数学史在中学数学教学中的应用 论文

数学史研究的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治、经济和一般文化的联系,简单地说就是研究数学的历史.它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响.数学史的内容极其丰富,它不仅仅是单纯的数学成就的编年记录,也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录.数学史既是数学发展与社会生产、科技、政治、军事、文化教育等的关系史,也是人类对自然、对社会以至对数学本身的认识史,同时也是一部数学思想的发展史.可以说,不了解数学史就不可能全面了解数学科学以及整个人类文明史.正因为如此,我们可以从不同角度从数学史中吸取营养,得到借鉴,促进当前数学教育改革的深化以及数学素质教育的开展.

第1章数学史在中学数学教学中的作用

数学教学中引用数学史知识首先感觉是可以引起学生的兴趣,上课生动有趣.然而数学史的引入仅仅就是引起学习兴趣的功效吗?事实上,联合各学科是数学史在教学中所展现出的另一个重要功能,其教育价值就在于开拓学生视野,培养更宽广、更全面的认识能力并且促进学生在德、智、体、美获得诸方面的素质的提高.

第1节有助于学生更好地理解数学内容

小学数学基本上是建立在经验和直观的基础上的,比较容易理解.到了中学,代数的符号化、集合推理证明的出现,使学生开始接触到抽象的数学,不少同学感到数学突然变的难学了,加之数学教材过于理论化,给学生的学习带来很大困难,定义不明白、定理不理解、习题不会做的现象司空见惯.在数学教学中融入数学史能够加深学生对数学概念、定理及思想方法的理解,帮助学生掌握所学内容.

1.1揭示数学知识的来源背景便于理解数学概念.数学是以概念为起点,以公理、定理为依托,用各种思维方法总结出来的一个科学体系.任何一个数学概念都是数学家在数学的研究过程中,根据问题的实际首先提出来,然后在具体的发展中逐渐完善而确定的.因此,不同的概念不同程度上带有问题产生发展的痕迹.在数学教学中,

若能将概念产生的背景再现,对于理解概念的确切含义是很有益的.

比如:函数是中学数学中比较难理解的概念,不少学生只是机械的背诵定义,对定义的内容含糊不清.如果在教学中,教师能够从约翰伯努利首先给出的“函数”概念出发,进一步介绍欧拉等数学家对函数的研究和贡献,以及人们对函数的认识和理解过程,就能加深同学们对函数定义的理解.另外,通过对数学历史的介绍,还可以让学生明白负数产生的原因,无理数因何而得名,毕达哥拉斯定理、陈子定理、勾股定理、百牛定理间是什么关系,为何这样等.这既利于概念的理解和掌握,又丰富学生的知识,提高学习兴趣.

1.2阐述数学成果的形成过程培养数学思维.张奠宙先生说:“数学教学的重点是发展学生的数学思维”现行的中学教材在内容和形式上是按知识的逻辑体系编排的,数学家发现和发展数学成果的思维过程荡然无存.在教学过程中引入数学史,展现数学成果的形成过程,有助于培养学生的数学思维,形成正确的数学发展观.例如:勾股定理是贯穿中学数学的核心定理,历史上关于定理的证明不下四百种,其中中国的“割补法”是既简单直观便于接受,又包含了中国人思维敏捷、聪明智慧的优秀思想方法.若在教学中拿出几种有代表性的证法和同学们一起欣赏,并让大家亲自做一做、证一证,对于培养学生的逻辑思维,提高分析问题和解决问题的能力很有益的.

第2节有助于提高学生的数学学习兴趣

兴趣是最好的老师,一个人如果对某件事感兴趣,他就会投入很大的经历和时间去了解、认识和学习它.我国数学家王梓坤院士曾提出:“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣,这等于给了他们长久钻研数学的动力,优秀的数学教师之所以在学生心中永久不忘,就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰.”在数学教学中,适当加入数学史知识,讲述一些数学名人轶事,演绎一些发明过程,介绍一些数学名题解法,可以营造轻松的数学环境,让学生对学习数学充满热情、产生乐趣,获得一种惬意的满足感,这样才能使学生学得更多、学得更活,掌握得更快、记忆得更牢固.

