第二章信号分析基础

本章学习要求

1.了解信号分类方法

2.掌握信号波形分析方法

3.掌握信号相关分析方法

4.掌握信号频谱分析方法

5.了解其它信号分析方法

§2.1 信号的分类

为了深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的。以不同的角度来看待信号，可以将信号分为

1. 确定性信号与非确定性信号；

2. 能量信号与功率信号；

3. 时限信号与频限信号；

4. 连续时间信号与离散时间信号；

5. 物理可实现信号。

2.1.1 确定性信号与非确定性信号

可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。它可以进一步分为周期信号、非周期信号与准周期信号等，如下图所示。

图2.1-1 信号的分类描述

(1)确定性信号

周期信号：是指经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件。

x ( t ) = x ( t + nT ) (2.1-1)

式中T——周期，T=2π/ω0；

ω0——基频；n=0,±1, …。

非周期信号：是不会重复出现的信号。例如，锤子的敲击力、承载缆绳断裂时

的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且可用数学关系式描述。

准周期信号：是非周期信号的特例，处于周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的频率相互间不是公倍数关系，其合成信号不满足周期条件，例如是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐波关系。这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。

(2)非确定性信号

非确定性信号：是不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。然而，必须指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。

2.1.2 能量信号与功率信号

(1)能量信号

在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件

(2.1-2)

(2)功率信号

有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-∞，∞）内能量不是有限值。在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适。在区间（t1，t2）内，信号的平均功率

(2.1-3)

若区间变为无穷大时，上式仍然是一个有限值，信号具有有限的平均功率，称之为功率信号。具体讲，功率信号满足条件

(2.1-4)

对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。

2.1.3 时限信号与频限信号

时域有限信号：是在有限区间（t1，t2 ）内有定义，而其在有限区间外恒等于零。例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数衰减信号、随机过程等，则称为时域无限信号。

频域有限信号：是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（f1 ，f2），其外恒等于零。例如，正弦信号、sinc（t）函数、限带白噪声等，为频域有限信号。白噪声、理想采样信号等，则为频域无限信号。

时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。由时、频域对称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。显然，一个信号不能够在时域和频域都是有限的。

2.1.4 连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值(除若干个第一类间断点外)都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或模拟信号。连续信号的幅值可以是连续的也可以是不连续的。

离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的。只是在某些不连续的规定瞬时给出函数值，而在其它时间没有定义的信号。

2.1.5 物理可实现信号

物理可实现信号又称为单边信号，满足条件t＜0时，x(t) =0，即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。

在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反映了物理上的因果关系。实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉冲作用于一个物理系统之后所输出的信号。例如，切削过程，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。

所谓物理系统，具有这样一种性质，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响应的，换句话说，在零时刻之前，没有输入脉冲，则输出为零，这种性质反映了物理上的因果关系。

§2.2时域分析

信号时域分析又称为波形分析或时域统计分析，它是通过信号的时域波形计算信号的均值、均方值、方差等统计参数。信号的时域分析很简单，用示波器、万用表等普通仪器就可以进行分析。

2.2.1 信号类型确定

信号时域分析(波形分析)的一个重要功能是根据信号的分类和各类信号的特点确定信号的类型。然后再根据信号类型选用合适的信号分析方法。

2.2.2 周期T

对周期信号来说，可以用时域分析来确定信号的周期，也就是计算相邻的两个信号波峰的时间差。

2.2.3 均值

均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即

(2.2-1)

均值又或称之为直流分量，表达了信号变化的中心趋势。

2.2.4 均方值

信号x(t)的均方值E[x2(t)]，或称为平均功率，其表达式为

(2.2-2)

值表达了信号的强度，其正平方根值又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。

2.2.5 方差

信号x(t)的方差定义为

(2.2-3)

称为均方差或标准差。可以证明

(2.2-4)

描述了信号的波动量；描述了信号的静态量。方差反映了信号绕均值的波动程度。

§2.3 相关分析

2.3.1 相关的概念

相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是用相关系数来描述两个变量x、y之间的相关性，即

(2.3-1)

式中是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表征了x、y之间的关联程度；、分别为随机变量x、y的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。

是一个无量纲的系数，。当||＝１时，说明x、y两变量是理想的线性相关；＝０时，表示x、y两变量完全无关；0<||<1时，表示两变量之间有部分相关。下图分别表示了x、y两变量间的各种关系情况

