2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计

专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计

第一讲 算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)

1．(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 当n ＝1时，21>12成立，当n ＝2时，22>22不成立，所以输出n ＝2，故选B.

2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )

A.203

B.72

C.165

D.158

解析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝8

3

，

n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，则输出M ＝15

8

，选D.

3．(2014·山东高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋

bi)2＝( )

A ．5－4i

B ．5＋4i

C ．3－4i

D ．3＋4i

解析：选D 根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )

A ．－5

B ．5

C ．－4＋i

D ．－4－i 解析：选A 由题意可知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 5．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：

多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

三棱柱

5 6 9 五棱锥

6 6 10 立方体

6 8 12 猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是_______________________．

解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.

答案：F ＋V －E ＝2

1．程序框图的逻辑结构

顺序结构、条件结构和循环结构． 2．复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )的分类 (1)z 是实数?b ＝0； (2)z 是虚数?b ≠0；

(3)z 是纯虚数?a ＝0且b ≠0. 3．共轭复数

复数a ＋bi(a ，b ∈R )的共轭复数是a －bi(a ，b ∈R )． 4．复数的四则运算法则 (1)(a ＋bi)±(c ＋di)＝(a±c)＋(b±d)i ；

(2)(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i ；

(3)(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋d

2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋di ≠0)．

5．两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程：

实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程：

实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论

热点一

算 法 问 题

命题角度

(1)判断程序框图的功能，如T1； (2)根据程序框图求解输出结果问题，如T2； (3)

根据程序框图填写或选取判断条件，如T3.

1．阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )

A ．计算数列{2n －1

}的前10项和

B ．计算数列{2n －

1}的前9项和 C ．计算数列{2n －

1}的前10项和 D ．计算数列{2n －1}的前9项和 2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )

A

．4 B ．5 C ．6 D ．7

3．程序框图如图，如果程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中可填入( )

A ．k ≤10

B ．k ≥10

C ．k ≤11

D ．k ≥11

[自主解答] 1.由程序框图可知：输出S ＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n －

1}的前10项和．

2．在循环体部分的运算为：第一步，M ＝2，S ＝5，k ＝2；第二步，M ＝2，S ＝7，k ＝3.故输出结果为7.

3．输出的S 值是一个逐次累积的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S ＝132，k ＝10，如果此时输出结果，则判断框中的k 的最大值是10.

[答案] 1.A 2.D 3.A

识别程序框图应注意的问题

对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果．

热点二 复数的概念与运算

命题角度

(1)考查复数的概念及运算，如T1； (2)考查复数的几何意义，如T2；

(3)考查复数代数形式的四则运算，如T3.

1．(2014·江西高考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )

A ．1＋i

B ．－1－i

C ．－1＋i

D ．1－i 2．(2014·蒲阳模拟)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，则|z 1＋z 2|＝( )

A ．2

B ．3

C ．2 2

D ．33

3．(2014·安徽高考)设 i 是虚数单位，复数i 3＋2i

1＋i

＝ ( )

A ．－i

B ．i

C ．－1

D ．1

[自主解答] 1.设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，又z ＋z ＝2，即(a ＋bi)＋(a －bi)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋bi)－(a －bi)]·i ＝2，所以bi 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.

2．由图知，OA ―→＝(－2，－1)，OB ―→＝(0,1)，根据复数的几何意义可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1＋z 2＝－2，从而|z 1＋z 2|＝2.故选A.

3．i 3＋2i

1＋i

＝－i ＋i(1－i)＝1.

[答案] 1.D 2.A 3.D

题1中条件不变，z 对应的点在第几象限？

解：由例题可知，z ＝1－i ，∴z ＝1＋i ，因此z 对应的点在第一象限内．

复数运算的技巧

复数代数形式的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数．

热点三 推理与证明

命题角度

(1)归纳等式或不等式，如T1；

(2)类比过程或类比结论，如T2.