老师还可以利用数学史中许多经典的游戏来培养学生的兴趣.例如在中学低年级可以通过做游戏来寻找“商人过河问题”的解法.“有三个商人带着三个随从和货物

过河,船每次最多只能载两个人,要求保证在过河期间商人的人数要大于或等于随从的人数,否则随从会杀人抢货.”这样的数学游戏,每个学生都乐于接受,在游戏中不但激发了学生的兴趣,还能使学生在游戏中找到解决这个数学问题的方法.老师还可以利用一些历史上的数学名题来培养学生学习的兴趣.如“鸡兔同笼”问题、七桥问题、哥德巴赫猜想等,可以大大地调动学生的兴趣,从而培养他们的探究精神和学习的乐趣.同时,教师还可以通过介绍一些著名数学家的生平、轶事,有效拉近学生与伟人之间的心里距离,使其感受数学与人类密不可分的关系.如伽罗瓦创建群论、帕斯卡的发现、阿基米德测皇冠体积、高斯求和公式、陈景润与“哥德巴赫猜想”的故事等.

第3节有助于学生掌握正确的学习方法

法国数学家阿达玛指出:“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质,而至多只有程度上的差异.”学生在数学学习活动中的思维过程与数学家在数学研究中的思维过程,具有较大的相似性.而教科书中的知识体系一般是按照“定义、定理、公式、举例、应用”的顺序安排的,这与数学知识的原始形式过程,与学生的数学思维进程都是相反的,其结果往往是使学生在数学学习过程中缺乏自主的数学思维活动,把数学学习过程变成是对数学的基本概念、公式等的形式学习过程,很容易把数学知识的学习变成对数学基本概念、公式的死记硬背,严重影响学生对数学的情感.因此,借鉴数学家在获得数学概念、原理时的思维活动过程,分析学生的数学思维过程,并据此设置教学情境,这样才能使数学教学符合学生思维活动过程.同时,借鉴数学概念和原理的发展过程,可以帮助我们了解学生在数学学习过程中可能产生困难的地方.例如学习虚数概念时,学生常常出现理解上的困难,这正是数学发展史上数学研究者思想上的困惑,在数学史上,虚数概念的发展十分缓慢,并且曾遭到许多数学家的反对.参照史料分析难点内容,教学时就可以根据皮亚杰的观点,真正理解一个概念或理论意味着主体重新创造这个理论,教给学生再创造的方法.

数学教学的过程是思维过程,讲的是按照逻辑演绎体系编写的教材,学生经常要问“添这条辅助线是怎么想到的?”这要求教师将逻辑推理还原为合情推理,将逻辑演绎还原为归纳演绎,这样教学的目的是启发学生按认知规律掌握正确的学习方法.当

然,我们的教学不能完全复原古代数学家的创作方式,但可以提出思路,更巧妙的讲解思路,使学生理解并掌握数学发展的“路线”.因此,数学教师学点数学史无疑是必要的.

第4节有助于培养学生的创新能力

在数学教学中,如何去培养学生的创新能力,已成为当前数学教育最紧迫的问题.对于学生来说,数学学习不仅意味着掌握数学知识,形成数学技能,而且是在教师引导和帮助下的一种“再创造”.

前苏联数学教育家斯托利亚说过:“数学教学是数学活动(思维活动)的教学,而不是数学活动的结果——数学知识的教学.”但是传统的数学教学方式往往是“数学知识的教学”,由教师单一的向学生传授灌输数学知识,教师只介绍数学研究的结果,至于这些理论是如何被发现的及如何被发展完美成为今天这个样子不做介绍,也就是说只讲创造是靠逻辑推理出来的.这样的数学教学只会往学生头脑里装知识,学生对知识“只知其然,不知其所以然”,这样是很难培养出学生的创新精神和创新能力的.

