太原市2017~2018学年第一学期九年级期末考试数学试题

（旭日整理）太原市2017~2018学年第一学期九年级期末考试

数学试卷（139********）

考试时间:2018年2月1日上午8:00—9:30

说明:本试卷为闭卷笔答,不允许携带计算器,答题时间90分钟满分100分

一、选择题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)下列各题给出的四个选项中,只有一个符合要求,请将正确答案的字母代号填入相应的位置

1.一元二次方程x 2+4x=0的一根为x=0,另一根为 A.x=2B.x=-2C.x=4D.x=-4 【答案】D

【解析】()2

1240400,4x x x x x x +=∴+=∴==-

2.若反比例函数2

y x

=的图象经过点(-2,m),那么m 的值为 A.1B.-1C

12D .-12

【答案】B

【解析】∵反比例函数2y x =

的图象经过点(-2,m)∴2

m m =

∴=-- 3.把一个正六棱柱如右图水平放置,一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

【答案】B

4.小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏,假设他们每次出这三种手势的可能性相同,则在一次游戏中两人手势相同的概率是 A

13B 16C 19D 2

【答案】A 【解析】

共有9种等可能的结果，在一次游戏中两人手势相同有3种情况 ∴在一次游戏中两人手势相同的概率是

5.如图,△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 边上,DE//BC,若AD=2DB,则△ADE 与△ABC 的面积比为 A

23B 49C 25D 35

【答案】B

【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴

=（

）2=（

23）2=49

6.下列四个表格表示的变量关系中,变量y 是x 的反比例函数的是

【答案】C

【解析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案

7.在平面直角坐标系中,将四边形OABC 四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2,依次连接得到的四个点,可得到一个新四边形,关于所得四边形,下列说法正确的是

A 与原四边形关于x 轴对称B.与原四边形关于原点位似,相似比为1:2 C.与原四边形关于原点中心对称D.与原四边形关于原点位似,相似比为2:1 【答案】D

【解析】在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.

8,股市规定:股每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停:当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停,现有一支股票某天涨停,之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x,则x 满足的方程是

A.(1+10%)(1-x)2=1

B.(1-10%)(1+x)2=1

C.(1-10%)(1+2x)=1

D.(1+10%)(1-2x)=1 【答案】A

【解析】(1+10%)(1-x)2=1；

9.如图是一个几何体的三视图,则该几何体可能是下列的

【答案】A

【注意】左视图左内右外

10.书画经装后更便于收藏,如图,画心ABCD 为长90cm 、宽30cm 的矩形,装裱后整幅画

为矩形A B C D '''',两矩形的对应边互相平行,且AB 与A'B 的距离、CD 与C D ''的距离都等于4cm.当AD 与A D ''的距离、BC 与B'C'距离都等于acm,且矩形ABCD ∽矩形A B C D ''''时,整幅书画最美观,此时,a 的值为 A.4B.6C.12D.24 【答案】C

【解析】∵矩形ABCD ∽矩形A B C D ''''∴

9030

129023024

AB BC a A B B C a =∴=∴=''''++? 二、填空题(本大题含5个小题,每小题2分,共10分)把结果直接填在横线上 11.反比例函数3

-y x

=的图象位于坐标系的第_________________象限【答案】二、四【解析】

当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在图象所在的每一象限内，Y 随X 的增大而减小；

当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在图象所在的每一象限内，Y 随X 的增大而增大；

两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.

12.如图,两张宽均为3cm 的矩形纸条交又重叠在一起,重叠的部分为四边形 ABCD.若测得AB=5cm,则四边形ABCD 的周长为___________cm. 【答案】20 (第12题图)

【解析】过点A 作AE⊥BC 于E ，AF⊥CD 于F ，

∵两条纸条宽度相同，∴AE=AF．

∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形．

∵S ?ABCD =BC?AE=CD?AF．AE=AF ．∴BC=CD，∴四边形ABCD 是菱形．

∵菱形四边相等∴四边形ABCD 的周长为4AB=20

13.如图,正五边形ABCDE 的各条对角线的交点为M,N,P ,Q,R,它们分别是各条对角线的黄金分割点,若AB=2,则MN 的长为_________

【答案】3

【解析】∵M 为线段AD 的黄金分割点，AM ＞DM ∴

AM AD =DM DA =

同理可得

DN DB =

∠MDN ＝∠ADB ∴MND ADB ?? ∴MN DM AB DA =即2MN =3MN =14新年期间,某游乐场准备推出幸运玩家抽奖活动,其规则是:在一个不透明的袋子里装有若干个红球和白球(每个球除颜色外都完全相同),参加抽奖的人随机摸一个球,若摸到红球,则可获赠游乐场通票一张.游乐场预估有300人参加抽奖活动,计划发放游乐场通票60张,则袋中红、白两种颜色小球的数量比应为______________ 【答案】1:4