1.(2014·陕西高考)已知f(x)＝

x

1＋x

，x ≥0，若 f 1(x)＝f(x)，f n ＋1(x)＝f(f n (x))，n ∈N ＋， 则f 2 014(x)的表达式为________________．

2．(2014·贵州六校联考)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE

BE

.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD 中(如图)DEC 平分二面角A-CD-B 且

与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．

[自主解答] 1.由f 1(x)＝x 1＋x ?f 2(x)＝f ????x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x

＝x

1＋2x ；又可得f 3(x)＝f(f 2(x))

＝x 1＋2x 1＋

x 1＋2x

＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x)＝x 1＋2 014x .

2．由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE

EB

＝

S △ACD

S △BCD

.

[答案] 1.f 2 014(x)＝x 1＋2 014x

2.AE EB ＝S △ACD

S △BCD

合情推理的解题思路

(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．

(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．

(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．

热点四

程序框图与其他数学知识的交汇

命题角度

程序框图是高考考查算法最为重要的考查内容，常与其他数学知识交汇命题，多以选择题、填空题形式出现，属中、低档题. (1)程序框图与函数交汇命题； (2)程序框图与数列交汇命题； (3)程序框图与线性规划交汇命题； (4)程序框图与三角函数交汇命题； (5)程序框图与在概率统计交汇命题.

[例] (1)(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )

A ．[－6，－2]

B ．[－5，－1]

C ．[－4,5]

D ．[－3,6] (2)(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )

A ．a n ＝2n

B ．a n ＝2(n －1)

C ．a n ＝2n

D ．a n ＝2n －

1

第(2)题图 第(3)题图 (3)(2014·四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(4)(2014·大连模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的x ∈[0，π]，则输出y 的取值范围是( )

A ．[0,1] B.????22，1 C.???

?－2

2，1 D ．[－1,1]

[师生共研] (1)由程序框图可得S ＝???

2t 2

＋1－3，t ∈[－2，0)，

t －3，t ∈[0，2]，

其值域为(－2,6]∪[－

3，－1]＝[－3,6]，故选D.

(2)由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n ，故选C.

(3)当????

?

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤1

时，由线性规划的图解法知，目标函数S ＝2x ＋y 的最大值为2，否则，

S 的值为1.所以输出的S 的最大值为2.

(4)根据条件结构的条件，可知y 为sin x ，cos x 的最大值，在同一坐标系中，画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，可知y 的取值范围为[0,1]，故选A.

[答案] (1)D (2)C (3)C (4)A

解决算法的交汇性问题的方法

(1)读懂程序框图、明确交汇知识； (2)根据给出问题与程序框图处理问题； (3)注意框图中结构的判断．

1．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析：选B 开始将n ＝5代进框图，5为奇数．∴n ＝3×5＋1＝16，此时k ＝1.此后n 为

偶数，则代入n ＝n

2

中，因此，当k ＝1时，n ＝16；当k ＝2时，n ＝8；当k ＝3时，n ＝4；当

k ＝4时，n ＝2；当k ＝5时，n ＝1，输出k ＝5.故选B.

2．执行如图所示的程序框图，任意输入一次x(0≤x ≤1)与y(0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y)的概率为( )

A.14

B.13

C.23

D.34

解析：选B 依题意，不等式组????

?

0≤x ≤1，0≤y ≤1

表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式

组????

?

0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x 2

表示的平面区域的面积等于?

?0

1x 2dx ＝13x 310＝13，因此所求的概率等于1

3，选B.

3．图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试

成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )

图(1)

图(2)

A．7 B．8 C．9 D．10

解析：选D从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶

图可知输出的结果为10.

一、选择题

1．(2014·重庆高考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的() A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．(2014·福建联考)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x 值为()

A．3B．126 C．127D．128

3．(2014·广东高考)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝()

A．－3＋4i B．－3－4i

C．3＋4i D．3－4i

4．(2014·福建高考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()

A．－2－3i B．－2＋3i

C．2－3i D．2＋3i

5．(2014·福建高考)

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．40

6．(2014·安徽考前模拟)如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S ＝2 013

2 014，那么判断框内是( )

A ．k≤2 013?