图2.3-1 变量x、y间的不同相关情况

自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现象，不一定是线形相关，也不一定是完全无关，如人的身高与体重，吸烟与寿命的关系。

2.3.2 相关函数

如果所研究的随机变量x、y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)，这时可以引入一个与时移τ有关的量，称为相关系数，并有

(2.3-2)

式中假定x(t)、y(t)是不含直流分量(信号均值为零)的能量信号。分母部分是一个常量，分子部分是时移τ的函数，反映了二个信号在时移中的相关性，称为相关函数。因此相关函数定义为

(2.3-3)

如果x(t)=y(t)，则称为自相关函数，即

(2.3-4)

若x(t)与y(t)为功率信号，则其相关函数为

(2.3-5)

计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时移τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。连续变化参数τ，就可以得到x(t)、y(t)的相关函数曲线。相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。

2.3.3 相关函数的性质

根据定义，相关函数有如下性质：

(1)自相关函数是偶函数，即

(2.3-6)

值得注意的是，互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数，但满足下式

(2.3-7)

(2) 当τ=0时，自相关函数具有最大值，

(3) 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。如：正弦信号Asin(ωt+φ)的自相关函数为Rx(τ)=(A2cosωτ)/2 。

(4) 两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。如正弦信号Asin(ωt)与Bsin(ωt-φ)的互相关函数为 Rxy(τ) = ABcos(ωτ-φ) 。

(5) 两个非同频率的周期信号互不相关。

(6) 随机信号的自相关函数将随|τ|值增大而很快趋于零。

2.3.4 相关分析的工程应用

相关函数描述了信号波形的相关性（或相似程度），揭示了信号波形的结构特性。相关分析作为信号的时域分析方法之一，为工程应用提供了重要信息，特

别是对于在噪声背景下提取有用信息，更显示了它的实际应用价值。下面列举一些工程应用实例。

（1）机械加工表面粗糙度的自相关分析

下图表示用电感式轮廓仪测量工件表面粗糙度的示意图。金刚石触头将工件表面的凸凹不平度，通过电感式传感器转换为时间域（或空间域）信号（图a），再经过相关分析得到自相关图形（图b）。可以看出，这是一种随机信号中混杂着周期信号的波形，随机信号在原点处有较大相关性，随τ值增大而减小，此后呈现出周期性，这显示出造成表面粗糙度的原因中包含了某种周期因素。例如沿工件轴向，可能是走刀运动的周期性变化；沿工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性变化等。

图2.3-5

（2）地下输油管道漏损位置的探测

下图表示利用互相关分析方法，确定深埋在地下的输油管漏损位置的示意图。在输油管表面沿轴向放置传感器（例如拾音器、加速度计或AE传感器等）1和 2，油管漏损处K可视为向两侧传播声波的声源，因放置两传感器的位置距离漏损处不等，则油管漏油处的声波传至两传感器就有时差，将两拾音器测得的音响信号xl(t)和x2(t)进行互相关分析，找出互相关值最大处的延时τ，即可由τ确定油管破损位置。

S=vτ/2 (2.3-10)

式中S—两传感器的中心至破损处的距离；v—声波通过管道的传播速度。

图2.3-6

§2.4 幅值域分析

2.4.1 概率密度函数

随机信号的概率密度函数定义为

(2.4-1)对于各态历经过程

(2.4-2)式中表示瞬时值落在增量x范围内可能出现的概率；T x =

t 1+t

+....表示信号瞬时值落在(x，x+x)区间的时间，T为观测时间段长度，

所求得的概率密度函数p(x)是信号x(t)的幅值x的函数。下图显示了一个样例信号x(t)的波形和p(x)的计算方法。

图2.4-1 概率密度函数的计算

2.4.2 概率分布函数

概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为

(2.4-3)

概率分布函数又称为累积概率，表示落在某一区间的概率，亦可写为

(2.4-4)

§2.5 频谱分析

2.5.1 频谱分析的概念

信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为

(2.5-1)

式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。

信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只有一个频率分量的简谐波外,一般很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量的大小。信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观、丰富的信息。

2.5.2 傅里叶变换的性质

时域信号x(t)的傅氏变换为

(2.5-4)

