2015年福建省高职单招数学试卷
2015年福建省高职单招数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共70分）
一．单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1.设集合{}1,3,5A =，{}1,2B =，则A B 等于（ ）
A.{}1
B.{}1,3,5
C.{}2,3,5
D.{}1,2,3,5
2.函数2()log f x x =的图象大致为（ ）
A B C D
3.已知向量(1,0)a = ，(1,2)b = ，则a b ? 的值为（ ）
A.1-
B.0
C.1
D.2
4.已知()3sin(3)4f x x π
=+的最小正周期是（ ） A.3π B.23
π C.3π D.6π 5.下列几何体是棱柱的是（ ）
A B C D
6.圆2220x y x +-=的圆心坐标为（ ）
A.（1 , 0 )
B.( 2 , 0 )
C.( 0 , 1 )
D.( 0 , 2 )
7.若,x y R ∈，则“0x <且0y <”是“0xy >”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.椭圆2
212
x y +=的离心率为（ ） A.12 B.32 C.22 D.34
9.已知函数()2x f x x =+的零点所在区间是（ ）
A.(2,1)--
B.(1,0)-
C.(0,1)
D. (1,2)
10.设,x y 满足束条件 1 11 x x y y ≤??+≥??≤?
，则z x y =-+的最大值等于（ ）
A.2-
B.1-
C.0
D.1
11.在△ABC 的内角030A =，2AC =，3AB =，则BC 等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.2
12.如图，在正方形ABCD 中，以对角线AC 和BD 的交点O 为圆心作圆O ，若在正方形ABCD 内，随机取一个点，则此点取自于阴影部分的概率是（ ） A.14 B.13 C.12 D.34
13.函数4()1f x x x
=++（0x >）的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
14.设函数()f x 是定义在R 上的增函数，且不等式2(m 2)()f x f x +<对x R ∈恒成立的取值范围是（ ）
A.(,1)-∞-
B.(,1]-∞-
C.(1,)+∞
D.[1,)+∞
第II 卷（非选择题 共80分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上）
15．(1)(1)i i +-= ；
16．在一次抽样调查中，采用分层抽样选取样本，其中男生28人，女生21人，共抽取7人，则女生抽取________人；
17．已知函数(4),0()(4)0x x x f x x x x +≥?=?-
，，则(3)f = ； 18．一个圆柱体的体积为3128cm π的易拉罐有上.下底面，求高为 时用的材料最少.
三.解答题（本大题共6 小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分）
已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-. （Ⅰ）求()4
f π
的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值
.
20. （本小题满分8分）
已知等差数列{}n a 中，131,6a S ==.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，求1235b b b b ++++ 的值.
21. （本小题满分10分）
右图是某公司5个销售店某月销售某机器的数量（单位：台）的茎叶图.
（Ⅰ）求该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数；
（Ⅱ）该公司为提高销售业绩，从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数的概率.
22. （本小题满分10分）
设直线l 过抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点F ，且与抛物线Γ相交于A ，B 两点，其中点(4,4)A .
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）求线段AB 的长.
5323642
23. （本小题满分12分）
某实心零件是一几何体，其三视图如图（单位：毫米，π取3.14）.
（Ⅰ）求该零件的表面积；
（Ⅱ）电镀这种零件需要用锌，已知每平方毫米用锌41.110-?克，问电镀10000个零件需要用锌多少克？
24.（本小题满分12分） 已知函数31()13
f x x ax =-+，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线与y 轴垂直 （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间[2,2]-上的最大值；
（III ）是否存在实数k ，使得直线4(1)3
y k x =--
与曲线()y f x =有三个交点？若存在，求k 的范围；若不存在，说明理由.
俯视图侧视图正视图20
202010
2015年福建省高等职业教育入学考试
数学试卷答案及评分参考
（面向普通高中考生）
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A
8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 13．D 14．A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
15．2 16．3 17．21 18．8cm
三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.解：(1) )42sin(22cos 2sin )(π+
=+=x x x x f …………………2分 1)4
24sin(2)4(=+?=πππf ………………4分 （Ⅱ）)42sin(2)(π+=
x x f 当1)42sin(=+πx 时，f(x)=2×1=2 …………………6分
所以 f(x)的最大值是2 …………………8分
20.解：（Ⅰ）因为等差数列d a s a 2
)13(33,1131-+
?== 所以6=3×1+3d ，
解得d=1 ……………………………………………2分 所以n a n = ……………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n n b 2= ………………5分 所以 332212,2,2===b b b
公比q ＝2 ………………6分 1
15154321--=++++q a q a b b b b b ＝ 62 …………8分
21．解：（Ⅰ）平均台数＝台305
3533322624=++++，………………………5分 （Ⅱ）基本事件：（24，26）（24，32）（24，33）（24，35）（26，32）（26，33）（26，
35）（32，33）
（32，35）（33，35）共计10种情况，
符合条件有（32，33）（32，35）（33，35）3种情况 ………………………8分
10
3＝均高于平均数概率p ………………………10分 22.解：（Ⅰ）把A （4，4）代入px y 22= ………………………………2分
得：p=2 ………………………………4分
所以抛物线方程：x y 42
= ……………………………5分
（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A
焦点F （1，0），A （4，4） 3
41404=--=
AF K ……………………………7分 直线AB 方程：y=34(x-1) ??
???=x y 41)-(x 34=y 2 因为041742
=+-x x ……………………………………………8分 4
1721=+x x p x x AB ++=21=
417+2=425 ……………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）由三视图可得该几何体是一个棱长为20毫米的正方体上面放置了一个半径10毫米的半球
＝正方体表面积s 6×20×20－210?π＝2086 628104212
＝＝半球表面积??πs
零件的表面积27146282086=+=s ………………4分
＝2714（2m m ） (6)
该零件的表面积27142m m ． （Ⅱ）电镀1000个这种零件需要用的锌为
＝ 2714×10000×4101.1-? ………………………………8分 ＝2985.4（g ）． ………………………………10分
所以制造1000个这样的零件，需要锌2985.4克．
23．解：（Ⅰ）由题意：f(x)的切线与y 轴垂直可得k=0，a x x f -=2')( ……………2分 01)1('=-=a f ，
解得：a=1 ……………4分
（Ⅱ）把a=1,代入f(x)，得13
1)(3+-=x x x f ……………5分 因为1)(2'-=x x f 令0)('=x f ,012=-x ，解得：1,121=-=x x ……………6分
① [][]2,1,1,2--∈x 当时，f(x)为增函数，
②[]1,1-∈x 当时，f(x)为减函数，
∴ x=-1是极大值，x=1是极小值 ……………………7分
∴f(-1)=
35, f(2)=35 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值是3
5………8分 （III ）因为直线4(1)
3y k x =--经过定点A （1，34-），如图可知，当直线K 为负数或不存在时直线与f(x)只有一个交点，………………10分
设直线4(1)3y k x =--
与f(x)相切于点B （m,13
13+-m m ）,过B 的斜率K ＝)('m f ＝12-m 13
13+-m m ＝（12-m ）（m-1）-34 …………11分 043223=--m m ，04)2(222=-+-m m m ，0)22)(2(2=++-m m m
解得：m=2,K ＝12-m ＝3 …………12分
从而存),3(+∞∈k ，使得直线4(1)3y k x =--
与曲线()y f x =有三个交点