基本不等式及其应用
第4讲：基本不等式及其应用
【复习要求】
1. 掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a ,R b ∈）、ab b a ≥+2
（a 、b 为任意正数）；
2. 利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明；
3. 进一步理解代换的数学方法。
【复习重点】
1. 掌握2个基本不等式；
2. 理解基本不等式的意义；
【复习难点】
基本不等式的简单应用。
【知识梳理】
1、重要的不等式公式：
①基本不等式1：对任意实数,a b 有22
2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；
②基本不等式2:对任意正数,,a b 有
,2
a b
ab +≥当且仅当a b =时等号成立； 也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③不等式链：对任意正数,,
a b 222
1122a b a b ab a b ++≤≤≤
+，当且仅当a b =时等号成立； 综述：两个正数的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
注意：①应用公式的条件；②取等号的条件；③广义地理解公式中的字母,,a b ④公式的逆用，变用。 2、定和定积原理：
（1）若x y p +=()p x y R +
∈为定值，，?2
2
()24
x y p xy +=≤，（当且仅当x y =时取等号，和定积大）
（2）若xy S =()S x y R +∈为定值，，22x y xy S ?+=≥，（当且仅当x y =时取等号，积定和小） 3*、推广
①2
2
2
a b c ab bc ca ++++≥；
②*若,,a b c R +
∈，那么33a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立；
③*上式推广：如果123,,,,{0}n a a a a R +
?∈?，那么：123123n n
n a a a a a a a a n
++?+≥…，
当且仅当：123n a a a a ==?=时取“=”
【典型例题】
类型1：利用定和定积原理求最值问题
例1、解决下列最值问题：
（1）0,041,______a b a b ab >>+=已知且则的最大值是；
（2）0,2446,x y xy x y x y =+已知＞0,＞求的最小值,并说明此时的值； （3） 当04x ＜＜时，求(82)y x x =-的最大值；
（4） 已知45＞
x ，求函数14245
x x -+-的最大值； （5） 求2710
(1)1
x x x x ++≠-+的值域；
（6）求函数1
2++=x x x
y 的值域；
（7） 求函数2
25
x y x +=
+的最大值；
（8）已知0021a b a b +=＞，＞，，求11
t a b
=
+的最小值； （9）求函数15
2152()
22y x x x =-+-＜＜的最大值。
【解析】方法：配凑（凑系数凑项）、分离常数、换元、整体代换、取平方 答案：略其中，第8题讲下学生错解情况（即利用两次基础不等式）
变式1：已知,R x ∈求函数5
21
1)(-+
+=x x x f 的值域； 变式2：已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，
求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。 解：（1）由08=-+xy y x ，得
12
8=+y
x ， 又0,0>>y x ，则xy
y x y x 8
282281=
?≥+=
，得64≥xy ， 当且仅当y x =时，等号成立。
（2）法1：由08=-+xy y x ，得2
8-=y y
x ，20>∴>y x 则28-+
=+y y y y x 1810216
)2(≥+-+-=y y ， 当且仅当2
16
)2(-=
-y y ，即12,6==x y 时，等号成立。 法2：由08=-+xy y x ，得
12
8=+y
x ， 则y x +==+?+
)()28(y x y x ≥++x y y x 82101882210=?+x
y y x 。 变式3：已知),(2+
∈=+R b a b a ，求
221
1b
a +的最值？ 提示：同时乘以2
()4
a b +即可求解
变式4：已知,,,,+∈R y x b a 且
1=+y
b x a （1）若1==b a ，求y x +的最小值；
（2）5=+b a ，且y x +的最小值为9，求b a ,的值。
变式5、设2
2
0,0,12
y x y x ≥≥+=，求21y x +的最大值；
答案：24
3
类型2：利用不等式定理证明
例2、已知,a b R +∈且1,a b +=求证：11(1)(1)9a b
++≥。 解：11(1)(1)a b ++=(1)(1)a b a b a b ++++=(2)(2)52()9b a a b
a b b a
++=++≥
例3*、证明：若,,0,1,
a b c a b c >++=且111
a b c
++9≥ 解：
33
11113
3a b c abc abc
++≥= 313a b c abc =++≥，313abc ≤
，
33
9abc
≥ 因为两个不等式的等号成立的条件都为a b c ==，是一致的 所以
111
a b c
++9≥ 例4、设a 、b R +
∈，则22
2
1122a b a b ab a b
++≤≤≤
+（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值），当且仅当a b =时等号成立.
证明：（1）由a 、b R +∈，得
111112a b a b ab +
≥?=?211ab a b
≤+，当且仅当a b =时等号成立. （2）2
a b
ab +≤
，当且仅当a b =时等号成立，已证. （3）由22
2a b ab +≥?()()2222a b a b +≥+?()2
2
2
24
a b a b ++≥
?