【解析】设红球m 个，白球y 个，根据大量反复试验下频率稳定值即概率可得60300m

m n

=+ 化简得4m n =

∴袋中红、白两种颜色小球的数量比应为m:n=1:4 15.如图,点A,C 分别在反比例函数4-

y x =(x<0)与9

y x

=(x>0)的图象上,若四边形

OABC 是矩形,且点B 恰好在y 轴上,则点B 的坐标为______________ 【答案】

) 【解析】如图，作AD ⊥x 轴，垂足为D ，CE ⊥x 轴，垂足为E. 约定49,,,A m C n m n ????

? ?????

（m<0,n>0）由k 字形结论可得AD OD

OE CE =即4

m m n

-=化简得mn=-6

再根据平行四边形坐标特点相邻之和减相对可得0049

0B B x m n y m n =+-=??

?=-+-??

∴6B m n y ==== ∴

) 三、解答题(本大题含8个小题,共60分)解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程 16.解下列方程:(每题4分,共8分) (1)x 2-8x+1=0; 解：移项得：x 2-8x=-1 配方得：x 2-8x+42=-1+42 即（x-4）2=15

直接开平方得4x -=

∴原方程的根为1244x x ==(2)x(x-2)+x-2=0

解：提取公因式（x-2）得（x-2）（x+1）=0 ∴原方程的根为122,1x x ==- 17.(本题6分

)

已知矩形ABCD,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上,求证:四边形ADEF是正方形.

【解析】∵矩形ABCD∴∠D=∠DAB=90°，∵EF⊥AB∴∠F=90°

∴四边形ADEF是矩形

∵∠D=90°∴ED⊥DA

∵AE平分∠DAB，EF⊥AB∴ED=EF

∴四边形ADEF是正方形

18.(本题9分)

花园的护栏由木杆组成,小明以其中三根等高的木杆为观测对象,研究它们影子的

规律图1,图2中的点A,B,C均为这三根木杆的俯视图(点A,B,C在同一直线上)

(1)图1中线段AD是点A处的木杆在阳光下的影子,请在图1中画出表示另外两根

木杆同一时刻阳光下的影子的线段;

(2)图2中线段AD,BE分别是点A,B处的木杆在路灯照射下的影子,其中DE∥AB,点O是路灯的俯视图,请在图2中画出表示点C处木杆在同一灯光下影子的线段;

(3)在(2)中,若O,A的距离为2m,AD=2.4m,OB=1.5m,则点B处木杆的影子线段BE的长为___________m

【解析】(1)如图1,线段BE,CF即为所求（太阳光是平行光，考查平行投影）

(2)如图2,线段CG即为所求;（考查点投影）

⑶1.8 ∵DE//AB ∴

OA OB OD OE =即

2 1.5

1.82

2.4 1.5OA OB BE m OA OD OB BE BE

=∴=∴=++++ 19.(本题6分)

王叔叔计划购买一套商品房,首付30万元后,剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还,即贷款金额按月分期还款,每月所还贷款本金数相同,设王叔叔每月偿还贷款本金y 万元,x 个月还清,且y 是x 的反比例函数,其图象如图所示 (1)求y 与x 的函数关系式;

(2)王叔叔购买的商品房的总价是__________万元;

(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元,则至少需要多少个月还清?

【解析】(1)设y 与x 之间的函数关系式为k

y x

= (k ≠0). 根据题意,得点(120,0.5)在k y x =的图象上,∴0.5120k

=解得k=60

∴y 与x 之间的函数关系式为60

y x

= (x>0)

(2)90;

∵王叔叔每月偿还贷款本金y 万元,x 个月还清∴贷款金额xy=60万元 ∴王叔叔购买的商品房的总价为首付与贷款金额的和即30+60=90（万元） (3)2000元=0.2万元根据题意,得y=0.2,x=300

由图，y≤2000的图像位于Ⅱ区域即x≥300 ∴至少需要300个月还清.