B ．k≤2 014?

C ．k≥2 013?

D ．k≥2 014? 7．(2014·东北三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入如下

四个函数：

①f(x)＝sin x ，②f(x)＝cos x ，③f(x)＝1x ，④f(x)＝x 2，则输出的函数是( ) A ．f(x)＝sin x B ．f(x)＝cos x

C ．f(x)＝1

x D ．f(x)＝x 2 8．(2014·黄冈模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( )

A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数

B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数

C ．a ，b ，c 都是奇数

D ．a ，b ，c 都是偶数 9．(2014·河南三市联考)

如图给出的是计算12＋14＋…＋1

100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )

A ．i>100，n ＝n ＋1

B ．i>100，n ＝n ＋2

C ．i>50，n ＝n ＋2

D ．i≤50，n ＝n ＋2 10.

在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B(a 3，a 4)，C(a 5，a 6)，D(a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )

A ．1 006

B ．1 007

C ．1 008

D ．1 009 二、填空题

11．(2014·北京高考)复数?

??

??1＋i 1－i 2

＝________. 12．(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．

13．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________________．

15．(2014·湖北高考)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.

16．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|

.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有

，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________．

答案

一、选择题

1．解析：选B实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.

2．解析：选C若输入的x＝2，则x＝22－1＝3，而3<126，故x＝23－1＝7，而7<126，故x＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x值为127.

3．解析：选D(3＋4i)z＝25?z＝25

3＋4i ＝

－

＋－

＝3－4i.

4．解析：选C因为复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选C.

5．解析：选B S＝0，n＝1，S＝0＋21＋1＝3，n＝2，因为3≥15不成立，执行循环：S＝3＋22＋2＝9，n＝3，因为9≥15不成立，执行循环：S＝9＋23＋3＝20，n＝4，因为20≥15成立，停止循环，输出S的值等于20，故选B.

6．解析：选A当判断框内是k≤n时，

S＝

1

1×2＋

1

2×3＋…＋

1

n×＋

＝1－

1

n＋1

，若S＝

2 013

2 014，则n＝2 013.

7．解析：选A结合题中的程序框图，输出的函数为奇函数，且存在零点，比较选项知A正确．

8．解析：选B a，b，c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数．其否定

是a ，b ，c 均为奇数或a ，b ，c 至少有两个偶数．

9．解析：选C 因为12，14，…，1

100共50个数，所以算法框图应运行50次，所以变量i 应满足i>50，因为是求偶数的和，所以应使变量n 满足n ＝n ＋2，故选C.

10.解析：选B 通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.

二、填空题

11．解析：? ??

??1＋i 1－i 2

＝＋2－2＝2i －2i ＝－1.

答案：－1

12．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：21

13． 解析：根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市．

答案：A

14．解析：由题知，13＝12；

13＋23＝? ??

??2×

322；

13＋23＋33＝? ??

??3×

422；

13＋23＋33＋43＝? ??

??4×522； …

∴13＋23＋33＋…＋n 3＝??

??

??＋22

. 答案：13＋23＋33＋…＋n 3＝

????

??＋22. 15．解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123； 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198； 当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792； 当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693； 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；

当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495. 答案：495

16．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，

则有

答案：

第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)

1．(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 解析：选D 3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之

间有两个空座位，有A 33×A 2

2＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．

2．(2014·湖南高考)???

?1

2x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20

解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35???

?12x 2

(－2y)3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.

3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)

解析：(x ＋y)8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 6

8＝8－28＝－20.