()
2
22
2
4
2
2
a b a b a b a b
++++≥=
=
. 所以，当a 、b R +
∈时，有22
22
a b a b ++≤
，当且仅当a b =时等号成立. 综合（1）、（2）、（3）得，当a 、b R +
∈时，有22
2
1122a b a b ab a b
++≤≤≤+，当且仅当a b =时等号成立.
例5、已知0,0＞＞b a ，且1=+b a ，求证：22
1
21≤+++
b a 【解析】涉及平方或开方关系时，经常可利用平方平均，达到升次或降次的目的，同事在使用基本不等式时需要说明等号成立的条件。
类型3：基本不等式的实际应用
例6、如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2
，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？
解：设池塘的长为x 米时占地总面积为S 故池塘的宽为x
y 10000
=米 )0(620000)6(>???
??++=x x x S
故200366120000
++=
x x S （米）时即时当2
100 20000
61200002===∴x x x x
米时2502
10010000==
y
20036
21200 200367200002min +=+=S
池塘池塘
走道2米
走道2米
走
道2米
4米走道
4米走道 走道2米
走道2米
答：每个池塘的长为2100米，宽为250米时占地总面积最小。
例7、 甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条路线行到B 地。甲在前一半时间的行走速度为a ，后一半时间的行走速度为b ；乙用速度a 走完前半段路程，用速度b 走完后半段路程；问：谁先到达B 地？
解：设A 、B 两地的距离为S ，甲、乙两人用时分别为1t 、2t ，
则()1111
222
t t S a b t a b =?+?=+。 因此()2111111122244S S
a b t t a b t t a b a b b a ???
?=+=++=++≥ ? ????
?。
所以，当a b =时，21t t =，甲、乙两人同时到达B 地；当a b ≠时，21t t >，甲先到B 地。
另解：设A 、B 两地的距离为S ，甲、乙两人用时分别为1t 、2t ，平均速度分别为1v 、2v ，则
1112222t t S a b S S t a b ?=?+?????=+???11222
12111112S a b v t S v t a b a b +?==???
?===???+?+ ?????
?12v v ≥。 因而，当a b =时，12v v =，甲、乙两人同时到达B 地；当a b ≠时，12v v >，甲先到
B 地。
【课后作业】
A 组
1. 设0x y >>，则下列各式中正确的是（ A ）
A. 2x y x xy y +>
>> B. 2x y
x xy y +>>> C. 2x y x y xy +>>> D. 2
x y
xy x y +>>> 2. 若01,01x y <<<<，则下列各式中，最大的一个是（ B ）
A. 22
x y + B. x y + C. 2xy D. 2xy
3. 已知0 x 4 32+ +的最大值是__342-______. 4． 已知正实数a 和b 满足1a b +=，求11b a a b +++的最大值或最小值 解： 因为12a b ab +=≥，所以1 4 ab ≤且当a b =时等号成立 5． 证明：已知0ab >，求证： 2b a a b +≥，并指出等号成立的条件。 解：因为0ab >，所以,a b 同号，并有0,0b a a b >>。 所以， 2b a b a a b a b +≥=2 当且仅当b a a b =时，即0a b =≠时等号成立。 6． 若,,a b R + ∈且1a b +=，求证：1 4 ab ≤ ，并指出等号成立的条件 证明：因为,,a b R + ∈所以11()22ab a b ≤ +=， 即 1 4 ab ≤ 当且仅当1 2 a b ==时，等号成立。 7. 求函数)1(1 10 72->+++= x x x x y 的最小值 解：换元法，设1+=x t ，1->x ，则0>t ，1-=t x 且t t t y 10)1(7)1(2+-+-= =++=t t t 4 5295454=+≥++t t 当且仅当t t 4 =，2=t 即1=x 时，等号成立。则函数的最小值是9。 8. 设,,a b R ∈且221,a b +=求ab a b +及的取值范围 2212a b ab =+≥，得12ab ≤，1122 ab -≤≤ ()()2 2 22 1,2,222 a b a b a b a b +=+≥ +≤-≤+≤ 9. 现要建造一个面积为40平方米的矩形房间，已知围墙每米造价500元，如何建造，才能使围墙的造价最低，最低造价是多少？（精确到0.1元） 解：设矩形房间长x 米，宽y 米 40xy =，C=2（x y +）,因为0,0x y >>，所以2410x y xy +≥= 所以C=2（x y +）≥810,得围墙造价为5002?（x+y ）≥400010 所以最低造价为12649.1元 10. 若实数a b 、满足224442a b a b ab ++=+-（,x y R + ∈），则() 10b a 的最大值为多 少？ 解：()2 22 24()40,4()40,a b ab a b a b a b ++-++=+-++=()2 20a b +-= 得2a b +=，那么22a b ab =+≥，1ab ≤ 所以() 10b a 的最大值为10 11. 已知0,1,x y >>且()12,x y -=求2x y +的最小值 解：22(1)1x y x y +=+-+，因为0,1,x y >>，所以10y -> 所以2(1)22(1)4x y x y +-≥-= 所以25x y +≥，2x y +的最小值为5 12. 已知,x y R + ∈且21,x y xy +=求的最大值 解：因为,x y R + ∈，所以()2 112122228 x y xy x y +??=≤= ??? 所以xy 的最大值为18 13. 证明：若,,0,1,a b c a b c >++=且111 a b c ++9≥ 解： 33 11113 3a b c abc abc ++≥= 313a b c abc =++≥，313abc ≤ ， 33 9abc ≥ 因为两个不等式的等号成立的条件都为a b c ==，是一致的 所以111 a b c ++9≥ B 组 1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是( B ) A ．6 B ．24 C ．22 D ．62 2．下列不等式中恒成立的是( A ) A ． 222 22≥++x x B ．21≥+x x C ．25 4 22≥++x x D ．2432≥--x x 3．若y x ,是正实数， 则)4 1)((y x y x + +的最小值为( B ) A ．6 B ． 9 C ． 12 D ． 15 4．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是( B ) A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0( 5．设R y ∈，且06442 =+++x xy y ，则x 的取值范围是( D ) A ．33≤≤-x B ．32≤≤-x C ．2-≤x 或3≥x D ．3-≤x 或2≥x 6．已知2,12 2 2 2 =+=+y x b a ，则by ax +的取值范围是____]2,2[-______. 7．已知0,0>>b a ，且1=+b a ，则下列不等式①4 1 ≤ ab ；②4171≥+ab ab ；③2≤ +b a ； ④2221 1≥+b a 。其中正确的序号是____①②④③_____________. 8．已知,0,0>> b a 且12=+b a ，求2 2 42b a ab S --=的最大值。 解：,12,0,0=+>>b a b a ∴ab ab b a b a 414)2(4222-=-+=+ 且ab b a 2221≥+=，即42≤ ab ，8 1≤ab ∴2242b a ab S --=)41(2ab ab --=142-+=ab ab 2 1 2-≤ 当且仅当2 1 ,41==b a 时，等号成立。 9、当6a b +=时(,a b R +∈)，2 2 a b +是否有最大值或最小值?如果有，求出这个最大值或最小值及相应a b 、的值。 解：()2 a b +=2 2 236a b ab ++=，62a b ab =+≥，26ab ≤，218ab ≤ 所以22362a b ab +=-，36218ab -≥,22 18a b +≥ 所以2 2 a b +有最小值18 ，当3,3a b ==。 