式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。

信号的傅里叶变换有如下性质：

(1) 奇偶虚实性

实函数x(t)的傅里叶变换X(f)的实部为偶函数，虚部为奇函数；X(f)的模为偶函数，相位为奇函数。

(2) 线性叠加性

傅里叶变换是一种线性运算，满足线性叠加性质。

若x1(t)←→X1(f)、x2(t)←→X2(f)，

则c1x1(t)+c2x2(t)←→c1X1(f)+c2X2(f)

(3) 对称性

若x(t)←→X(f)，则 X(t)←→x(-f)

(4) 时间尺度改变性

若x(t)←→X(f)，则

(5) 时移性

若x(t)←→X(f)，则

(6) 频移性

若x(t)←→X(f)，则

(7) 卷积定理

若x1(t)←→X1(f)、x2(t)←→X2(f)，

则x1(t).x2(t) ←→X1(f)*X2(f)、x1(t)*x2(t) ←→X1(f).X2(f)

2.5.3 周期信号频谱分析

周期信号是经过一定时间后可以重复出现的信号，满足条件

x ( t ) = x ( t + nT ) (2.5-5)

从数学分析已知，任何周期函数在满足狄利克利（Dirichlet）条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如正交函数集是三角函数集（sin nωnω0t)或复指数函数集（e jnω0t），则可展开成为傅里叶级数，有实数形式0t,cos

表达式

(2.5-6)

直流分量幅值为

(2.5-7)

各余弦分量幅值为

(2.5-8)

各正弦分量幅值为

(2.5-9)

利用三角函数的和差化积公式，周期信号的三角函数展开式还可以写为下面的形式

(2.5-10)

直流分量幅值为

A 0 = a

(2.5-11)

各频率分量幅值为

(2.5-12)

各频率分量的相位为

(2.5-13)

式中T——周期，T=2π/ω0；

ω0——基波圆频率,ω0=2πf0；

f0——基波频率；

n=0,±1, …；

,——为信号的傅里叶系数，表示信号在频率fn处的成分大小。式工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn为横坐标、为纵坐标画图，绘出的曲线图称为实频－虚频谱图；以fn为横坐标、为纵坐标画图，绘出的曲线图称为幅值－相位谱；以fn为横坐标、An2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率谱。

频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。

2.5.4 非周期信号频谱分析

非周期信号是在时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析是利用傅里叶变换进行的，其表达式为

(2.5-17)

与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和。所不同的是，由于非周期信号的周期，基频，它包含了从零到无穷大的所有频率分量；各频率分量的幅值为X(ω)dω/(2π)，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。

非周期信号x(t)的傅里叶变换X(f)是复数，所以有

(2.5-18)

式中|X(f)|——信号在频率f处的幅值谱密度；

——信号在频率f处的相位差。

工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f为横坐标，Re[X(f)]、Im[X(f)]为纵坐标画图，绘出的曲线图称为时频－虚频密度谱图；以f为横坐标，|X(f)|、

为纵坐标画图，绘出的曲线图称为幅值－相位密度谱。以f为横坐标，

|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密度谱。

与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。

2.5.5 频谱分析的应用

频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。例如，在机床齿轮箱故障诊断中，可以通过测量齿轮箱上的振动信号，进行频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。再例如，在螺旋桨设计中，可以通过频谱分析确定螺旋桨的固有频率和临界转速，确定螺旋桨转速工作范围。

§2.6 信号卷积积分

2.6.1 卷积积分的概念

卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率域变换分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。因此了解卷积积分的数学物理含义是很必要的。

在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系，如下图所示

图2.6-1

用公式表示有

y(t) = x(t) * h(t) (2.7-1)函数x(t)与h(t)的卷积积分定义为

(2.7-2)

2.6.2 时域卷积定理

如果：

h(t) --傅里叶变换--> H(f)

x(t) --傅里叶变换--> X(f)

则： x(t)*h(t) <=傅里叶变换=> X(f)H(f)

此称为时域卷积定理，它说明时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。

2.6.3 频域卷积定理

如果：

H(f) --傅里叶逆变换--> h(t)

X(f) --傅里叶逆变换--> x(t)

则：X(f)*H(f) <=傅里叶逆变换=> x(t)h(t)

此称为频域卷积定理，它说明两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。