 ，最小值是 ．

10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -??

+???

≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．

11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．

13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点

（C 为圆心）

，且满足||CA CB +=

，则=AB ．

14．已知点O 在ABC ?的内部，且有xOA yOB zOC ++=0

，记,,AOB BOC AOC ???的面积分别为AOB BOC AOC S S S ???，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ???= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ???= ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；

（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．

16．（本小题满分13分）

如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，7

,42

CAD AC π∠==

，cos 10ADB ∠=-． （Ⅰ）求sin C ∠的值；

（Ⅱ）若5,BD =求ABD ?的面积．

17．（本小题满分13分）

A

D

B

C

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=?．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；

（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．

（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；

（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；

19．（本小题满分14分）

已知圆:O 2

2

1x y +=的切线l 与椭圆:C 2

2

34x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ?面积的最大值.

20．（本小题满分13分）

已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11

21

2(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++

=+=- ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试

数学答案（理工类） 2016．1

一、选择题：（满分40分）

二、填空题：（满分30分）

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则

1203

37373

1049

().60

C C C C P A C ?+?== 所以选出的3名同学来自班级的概率为

49

60

． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则

03373107(0)24C C P X C ?===； 12373

1021

(1)40C C P X C ?===； 21373107(2)40C C P X C ?==

=； 30373

101

(3)120

C C P X C ?===． 所以随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望

721719()012324404012010

E X =?

+?+?+?=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos ADB ∠=，所以sin ADB ∠=

又因为4

CAD π

∠=

，所以4C ADB π∠=∠-．

所以sin sin()sin cos cos sin 444

C ADB ADB ADB πππ

∠=∠-=∠?-∠?

4

5

=

+=．

………………………7分 （Ⅱ）在ACD ?中，由ADC

AC

C A

D ∠=∠sin sin

，得74

sin sin AC C AD ADC ?

?∠=

==∠．

所以11sin 572210

ABD S AD BD ADB ?=

??∠=??=． …………13分 17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ?面PCD ，CD ?面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．

因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，

所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=?，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．

如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，

,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．

又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．

所以(E a -

，(,0,)22a F -

．所以3()22a AF =-

，(,,0)22

a EF =- ．

设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.

AF EF ??=?

??=??n n

所以,.z y x ?=??=??

令3x =，则平面AFE

的一个法向量为=n ．

因为BG ⊥平面PAD

，所以,0)GB =

是平面PAF 的一个法向量．

因为cos ,GB GB

?==

=?n n n

所以平面PAF 与平面AFE

． ……………………13分 18．（本小题满分14分）

解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1

()f x a x

'=+．

（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x '=+

≥，1

a x

≥-在[1,2]x ∈上恒成立， 则1.2

a ≥- ………………………………………………………4分

（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1

()x f x x

-+'=

． （ⅰ）令0)(='x f ，得1

e

x =．

令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1

(0,)e 单调递增．

令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1

(,)e +∞单调递减．

所以，max 111

()()e ln 2e e e

f x f ==-?+=-．

所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3

(),(0,).2x g x x x =

+∈+∞所以2

ln 1)(x

x x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．

令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；

所以，max lne 313

()(e)2e 2e 2

g x g ==

+=+<， 即2)( ，即>

|)(|x f ln 3

2

x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 3

2

x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可知2

4a =，2

43b =

，所以222

83

c a b =-=．

所以c e a =

=

．所以椭圆C

…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．

在223144

x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ?=-=

．所以OA OB ⊥．

同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+

1=，即221k m +=．

由22

34

y kx m x y =+??

+=?，得222

(31)6340k x kmx m +++-=．显然0?>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，2122

34

31

m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.

所以1212OA OB x x y y ?=+

221212(1)()k x x km x x m =++++

22

222346(1)3131

m km

k km m k k -=+-+++

222222

2(1)(34)6(31)31

k m k m k m k +--++=+

222

44431

m k k --=+ 2224(1)44031

k k k +--==+．

所以OA OB ⊥．

综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分

（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ?的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．

则1OAB S ?=.

当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，

AB =

=

=

==

= 所以22422

2

2242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961

k k k k k AB k k k k k ++++===++++++

24222164164164419613396k k k k k

=+?=+≤+=++++

（当且仅当k =时，等号成立）

．所以AB ≤

．此时

, max (S )OAB ?=.

综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ?

面积的最大值为3

．…………………14分 20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，2121

12

23a a a a +

=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．

当21a =时，不满足2323

21

2a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为1

2,

,22

． …………………………………………………3分

（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++

=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=

或11

(1,2,3)n n

a n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11

n n

a a +=

，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11

n n

a a +=

，共有下面4种情况： （1）若211a a =

，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；

（2）若2112a a =

，321a a =，4312a a =，则4111

a a a ==，解得11a =；

（3）若2112a a =

，3212a a =，431a a =，则411

4

a a a ==，解得12a =；

（4）若211a a =

，321a a =，431a a =，则411

1

a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1

{,1,2}2

． ………………………………………………8分

（Ⅲ）依题意，设*

2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，11

2

n n a a +=

或11

(1,2,3,21)n n

a n m a +=

=- ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11

n n

a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，

则有(1)21

1

()2

i

t

m a a -=?，其中21,t m i t ≤--∈Z ．

当i 是偶数时，0t ≠，2111

()2

t

m a a a =?=无正数解，不满足条件；

当i 是奇数时，由1

2111(),21222

t m a a a t m i m -=?=≤--≤-得22211

()22

t m a -=≤，

所以1

12

m a -≤．

又当1i =时，若21322122221

1111

,,,,222m m m m a a a a a a a a ---=

===

， 有222111()2m m a a --=?，22

211

2m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是1

2

m -．即1

212

k

a -=． (13)

分