10.设,,,x y z R ∈已知222x y z xy yz zx ++≥++ （1）当x y z a ++=时，xy yz xz ++求的最大值 (2 )当1x y z ++=时，2 2 2 111x y z x y z ??? ???+++++ ? ? ?? ?????求的最小值 解：（1）()( )()2 2 2 2 2x y z x y z xy yz xz ++=+++++， 因为222 x y z ++≥xy yz xz ++，所以()()2 3x y z xy yz xz ++≥++ ()()2 3 x y z xy yz xz ++++≤ ，所以xy yz xz ++的最大值为23a （2）222 x y z xy yz zx ++≥++，得()2 2223 x y z x y z ++++≥ 所以2 2 2 11111113x y z x y z x y z x y z ????? ???+++++≥+++++ ? ? ? ?? ??????? 因为1,,x y z x y z R + ++=∈且,因此 111 9x y z ++≥ 2 2 2 111x y z x y z ??????+++++ ? ? ???????≥1003 得2 2 2 111x y z x y z ??? ???+++++ ? ? ?? ?????最小值为1003 11．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与 汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(1600 39202 >++= υυυυ y 。 （1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精 确到1.0千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？ 解：1.1.1183 920 ≈= y 2.6425< 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？ （2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为xy S = 依题设，32002045240=+?+xy y x ，由基本不等式得 xy xy xy y x 2012020904023200+=+?≥S S 20120+=， 01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，故10≤S ，从而100≤S 所以S 的最大允许值是100平方米， 取得此最大值的条件是y x 9040=且100=xy ，求得15=x ，即铁栅的长是15米。 13．某村计划建造一个室内面积为8002 m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 a b=800. 蔬菜的种植面积 ).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--= 所以 ).(648248082m ab S =-≤ 当).(648,)(20),(40,22 m S m b m a b a ====最大值时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2. 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a 同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 基本不等式应用题 最值问题 一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。 二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 三．教学过程： （一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理： （一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。 3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且 求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/ 时，已A 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 基本不等式及其应用 1．ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab . (2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2 4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 选择题： 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54 解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋ 基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为: 2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最 不等式的综合应用 【考纲要求】 1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力； 2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．． 【知识络】 【考点梳理】 考点一：不等式问题中相关方法 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用． 4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形 →判断符(值)． 5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 不 等式的综合应用 解不等式问题 实际应用问题 不等式中的含参问题 不等式证明 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 基本不等式及其应用 【考试要求】 1.掌握基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (a ，b ≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中 a ＋b 2 称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). 【微点提醒】 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2. 21a ＋ 1b ≤ab ≤a ＋b 2 ≤a 2＋b 2 2 (a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 与 a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件.( ) 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1 x ( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在???? ??12，3上的最小值为( ) A.1 2 B.43 C.－1 D.0 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+ ： 当且仅当a ＝ b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ +≤≤2 a b ≤ +2ab a b １．已知函数，求函数的 最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112. f x x x x x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值． )2(23)(>-+=x x x x f 3()222 3326f x x x x x x x =+≥->?? =?