数学教学具有培养学生创新意识的作用.而数学史本身就是一部生动的创造、发明的演化史,无理量的发现,微积分和非欧几何的创立,乃至费马大定理的证明,……这样的例子可以帮助学生了解数学创造的真实过程,而这种过程在通常的教科书中是以定理到定理的形式被包装起来的.为了培养学生的创新能力,我们在数学教学中应尽可能的让学生了解这种创造过程,例如在数学教学中,在讲到极限及导数概念时,先介绍17世纪牛顿的从开始的弃去无穷小的方法到后来的引入最初比和最后比的方法,再讲到本世纪末19世纪波尔查诺的“()

f x无限接近A”的所谓极限的通俗定义,最后再给出魏尔斯特拉斯在19世纪中叶在前人研究基础上提炼出的极限的“ε一σ”语言定义,这样学生不但可以掌握极限的概念而且知道极限的概念是如何被创造发明及如何被发展完善的.学生从中可以学到数学发明创造的经验和方法,这正如波利亚所说:“数学发现是一种技巧,发现的能力可以通过灵活的教学加以培养,从而使学生学会发现的原则并付诸实践.”实践表明,把数学理论发现的历史过程融入数学教学中,是一种很好的创造教育模式.

第5节促进学生的科学思想和科学方法的培养

随着科学的数学化,越来越多的数学思想和数学方法转化为一般的科学思想、科学方法.例如变量思想、极限思想等数学思想所能揭示的辩证法思想,适应于现代科技与生活的一切领域,是一切现代社会成员都应该具备的科学思想.我国明代的著名科学家徐光启先生,特别重视数学方法在科学研究中的作用,他认为数学方法是一切科学研究的最基本方法.“由数达理”的科学方法是一种既重视了数学理论,又要求能用数学手段去从事一切科学研究的正确而行之有效的科学方法.法国著名数学家拉普拉斯曾指出:“认识一位天才的思想和方法,对于科学的进步,并不比发现本身更少用处.”

在基础教育阶段,所有的人都要学习数学课程,并不是他们都需要解决具体的“数量关系和空间形式”,而是因为他们都需要吸收数学知识中蕴涵的数学思想和数学方法,这些思想和方法在科学思想和科学方法方面给人以教育,同时也培养了人们的科学态度和科学习惯.数学中严谨的推理和一丝不苟的计算,使得每一数学结论都不可动摇,这种思想方法不仅培养了数学家,也有助于提高全体人民的科学文化素养.要学习和掌握科学思想和科学方法,一条有效的途经是对历史和前人的借鉴,数学家的思想方法有很好的示范性、启迪性,数学教学中向学生展现这些东西,学生不仅从中得到科学思想和科学方法的陶冶和教育,还能从古今中外杰出的科学家身上具体地感受到他们“献身、创新、求真、求实”和“开拓进取、奋力拼搏、勤于思考、善于实践”的优秀品质,这对培养学生高尚的科学文化素养会有很大影响.

综上所述,在数学教学中渗透数学历史发展的观点,可以充分发挥数学史知识在进行素质教育方面的重要作用.另外,向学生推荐一些适合的数学史书籍供他们课余时间阅读,不仅能丰富学生的数学史知识,而且还能有效地激发学生的求知欲,创新精神等.

第2章在中学数学教学中融入数学史的原则和方法

第1节中学数学教学中融入数学史的原则

教育部在新的中学课程标准中指出:“数学课程要适当地反映数学的历史、应用和发展趋势,数学课程应当帮助学生了解数学在人类文明发展史中的作用,逐步形成正确的数学观.”这充分说明了数学史对于数学教育的重要性,也为数学史知识融入数学教学之中提供了很好的契机.在新标准的执行中,不少教师也采用了数学史知识融入数学教学中的方法,虽取得了一些效果,但也有很多不尽人意之处.有的教师对史学内容讲得太多,以至占用了大量的教学时间,影响了教学任务的完成;有的甚至事与愿违,同学们记住了故事,却没听进去数学内容,因为他们只顾回忆故事里的事了;有的则喧宾夺主,数学课变成故事课.如此等等,都是对数学史知识在数学教学中应用的原则方法和技巧掌握得不够,数学史料选用不当造成的.我认为对于中学数学教育来说,数学史的教育功能主要是激发学生的学习兴趣,帮助同学们理解和掌握所学的内容.因此,在数学史料的选取和使用上应注意遵循数学史料为数学教学服务的基本原则,要根据不同的年级、不同的教学内容,选择不同的数学史料、不同的教学模式和方法.这就要求数学教师不仅要熟悉数学的内容,了解数学的历史,更要明白学生的实际,使数学史料和数学教学内容有机地结合起来,达到提高数学教学质量的目的.