20.(本题6分

)

Ⅱ

0.2

新年联欢会,班里组织同学们进行才艺展示,如图所示的转盘被等分成四个扇形,每个扇

形区域代表一项才艺：1-唱歌；2-舞蹈；3-朗诵；4-演奏.每名同学要随机转动转盘两次,转盘停止后,根据指针指向的区域确定要展示的两项内容(若两次转到同一区域或分割线上,则重新转动,直至得出不同结果).求小明恰好展示“唱歌”和“演奏”两项才艺的概率.

【解析】转动转盘两次所有可能出现的结果列表如下:

由列表可知共有12种结果,每种结果出现的可能性相同小明恰好展示“唱歌”和“演奏”才艺的结果有2种:(1,4),(4,1) 所以小明恰好展示“唱歌”和“演奏”才艺的概率是21

126

=. 21.(本题6分)

为了弘扬山西地方文化,我省举办了“第三届山西文化博览会”,博览会上一种文化商品的进价为30元/件,售价为40元/件,平均每天能售出600件.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种商品的售价每上涨1元,其每天的销售量就减少10件,为使这种商品平均每天的销售利润为10000元,这种商品的售价应定为多少元? 解:设这种商品的涨价x 元，根据题意,得（40-30+x ）（600-10x ）=10000

即（10+x ）（60-x ）=1000 ()()106070(205070,20501000)x x ++-=+=?= 解得x 1=10,x 2=40

∴售价为40+10=50或40+40=80

∵售价在40元至60元范围内∴售价应定为50元答:售价应定为50元. 22.(本题12分)综合与实践:

问题情境:

如图1,矩形ABCD 中,BD 为对角线,

k AB

=,且k>1.将△ABD 以B 为旋转中心,按顺时针方向旋转,得到△FBE(点D 的对应点为点E,点A 的对应点为点F),直线EF 交直线AD 于点G

(1)在图1中连接AF,DE,可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△ABF 相似,这个三角形是_______,它与△ABF 的相似比为______(用含k 的式子表示); 【答案】(1)△

【解析】本题考查子母牵手模型由旋转性质可得△ABD ≌△FBE ∴BA=BF,BD=BE ，∠ABD=∠FBE ∴

,AB BF

ABF DBE BD BE

=∠=∠∴△ABF ∽△DBE ∵AD

k AB =∴△DBE 与△ABF

相似比为1

BD AB

= 数学思考:

(2)如图2,当点E 落在DC 边的延长线上时,点F 恰好落在矩形ABCD 的对角线BD 上,此时k 的值为______

【解析】由旋转性质可得△ABD ≌△FBE

∴BD=BE ，AD=FE ∵ 矩形ABCD ∴AD=BC ∴EF=BC ∵BD FE DE BC = (等面积转换)∴BD=DE ∴等边三角形BDE

∴tan 60AD

== 实践探究

(3)如图3,当点E 恰好落在BC 边的延长线上时,求证:CE=FG; 【解析】(首推方法2) 方法1：常规法设EF 与BD 交于点O

A B

由旋转性质可得△ABD ≌△FBE ∴∠ADB=∠FEB,BD=BE,AD=FE,

∵四边形ABCD 是矩形,AD//BC,AD=BC ∴∠ADB=∠DBC,∠FEB=∠EGD ∠ADB=∠EGD,∠FEB=∠DBC OD= OG, OE=OB

OD+OB=OG+OE,即BD=GE ∵BD=BE ∴BE= EG

∵CE= BE- BC, GF= GE- EF, E 且BC= AD=FF ∴CE= GE 方法2面积法

由旋转性质可得△ABD ≌△FBE ∴∠BAD=∠BFE,BA=BF,AD=FE, ∵四边形ABCD 是矩形,AD//BC,AB=DC ∴BDE BGE S S BE DC GE BF ??=∴= ∵BA=BF, AB=DC ∴DC=BF ∴BE=GE

∵CE= BE- BC, GF= GE- EF, E 且BC= AD=FF ∴CE= GE (4)当k=

时,在△ABD 绕点B 旋转的过程中,利用图4探究下面的问题请从A,B 两题中任选一题作答,我选择 A:当AB 的对应边FB 与AB 垂直时,直接写出

的值. 【答案】17

或

【解析】如图

B:当AB 的对应边FB 在直线BD 上时,直接写出

DG AB

的值

【答案】51063

或

【解析】如图情况1：

425

cos 52

55236

AD FD m ADB GD m BD GD GD m

DG AB m ∠=

=∴=∴=∴==

情况2：

48cos 105101033

AD FD m

ADB GD m

BD GD GD

DG m AB m ∠==∴=∴=∴==

23.(本题12分)