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是 【基本要求】 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些不等式。 【重点】 基本不等式的及其证明。 【难点】 用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。 【知识精要】 1、 基本不等式 若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则 2 a b ab +≥a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则 12n a a a n +++ 称为这n 个正数的算术平均数， 12n n a a a ??? 称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是： 12n a a a n +++ ≥12n n a a a ??? ，当且仅当12n a a a === 时等号成立。 利用不等式求最值： （1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P （2）“和定积最大”：2 2?? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值 2 14 S 。 2、 不等式的证明 比较法：要证明a b >，只需要证明0a b ->。 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够肯定这些条件都已成立，那么可以断定原不等式成立。 综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。 基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab ≤2 2?? ? ??+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22?? ? ??+b a ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R ). （6） b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤ a 3＋ b 3＋ c 3 3 ;(),,0a b c > (8) a ＋ b ＋ c 3 ≥3 abc ；(),,0a b c > 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ， a 2＋ b 2≥ . (2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2 为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 . 设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.42 C.2 2 D.26 解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝3 2 时取等号，故选B. 若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) 第5节 基本不等式及其应用 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知 识 梳 理 1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ???? a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). [常用结论与微点提醒] 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2. 3.2 1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 2 2(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就 会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件.( ) 解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0. (2)函数y ＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋y x ≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x >2，则x ＋4 x －2 的最小值是( ) A .2 B .4 C .22 D .6 解析 ∵x >2，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2 ＋2≥2（x －2）× 4 x －2 ＋2＝4＋2＝6. 当x －2＝4 x －2 ，即x ＝4时等号成立. 答案 D 基本不等式及应用 一、基本不等式及应用 1、（2018苏锡常一模9题）已知0a >，0b >，且 23a b +=，则ab 的最小值是． 解析：∵ 0a >，0b > ∴ 23a b +=≥ab > 2、已知实数x ，y 满足122=-+xy y x ，则y x +的最大值为________． 解析：因为122=-+xy y x ，所以xy y x +=+122. 所以22)2 (3131)(y x xy y x ++≤+=+， 即4)(2≤+y x ，解得22≤+≤-y x . 当且仅当1==y x 时等号成立．所以y x +的最大值为2. 3、已知0>x ，0>y ，且082=-+xy y x ，求： (1)xy 的最小值；(2)y x +的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得xy y x y x xy 882282=?≥+=，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64. （2）由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝))(28(y x y x ++＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋21882=x y y x .当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18. 4、设1->x ，则函数1 )2)(5(+++=x x x y 的最小值为____________． 解析：因为1->x ，所以01>+x ，设01>=+z x ，则1-=z x ，所以 95425445)1)(4(2=+?≥++=++=++=z z z z z z z z z z y ，当且仅当2=z ，即x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，函数y 有最小值9. 5、设a ，b ，c 均为正数，满足032=+-c b a ，则ac b 2的最小值是________． 解析：∵a －2b ＋3 c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴ac b 2＝a 2＋9 c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3， 当且仅当a ＝3c 时取“＝”． 6、 已知0>x ，0>y ，若 m m y x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为0>x ，0>y ，所以816282=≥+y x x y .要使原不等式恒成立，只需822<+m m ，解得24<<-m .所以实数m 的取值范围是)2,4(-.基本不等式应用-解题技巧归纳
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第049讲 总复习：不等式的综合应用(基础)知识梳理
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
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4、基本不等式(上海,含答案)
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第5节 基本不等式及其应用
(初级篇1)基本不等式及其应用