答案：－20 4．(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．

解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 2

2种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆

法，共有A 22A 4

4＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法．故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种．

答案：36

1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．

(2)分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．

2．两个重要公式 (1)排列数公式

A m

n ＝n ！(n －m )！＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n)．

(2)组合数公式

C m

n ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n)．

3．三个重要性质和定理 (1)组合数性质

①C m n ＝C n －m

n

(n ，m ∈N *，且m ≤n)；

②C m n＋1＝C m n＋C m－1

n

(n，m∈N*，且m≤n)；

③C0n＝1.

(2)二项式定理

(a＋b)n＝C0n a

n＋C1

n

a n－1b1＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k·

b k＋…＋C n n b n，其中通项T r＋1＝C r n a n－r b r.

(3)二项式系数的性质

①C0n＝C n n，C1n＝C n－1

n ，…，C r n＝C n－r

n

；

②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；

③C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.

热点一两个计数原理的应用

命题角度(1)两个计数原理的应用问题，如T1，T2；

(2)同时利用两个计数原理解决综合问题，如T3；

(3)几何图形中的涂色问题，如T4.

1．某展览馆在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生来参观，若每天最多安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A．50种B．60种C．120种D．210种

2．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有()

A．15种B．18种C．19种D．21种

3．(2014·齐鲁名校联考)某校开设了9门课程供学生选修，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，所以每位学生至多选修1门，学校规定每位学生选修4门，则不同的选修方案共有()

A．15种B．60种C．75种D．100种

4.(2014·潍坊模拟)现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．(用数字作答)

[自主解答] 1.第一步，先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，第二步，安排另两所学校，在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有C16×A25＝120种不同的安排方法，故选C.

2．依题意，对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A33＝6(种)；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A33＝6(种)；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A33＝6(种)．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18(种)，选B.

3．由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A，B，C 外的6门课程，相应的不同选修方案有C46＝15种；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自

于A，B，C，另3门从除A，B，C外的6门课程中选择，相应的不同选修方案有C36C13＝60种．由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是15＋60＝75.故选C.

4．从5个小正方形中选取2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有2种涂法，所以一共有6种涂法.

1 2 3 4 5

[答案] 1.C 2.B 3.C 4.6

应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

热点二排列与组合问题

命题角度(1)有限制条件的排列应用题，如T1；

(2)有限制条件的组合应用题，如T2；

(3)排列与组合的综合应用，如T3.

1．(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()

A．72 B．120 C．144 D．168

2．(2014·济南四校联考)某著名高中现有4名优秀学生甲、乙、丙、丁全部被保送到A、B、C三所名校，每所学校至少去1名，且甲不去A校，则不同的保送方案有________种．

3．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．[自主解答] 1.依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.

2．若甲单独去一所学校，则有C23C12A22＝12种；若甲不单独去一所学校，则有C13C12A22＝12种，所以不同的保送方案有24种．

3．分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．

[答案] 1.B 2.24 3.60

1．若题1中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？

解：(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72种不同排法．

2．若题1中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”

解：分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A13·A24 A33＝3×4×3×3×2×1＝216(种)排法；第二类：若第一个节目排小品类节目，则有A12·A14·A44＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．

1．解决排列组合问题应遵循的原则

先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 2．解决排列组合问题的11个策略

(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法；(3)多排问题单排法；(4)定序问题倍缩法；(5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法．

3．解决排列组合问题的四个角度

解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；

热点三 二项式定理及应用

命题角度

(1)利用通项公式求特定项或特定项系数，如

T1，T2；

(2)与二项式系数有关的问题，如T3.

1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)

2．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，???

?1＋x

a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.

3．(2014·临沂模拟)已知????2x －a

x 5的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含x 项的系数为________．

[自主解答] 1.二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·

x 10－

r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3

＝15，故a ＝12

. 2．由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知?

??

C 1n ·1

a ＝a 1

＝3，C 2n ·1a 2＝a 2＝4，故?

??

n a ＝3，n (n －1)a 2

＝8，可

得?

