2010工科数分第一学期期末试题(A)

课程编号：MTH17003

北京理工大学2010-2011学年第一学期

工科数学分析期末试题（A 卷）

班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________

一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. =-→)sin cos 1(

lim 2

x x x x

x ___________________________. 2. 具有特解x e y -=1，x xe y -=2，x e y =2的三阶常系数线性齐次微分方程为__________________________________________-. 3. 已知0)2(=f ，)2(f '存在，则.______________1

)

arctan 2(lim

3

230

=-+→x x e

x f

4.

=-?

1

2

21dx x

x ________________________.

5. 设)(y x x =是)(x y y =的反函数，且x

xe dx dy =，则当0>x 时，22d x dy

=_______________. 二. (8分) 已知点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,的值。

三. (8分) 已知x

x

sin 是函数)(x f 的原函数，求不定积分?'dx x f x )(。

四. (8分) 设方程1cos =+-y y x 确定隐函数)(x y y =，求dx dy ，22dx

y

d 。

五. (9分) 求反常积分?+∞1

2arctan 1

xdx x

。

六. (11分) 求微分方程0)2(=+-dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =，直线

0=x ，1=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。

七. (8分) 一椭圆（如图）垂直立于水中，水面与椭圆 的最高点相齐，求椭圆所受到的水压力。（要画出 坐标系）

八. (11分) 求微分方程x e

=

-'

+''的通解。

2-

y)1

x

y

y

(

九. (8分)一单位质点（质量为1kg ）沿x 轴运动。已知质点所受到的力为x x f sin )(-=（单

位：N ，方向与x 轴平行）。若质点的初始位置在原点，初速度sec /m 20=v ，求质点的位置x 与速度v 所满足的微分方程，并求出此微分方程的解。

十. (9分) 判断方程?-=10

2

ln dx e e x x x 在区间),0(+∞内有几个不同实根。

十一. (10分) 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 单调增加，且是奇函数，设

?--=x

dt t x f x t x F 0)()2()(

证明)(x F 单调减少，且是奇函数。