第2节中学数学教学中融入数学史的方法

现行中学数学教材中附有比较丰富的数学史资料,是中学数学教学内容的重要组成部分.教学中,结合不同内容适时以恰当的方式穿插相关数学史料,不仅可以激发学生兴趣、提高学习的主动性、帮助学生更好地理解教学内容、领悟数学思想方法的产生发展过程、培养严谨科学的探索精神和现实具体的数学观念,而且可以消除学生对数学的神秘感、畏惧感,树立学习数学的自信心,提高承受挫折和克服困难的巨大勇气,同时也是进行爱国主义教育和科学文化素养教育的重要途径.现在就如何在中学数学教学中加强数学史教育,充分发挥数学史教育的作用,提高中学数学教育质量,谈几点基本做法.

2.1说背景,讲起源,强化概念教学

概念是数学知识的核心要素,是进一步学习数学定理、公式、法则、方法,培养数学思维能力的基础.概念教学是整个数学教学的第一环节,必需首先揭示其产生的背景和起源,了解确立概念的合理性和必要性.人们不可能一次或孤立地认识一类事物的本质特征,它需经历一个由感性到理性的认识过程.教学中如果能展示所学概念产生与形成的历史背景和发展过程,学生就会产生浓厚的兴趣去追根溯源探知前人的认知历程,弄清来胧去脉.比如负数概念的引入,就可穿插介绍中国秦汉时期成书的《九章算术》中有关负数的内容.该书中以卖(收入)为正,以买(支出)为负;盈余为正,不足为负;益实(增加)为正.损失(减少)为负.并给出了有关正负数进行加减运算的“正负述”,让学生知道负数是在生产、生活中产生的,以加深对正、负数慨念的理解.讲无理数时,可先介绍历史上无理数的发现与第一次数学危机的由来,再引入无理数概念,学生对无理数学习的兴趣就更浓.学习函数概念时,如果指出数学常量向变量的发展转折是由一个概念引起的,人类对这一概念的认识经历了二百多年,一下子就能把学生的注意力集中起来.讲了对数概念之后,告诉学生历史上对数的发明,先于指数一百多年,发明对数是为了提高计算的效率,特别是常用对数表的给出,大大简化一些数目繁杂的计算问题,极大地促进了数学的发展和应用.

2.2讲历史,说作用,深化定理和公式教学

定理和公式是数学内容的主体,是进行数学运算、推理的依据,准确掌握和熟练应用是定理、公式教学的基本要求.教学中,如果仅就其所在知识系统进行“说明、证明、应用”的三段式教学,学生难以产生浓厚的学习兴趣和进行主动的探索性学习.如果能辅以恰当的史料介绍,让学生了解有关定理、公式的发明背景和主要应用,对教学会产生很大的促进作用.例如,学习圆周率时,如果能对古今关于圆周率的精算历程作以介绍,让学生明白在相当长的历史时期关于圆周率计算的精确程度一直是一个地区数学发展水平的反映.同学们对我国古代的数学成就会有更深刻的认识.在学习了勾股定理之后,可以给同学们介绍一些与勾股定理有关的史料.勾股定理,西方称之为毕达哥拉斯定理,认为是古希腊毕达哥拉斯学派(公元前600年左右)最先发现的,其实早在西周初年(公元前1100年左右),我国数学家商高就曾讲到“勾广三,股修四,径隅五”的结论,这实际就是勾股定理的特殊情况,比毕达哥拉斯学派早500年还多.勾

股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系,也促进了人们关于不定方程“222

+=”的整数解,

x y z +=”整数解的研究.人们由勾股定理很容易得出“222

x y z

却始终找不到使“222

+=(n>2)”成立的整数解.关于这一猜想的证明一直推动

x y z

着数学不断向前发展.一段史料的介绍,会带给同学们一次震撼和深思.在学习二项式时,可以给学生介绍一下关于二项式公式展开系数法则.在西方,最早发现二项式系数法则的是16世纪法国天文学家业披纳斯特(公元1527年),接着法国数学家帕斯膏(公元1654年)也发现了同样的规律.而我国宋代数学家贾宪早在公元ll世纪注解《九章算术》时就已发现了该系数法则,后来杨辉(公元1261年)在《详解九章算术》中又进一步画出了一个宝塔形的三角形图,后人称此图为“杨辉三角形”.可见,亚披纳斯特发现二项式系数法则比贾宪晚500多年.比杨辉三角形也晚200多年.

