论球的体积的无限逼近求法

论球的体积的无限逼近求法

人类对世界的探索是无止境的。比如当人们为田地的大小比较束手无策时，也许就有了面积一说；当人们建造完房屋宫殿而无法描述它有多宽敞时，体积或许就应运而生了……

从平面拓展到立体，可以说是由求面积发展到求体积的过程，然而，无论是在平面上还是在立体空间中，都存在着人们一时间难以攻克、无法逾越的障碍。没错，就是那完美的图形——圆，以及它在三维空间的体现——球。

对于圆，过去的人们已经付出过无比的艰辛，也终于得到了如今为大家所熟知的圆面积公式S=πr2。而对于球，人们也探索出了许多种求法，我想说的只是其中的一种，无限逼近的求法。

倘若一个球摆在你面前，你可能很难想到用什么式子去表示它的体积，因为在球身上没有明确的长、宽或高，这也就无法用求一般立方体体积的方法来求球的体积了。因此我们不妨换个思路。

首先，为了方便，我们将球一分为二并取其中一半，然后把它分成n个扁平圆柱体（n趋于无限），这样，所有圆柱体的体积总和就

可以近似的表示为半个球的体积了。（如图）

然后，用r表示球的半径、p表示每个圆柱的高，则此时p=r/n。

（如图）有了高，求圆柱体体积就只差底面积了，而圆柱体的底面是一个圆，所以问题的关键就在于如何表示圆柱

体底面圆的半径。

为了表示圆柱体底面圆的半径，我们要用到熟悉的勾股定理。在此之前，我们依旧用平面的半圆图形来表示那一半的球（从正视图方向看），而此时，半圆的半径即为球的半径，图中矩形的长的一半则为圆柱体底面圆的半径。同样，用r表示球半径，用p表示圆柱高，则最底下的圆柱底面圆的半径表示为R1=√r2-p2，倒数第二个表示为R2=√r2-（2p）2，第三个为R3=√r2-（3p）2……以此类推。（如图）

于是就有圆柱体的体积和=p*（πR12+πR22+πR32+……+πRn2）

化简的过程如下

V总圆柱= p*（πR12+πR22+πR32+……πRn2）

=πp[（√r2-p2）2+（√r2-（2p）2）2+（√r2-（3p）2）2+……+（√r2-（np）2）2]

=πp（r2-p2+r2-（2p）2+r2-（3p）2+……+ r2-（np）2）

=πp（n r2-（p2+（2p）2+（3p）2+……+（np）2））

=πp（n r2-p2（12+22+32+……+n2））

=πp*n r2-πp*p2（12+22+32+……+n2）

由于12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6，p=r/n因此上式=π*(r/n)*nr2-π（r/n）3*[n（n+1）（2n+1）/6]

=πr3-πr3*[n（n+1）（2n+1）/6n3]

=πr3-πr3*（n+1）（2n+1）/6n2

=πr3-πr3*（2n2+3n+1）/6n2

=πr3-πr3*[1/3+(1/2)n+(1/6)n2]

因为n趋于无限，所以1/2n=0、1/6n2=0，即

=πr3-πr3*1/3

=2/3πr3

综上，V半球≈V总圆柱，因而V半球=2/3πr3，V球=4/3πr3。至此球的体积公式便得出来了。值得一提的是，用类似的方法也可以求出圆锥的体积，而且更简单、更好算，有兴趣的可以尝试。

（受绘图工具的限制，本文中的图片制作较为粗糙。另外，本文是高一入学时就当作业交了的，如今被图书社挖出来凑字，而当时这篇文章所采用的方法与求抛物线围成面积的方法基本一致，我只是如法炮制，望谅解(∵)）

宝安中学

钟涛