如图1,平面直角坐标系中,△OAB 的顶点A,B 的坐标分别为(-2,4)、(-5,0).将△OAB 沿OA 翻折,点B 的对应点C 恰好落在反比例函数k

y x

(k ≠0)的图象上

(1)判断四边形OBAC 的形状,并证明. 【解析】(1)四边形OBAC 是菱形证明:过点A 作AE ⊥x 轴于点E

∵A(-2,4)∴ OE=2, AE=4∵B(-5,0)∴BE= OB- OE= 3 在Rt △ABE 中,由勾股定理得

∴ AB= BO

∵△AOB 沿AO 折叠,点B 的对应点是点C ∴AB= AC, OB= OC ∴AB= OB= AC = OC. ∴四边形OBAC 是菱形 (2)直接写出反比例函数k

y x

=(k ≠0)的表达式. 【答案】12y x

【解析】20(5)3,4004C A O B C A O B x x x x y y y y =+-=-+--==+-=+-= ∴C （3,4）

∵C 恰好落在反比例函数k y x =

的图象上∴4123k k =∴=∴12y x

= (3)如图2,将△OAB 沿y 轴向下平移得到△OA'B',设平移的距离为m(0

请从A,B 两题中任选一题作答,我选择___________ A:若点B 的对应点B ’恰好落在反比例函数k

y x

=(k ≠0)的图象上,求m 的值,并直接写出此时S 的值【解析】连接BB ’

△OAB 沿y 轴向下平移得到△OA ’B', BB ’∥y 轴,BB ’=m

∵B(-5,0)∴点B'的横坐标为-5将x=-5代入12

y x

=.得y=-2.4 B'(-5,-2,4),BB ’=2.4,即m=2.4 B:若S=

OAB S ?,求m 的值; 【解析】连接AA ′并延长AA ’交x 轴于点H,设A'B',A ’O ′交OB 于点M,N 则AA ′=m,

由平移可知∠MAN=∠BAO,AH ⊥OB,A ’M ∥AB, ∴△A ’MN ∽△

ABO

12A MN ABO S A H A H S AH AH '''??==∴= ?

?? AH=4,

∴A H '=∴AA ’=AH-A ’

H=4-即

m=4-

(4)如图3,连接BC,交AO 于点D,点P 是反比例函数k

y x

=(k ≠0)的图象上的一点, 请从A,B 两题中任选一题作答,我选择____________

A:在x 轴上是否存在点Q,使得以点O,D,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P ,Q 的坐标;若不存在,说明理由; 【答案】存在,点P 与Q 的坐标如下:

P 1(6,2)与Q 1(7,0);P 2(6,-2)与Q 2(-7,0);P 3(-6,-2)与Q 3(-7,0);

【解析】由题意D 为AO 中点∵A(-2,4)∴D （-1,2）设Q （t ，0），P （12

m m

） OP 为对角线：()01612

7002

Q O P D Q O P D x x x x t m m t y y y y m ?=+-∴=+--=??

???==+-∴=+-???

∴P 1(6,2)与Q 1(7,0) OD 为对角线：0(1)161270202P O D Q P O D Q x x x x m t t

m t y y y y m =+-∴=+--=--?=??

???

=-=+-∴=+-=???

∴P 2(6,-2)与Q 2(-7,0); PD 为对角线：(1)0

612

7020Q P D O Q P D O x x x x t m m t y y y y m =+-∴=+--?=-??

???=-=+-∴=+-???

∴P 3(-6,-2)与Q 3(-7,0) B:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P ,Q 为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,说明理由

【答案】存在,点Q 的坐标如下

(

)()

(

)12344,24,10,5,(2,4)Q Q Q Q ---

【解析】先求P 点坐标，分别过O 、A 作直线交12

y x

=于 P 1，P 2，P 3，P 4

设P 2P 4所在直线为y=kx ，P 2（m ，n ）∴n=mk 由A(-2,4)易得tan∠1=tan∠2=

12则1

n k m =

= 直线12y x =与12y x =

联立解得x x y y ??==-????==????

∴(

(24,P P -

22202Q A P O x x x x =+-=-+=

,22404Q A P O y y y y =+-==

∴()

24Q

同理4(2,4)Q - 设P 1P 3所在直线为1

y x =

+b 将A(-2,4)代入可得b=5 152y x =

+与12

y x =联立解得122,16

x x y y =-=????=-=??∴()()132,6,12,1P P -- ()112024Q P O A x x x x =+-=+--=116042Q P O A y y y y =+-=+-=∴()14,2Q

同理()310,5Q --