2.3话历史,鼓信心,促进解题教学

解题是数学教学活动的一种重要形式,是实现中学数学教学目的的一种基本手段.解题教学一方面是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程,另一方面也是使学生牢固掌握数学基础知识、培养基本技能、提高数学能力和发展智力的必要途径.解题教学中,对于步数较少的常规题目大家一般解起来都会比较顺手,而对于步数较多或非常规的,开放性题目,多数学生会失去信心,怀疑自已的能力.教学中,除了在方法、思路、经验、技巧方面作以启发指导外,适当介绍一些数学史上的名人轶事、典型问题的求解历程,对于鼓励学生树立自信心,锻炼坚韧不拔的顽强意志,培养探求真理,献身科学的信念有很大的促进作用.历史上关于一元实系数方程的求解问题经历了一千多年,从公元9世纪阿拉伯数学家花拉子模给出一元二次方程的公式解法,直到15世纪一元三次、四次方程是否有一般公式解法仍是世界难题.在欧洲经过整整半个世纪的艰苦探索才于16世纪中叶给出了这两种方程的一般公式解法.于五次以上方程是否有一般代数解法的问题又用了近三百年的时问才最终证明一般五次方程不可能有公式解法的结论和五次以上方程有公式解法的充要条件.6世纪苏格兰数学家纳伯尔为了减轻人们繁重而单调的计算,从40岁开始研究对数,经过24年的艰苦努力才发明了对数;另一位英国数学家布里格斯又以56岁年龄继续研究对数,直到生命最后一息,终于完成了常用对数表.数学史上无数问题的求解证明都经历过漫长的艰难探索过程.从勾股定理的研究、尺规作图、不可能问题的探索,到圆周率的计算,

不定方程的求解??都留下了前人艰苦探索的足迹,闪耀着智慧的火花.通过了解历史,要让同学们知道,学习中遇到一些所谓的难题是很普通的事情,需要一天甚至几天才能完成的题目有的是,切不能在困难面前丧失信心.只要不断去探索,问题会一个—个解决的.

结论

中学数学教学中,很多问题的解决需要借助数学史知识.数学史可以告诉我们概念、定理、公式的由来,产生形成的背景.中学生大都向往发明、创造,喜欢追根溯源,教学中要善于运用数学史知识去激发学生的学习兴趣,吸引学生的注意力,给枯燥的符号数学融入生动感人的故事,使之引人入胜,催人奋进.正如数学教育家G·波利亚指出的,学习数学只有当“看到数学的产生,按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时,才能最好地理解数学.”

参考文献

[1] 孙明谔,简明数学史[M],郑州:大象出版社,1998:14-30

[2] 杨海波,论数学教学与数学史的结合[J],黔东南民族师专学报,1999,(7)

[3] 李文林,数学史教程[M],北京:高等教育出版社,1999:42-65

[4] 马忠林主编,胡炯涛著,数学教学论[M],南宁:广西教育出版社,1996

[5] 林永伟,叶立军,数学史与数学教育[M],杭州:浙江大学出版社,2004

[6] 胡炯涛,中学数学教学纵横谈[M],济南:山东教育出版社,2007:65-78

[7] 马复,设计合理的数学教学[M],北京:高等教育出版社,2003:91-105

[8] 张奠宙,数学教育经纬[M],南京:江苏教育出版社,2003:94-157

[9] 李文林,数学史概论[M],北京:高等教育出版社,2002:50-78

[10] 罗新兵,罗增儒,数学史与数学教育的研究进展[J],中学数学教学参,2005,(10)

致谢

本课题在选题及研究过程中得到崔国范老师的悉心指导.崔老师多次询问研究进程,并为我指点迷津,帮助我开拓研究思路,精心点拨、热忱鼓励.崔老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的精神,不仅授我以文,而且教我做人,虽历时三载,却给以终生受益无穷之道.对崔老师的感激之情是无法用言语表达的.

相关文档
最新文档