????

n ＝9，a ＝3. 3．在????2x －a x 5中，令x ＝1，得各项系数之和为(2－a)5＝1，∴a ＝1，∴T r ＋1＝C r 5(2x)5－r ???

?－1x r

＝C r 525－

r ·(－1)r x 5

－2r

，令5－2r ＝1，∴r ＝2，∴含x 项的系数为C 25×23×(－1)2

＝80.

[答案]

1.

1

2

2.3

3.80

应用通项公式要注意五点

(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；

(3)公式中a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

(5)对二项式(a －b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．

热点四

多项式中特定项(系数)问题

命题角度

在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：

(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；

(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；

(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.

[例] (1)?

???x 3－2x 4＋????x ＋1

x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．38 (2)(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n 项的系数为f(m ，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝( )

A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

(3)???

?x 2＋1

x ＋25的展开式中的常数项为________．(用数字作答) [师生共研] (1)????x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·???

?－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，????x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ???

?1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 4

8＝38.

(2)由题意知f(3,0)＝C 36C 04，f(2,1)＝C 26C 14，f(1，2)＝C 16C 24，f(0,3)＝C 06C 3

4，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.

(3)原式＝? ????x 2＋22x ＋22x 5＝132x

5·[(x ＋2)2]5＝132x 5(x ＋2)10

.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5

.所以所求的常数项为

C 510·(2)532

＝6322.

[答案] (1)D (2)C (3)632

2

多项式中特定项问题的求解策略

(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到含所要求的项，再求和即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

(3)对于三项式问题，一般先变形化为二项式再解决．

1．(x 2

－x ＋1)10

展开式中x 3项的系数为( )

A ．－210

B ．210

C ．30

D ．－30

解析：选A (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)

9

＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 7

10)＝－210，故选A.

2．(1＋x ＋x 2)???

?x －1

x 6的展开式中的常数项为m ，则函数y ＝－x 2与y ＝mx 的图象所围成的封闭图形的面积为( )

A.6256

B.2506

C.3756

D.1256

解析：选D 二项式???

?x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·x 6－2r ，当6－2r ＝0时，可得r ＝3，则????x －1x 6展开式的常数项为(－1)3·C 36＝－20，当6－2r ＝－2时，可得r ＝4，则????x －1x 6展开式的x －2项的系数为(－1)4·C 46＝15，由此可得(1＋x ＋x 2)·???

?x －1x 6展开式的常数项m ＝－20＋15＝－5，图中封闭图形的面积S ＝?

?0

5(－x 2＋5x)dx ＝－13x 3＋52x 250＝125

6，故应选D.

一、选择题

1．(2014·合肥一检)将包含甲、乙两队的8支球队平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有( )

A ．20种

B ．35种

C ．40种

D ．60种 2．(2014·全国高考)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种

3．(2014·湖北高考)若二项式? ?

?

??2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝

( )

A ．2 B.5

4 C ．1 D.24

4．(2014·辽宁五校联考)若? ?

?

??x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，

则展开式的常数项是( )

A ．360

B ．180

C ．90

D ．45 5．(2014·绵阳二诊)现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( )

A ．12

B ．24

C ．36

D ．72 6．(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )

A ．192种

B ．216种

C ．240种

D ．288种

7．(2014·烟台模拟)已知?

?

????x ＋a 3x n 的展开式中各二项式系数之和为32，常数

项为80，则a 的值为( )

A ．1

B ．±1

C ．2

D ．±2

8．(2014·贵州六校联考)在(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3

＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( )

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7 9．(2014·南昌模拟)若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )

A ．27

B ．28

C ．7

D ．8 10．(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )

A ．24对

B ．30对

C ．48对

D ．60对

二、填空题

11．二项式? ?

?

??2x 2－1x 5的展开式中第3项的系数为________．

12．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 6的系数小于2 014，则k 的最大值为________．

13．(2014·山东高考)若? ?

?

??ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最

小值为________．

14．(2014·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．

15.

已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．

16．对一个各边长均不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、